黃克峰，徐　曄，王金全(解放軍理工大學(xué)國(guó)防工程學(xué)院電力與智能化教研中心，江蘇南京　210007)

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永磁同步電機(jī)振動(dòng)特性模態(tài)研究*

黃克峰，徐曄，王金全
(解放軍理工大學(xué)國(guó)防工程學(xué)院電力與智能化教研中心，江蘇南京210007)

摘要:運(yùn)用機(jī)電類比的方法推導(dǎo)了定子固有頻率的計(jì)算方法，用ANSYS軟件對(duì)電機(jī)定子建立了的三維有限元模型進(jìn)行了模態(tài)分析，計(jì)算出了它們的固有頻率及其振型，避免和電磁力的頻率及次數(shù)發(fā)生共振，從而降低永磁同步電機(jī)的電磁振動(dòng)和噪聲。

關(guān)鍵詞:永磁同步電機(jī);固有頻率;模態(tài)分析

王金全(1963—)，男，博士，教授博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槲㈦娋W(wǎng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析。

0　引言

20世紀(jì)80年代，D.A.Glasgow、H.D.Nelson提出了部件模態(tài)綜合技術(shù)［1］，R.S.Girgis、S.P.Verma考慮了鐵心齒、繞組和機(jī)座的作用，提出了計(jì)算電動(dòng)機(jī)定子固有頻率和振動(dòng)特性的公式［2］。進(jìn)入21世紀(jì)，在國(guó)外，S.A.Long和Z.Q.Zhu等人采用有限元法分析了硅鋼片材料的各向異性和繞組對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的影響，并通過錘擊模態(tài)試驗(yàn)證明了分析的正確性［3］。英國(guó)謝菲爾德大學(xué)的博士生Jason D.Ede用有限元法計(jì)算并且實(shí)測(cè)了轉(zhuǎn)速為120 000 r/min、功率為1. 25 kW的無刷永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子的固有頻率，評(píng)估了轉(zhuǎn)子有效長(zhǎng)度、直徑、軸伸量、軸承和材料特性對(duì)轉(zhuǎn)子固有頻率和模態(tài)振型的影響，但只介紹高速轉(zhuǎn)子固有頻率的計(jì)算，沒有考慮陀螺效應(yīng)問題［4］。在國(guó)內(nèi)，華中科技大學(xué)孫劍波、河海大學(xué)王忠建等學(xué)者也分別對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)定子結(jié)構(gòu)的固有模態(tài)進(jìn)行了分析［5-6］。哈爾濱工業(yè)大學(xué)的博士生代穎采用有限元法具體分析了電動(dòng)汽車驅(qū)動(dòng)用感應(yīng)電機(jī)各部件對(duì)其固有模態(tài)的影響，機(jī)殼和端蓋對(duì)電機(jī)結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的影響最大，轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)對(duì)電機(jī)結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的影響也不可忽略。國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)各種電機(jī)的模態(tài)分析進(jìn)行了很多研究，但是對(duì)于永磁同步電機(jī)(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)卻研究得比較少。

PMSM結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析是判斷電動(dòng)機(jī)定子結(jié)構(gòu)是否發(fā)生共振的重要手段，電機(jī)的電磁噪聲和振動(dòng)主要是通過定子、殼體向外輻射。本文主要是對(duì)電機(jī)定子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，由于電機(jī)結(jié)構(gòu)的幾何特性決定著定子沿軸向的剛度是變化的，所以采用三維結(jié)構(gòu)有限元模型來分析電動(dòng)機(jī)定子及機(jī)殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)。

1　電機(jī)結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析理論

PMSM模態(tài)分析的關(guān)鍵在于找到模態(tài)振型矩陣，以構(gòu)成模態(tài)坐標(biāo)系統(tǒng)，并求得響應(yīng)量在這一坐標(biāo)系統(tǒng)中的坐標(biāo)，具體過程如下［7］:

(1)尋找各階模態(tài)振型，組成坐標(biāo)變換矩陣{Ψr} =［{Ψ1} {Ψ2} {Ψ3}…{ΨN}］。

(2)進(jìn)行坐標(biāo)變換{ X} = {Ψ} { q}。

(3)求取模態(tài)坐標(biāo)qr，r = 1，2，3…N，從而得到{ q}。

(4)建立響應(yīng)計(jì)算模型——模態(tài)模型;運(yùn)用模態(tài)模型，便可計(jì)算在實(shí)際激勵(lì)作用下的結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，包括位移、速度、加速度，乃至應(yīng)力應(yīng)變。

PMSM定子振動(dòng)中，除了由電磁力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)，還有自由振動(dòng)。下面分析永磁同步電機(jī)的自由振動(dòng)特性。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程可得系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程為

該方程的通解形式為

式中: C1、C2——由系統(tǒng)初始條件決定的常數(shù)。

這里定義使得(rc/2m)2－k/m = 0的rc為臨界阻尼系數(shù)，阻尼比ζ= r/rc。

故運(yùn)動(dòng)方程的解可表示為

對(duì)于無阻尼運(yùn)動(dòng)，ζ=0;對(duì)于欠阻尼運(yùn)動(dòng)，ζ＜1;對(duì)于臨界阻尼運(yùn)動(dòng)，ζ=1，對(duì)于過阻尼運(yùn)動(dòng)，ζ＞1。在實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)中，一般都是欠阻尼運(yùn)動(dòng)，否則就不會(huì)形成振動(dòng)了。對(duì)于欠阻尼情況，ζ?1，運(yùn)動(dòng)方程的解可寫為

式中: C'1、C'2、X0、φ0——由初始條件決定的常數(shù)，

對(duì)于初始條件x(t =0) = x0(t =0) =，則C'1= x0，C'2=。故系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的解為

2　 PMSM振動(dòng)特性的機(jī)電類比分析

永磁同步電機(jī)一般選用同容量的異步電機(jī)機(jī)座，定子鐵心與機(jī)殼內(nèi)圓采用過盈配合，無連接筋。設(shè)定子鐵心軛的剛度為K1、質(zhì)量為m1，機(jī)殼的剛度為K2、質(zhì)量為m2，不考慮繞組、定子凸極的影響，散熱筋、底腳、接線盒的質(zhì)量歸入機(jī)殼質(zhì)量;并設(shè)各部分的阻尼系數(shù)分別為rm1、rm2(假設(shè)各部分阻尼比為粘性，且等于鋼或鑄鐵的阻尼比)，則其物理模型、機(jī)械網(wǎng)絡(luò)圖、等效電路圖如圖1所示［8-9］。

圖1　電機(jī)定子機(jī)電類比雙環(huán)型模型

圖1中P0為作用在定子鐵心內(nèi)表面上單位面積力的幅值，Pn為等效的集中力，即:

式中: Ri——定子磁軛的內(nèi)半徑;

la——定子鐵心軸向長(zhǎng)度。

由機(jī)電類比法［8］可得對(duì)應(yīng)角頻率w的總機(jī)械阻抗為

則定子振動(dòng)位移的幅值為

其中，鐵心及機(jī)殼的剛度和質(zhì)量為［3］

J1——鐵心磁軛軸向截面對(duì)其軸向中心線的慣性矩，即: J1=(h3csla) /12，hcs為等效的鐵心軛厚，la為定子鐵心軸向長(zhǎng)度;

J2——機(jī)殼軸向截面對(duì)其軸向中心線的慣性矩，即: J1= (h3fslf) /12，hfs為機(jī)殼軛厚，lf為機(jī)殼長(zhǎng)度;

Fn1、Fn2——鐵心和機(jī)殼的軛厚與平均半徑之比的函數(shù);

R1、R2——鐵心磁軛和機(jī)殼的平均半徑;

G1——定子鐵心的總質(zhì)量;

G2——機(jī)殼、接線盒、底座的總質(zhì)量;

n——振形階數(shù)。

設(shè)定子鐵心、機(jī)殼的阻尼比ζ1、ζ2為黏性，則阻尼系數(shù)為

令機(jī)械阻抗的虛部為零，可求得定子的固有頻率為

將式(8)、式(9)代入式(7)、式(11)，可得電機(jī)強(qiáng)迫振動(dòng)幅值和固有頻率為

式中: E1、E2——鐵心材料和機(jī)殼材料的彈性模量;

共振時(shí)，定子振動(dòng)位移的振幅為

由式(13)可得PMSM軸向階數(shù)為零的平面振動(dòng)特性［9］，即:

(1)振動(dòng)幅值與力波幅值成正比，因此減小力波幅值是控制振動(dòng)的主要措施。

(2)隨著振形階數(shù)n的增大，對(duì)應(yīng)的固有頻率近似以n2的比例增大，而振幅則近似以n4的比例減小，因此，階數(shù)較低的力波引起的振動(dòng)應(yīng)是防范的重點(diǎn)。

(3)定子直徑越大，固有頻率越低，亦即當(dāng)激勵(lì)力的振幅、頻率均相等時(shí)，幾何尺寸越大的電機(jī)，振動(dòng)幅值越大，因而磁噪聲級(jí)亦越大。

(4)振動(dòng)大小與振動(dòng)系統(tǒng)的阻抗Zm關(guān)系很大，阻抗表明振動(dòng)系統(tǒng)接近諧振的程度;諧振時(shí)振動(dòng)甚至在小的電磁激振力時(shí)都可能很大，因此，使固有頻率避開主要的力波頻率是減小振動(dòng)的主要措施之一。

(5)共振時(shí)激振力波與振動(dòng)速度同相位，這時(shí)振動(dòng)幅值完全由阻尼限制。

3　有限元法分析PMSM定子模態(tài)

目前，理論計(jì)算固有頻率的方法有兩大類:一類是解析解計(jì)算方法，典型的是機(jī)電類比法，該方法可以得到固有頻率的解析表達(dá)式，但是計(jì)算精度較差;另一類是能量法，有兩種解法，一種是傅里葉級(jí)數(shù)解法，另一種是有限元法。一般情況下，兩種解法都不能得到解析解，而只能得到數(shù)值解。在定子結(jié)構(gòu)對(duì)稱時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)的求解精度可滿足一般工程上的要求。有限元解法可以考慮定子結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性，其計(jì)算精度較高。由于電機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，用解析法計(jì)算雖然簡(jiǎn)便，但計(jì)算誤差較大，因此本文采用有限元方法仿真計(jì)算了電機(jī)的模態(tài)，研究了電機(jī)的定子鐵心的模態(tài)。

ANSYS產(chǎn)品家族的模態(tài)分析是線性分析。任何非線性特性，如塑性和接觸(間隙)單元，即使定義了也將被忽略。

需要記住以下兩個(gè)要點(diǎn)［10］:

(1)模態(tài)分析中只有線性行為是有效的，如果指定了非線性單元，他們將被當(dāng)作是線性的。例如，如果分析中包含了接觸單元，則系統(tǒng)取其初始狀態(tài)的剛度值并且不再改變此剛度值。

(2)必須指定彈性模量EX(或某種形式的剛度)和密度DENS(或者某種形式的質(zhì)量)。材料性質(zhì)可以是線性的或非線性的、各向同性或正交各向異性的、恒定的或與溫度有關(guān)的，非線性特性將被忽略。用戶必須對(duì)某些指定的單元(COMBIN7，COMBIN14，COMBIN37)進(jìn)行實(shí)常數(shù)的定義。在上面有槽圓筒型永磁直線電機(jī)分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析電機(jī)的極弧系數(shù)、永磁體厚度和氣隙長(zhǎng)度對(duì)三種圓筒型永磁直線電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的影響。

3.1基于能量法的電機(jī)振動(dòng)模態(tài)的有限元分析模型

能量法的基礎(chǔ)是拉格朗日方程。在能量法計(jì)算中，一般用廣義坐標(biāo)來描述系統(tǒng)，將系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能等表示為廣義坐標(biāo)及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)［11］。系統(tǒng)的拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程可表示為

式中: L——拉格朗日函數(shù)L = T－U;

T——系統(tǒng)動(dòng)能;

U——系統(tǒng)勢(shì)能;

Fi——系統(tǒng)非保守廣義力;

qi——廣義坐標(biāo)，i =1，2，3…。

在有限元解法中，單元的動(dòng)能為

勢(shì)能為:

式中:δ——單元節(jié)點(diǎn)位移向量;

ρe——質(zhì)量密度;

N——形函數(shù);

B——應(yīng)變矩陣;

D——彈性矩陣。

代入拉格朗日方程，可推導(dǎo)出單元的質(zhì)量矩陣為

單元的剛度矩陣為

依據(jù)Hamilton原理和應(yīng)力-應(yīng)變、應(yīng)變-位移的關(guān)系［7］，導(dǎo)出電機(jī)離散后單元的運(yùn)動(dòng)方程為

式中:［K］——?jiǎng)偠染仃?

［R］——阻尼矩陣;

［M］——質(zhì)量矩陣;

{ u}——節(jié)點(diǎn)的位移矢量;

{ F}——節(jié)點(diǎn)的力矢量。

將各個(gè)離散的單元方程組聯(lián)合成總的系統(tǒng)方程組，經(jīng)過整理則可得出系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)動(dòng)方程為

對(duì)電機(jī)結(jié)構(gòu)的有限元分析可以獲得電機(jī)的振動(dòng)模態(tài)和固有頻率。固有頻率的計(jì)算一般為無阻尼自由振動(dòng)頻率，故在式(20)中，令{ F} =0，時(shí)間倒數(shù)(·)用jw代替(w為角頻率)，則電機(jī)結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)模態(tài)分析對(duì)應(yīng)的特征值問題為

根據(jù)線性方程組理論有非零解的充分必要條件為

解出滿足方程(21)和(22)的頻率w2和對(duì)應(yīng)的非零解向量{ ur} (r = 1，2，3…)，則wr，{ ur}分別為電機(jī)結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型。

有限元法ANSYS軟件提供了子空間法、分塊Lanczos法、Power Dynamics法、縮減法、非對(duì)稱法、阻尼法和QR阻尼法7種模態(tài)提取方法。大多數(shù)分析都選用前四種求解方法，非對(duì)稱法和阻尼法只在特殊情況下會(huì)用到。本文主要采用分塊Lanczos方法對(duì)問題展開求解。此方法應(yīng)用于提取大模型的多階模態(tài)，經(jīng)常應(yīng)用在具有實(shí)體單元或殼單元的模型中，特別是在模型中包含形狀較差的實(shí)體和殼單元，它的計(jì)算速度很快，但要以消耗內(nèi)存為代價(jià)［12］。

分塊Lanczos法的特征值求解器采用缺省求解器。它采用Lanczos算法，是由一組向量來實(shí)現(xiàn)Lanczos遞歸運(yùn)算。這種方法和子空間法一樣精確，但速度更快。無論EQSLV命令指定過何種求解器進(jìn)行求解，分塊法都將自動(dòng)采用稀疏矩陣方程求解器。計(jì)算某系統(tǒng)特征值譜所包含一定范圍的固有頻率時(shí)，采用這種方法特別有效。計(jì)算時(shí)，求解從頻率譜中間位置到高頻端范圍內(nèi)的求解收斂速度和求解低階頻率時(shí)基本上一樣快。因此，當(dāng)采用頻移頻率(FREQB)來提取從FREQB(起始頻率)的模態(tài)時(shí)，提取大于FREQB的n階模態(tài)和提取n階低頻模態(tài)的速度基本相同。在本章的計(jì)算中均采用了這種方法。

3.2定子鐵心的模態(tài)分析

利用ANSYS對(duì)2極18槽PMSM的定子進(jìn)行模態(tài)仿真，電機(jī)定子鐵心的彈性模量通常取(2.05～2.15)×1011N/m2，密度為7 305 kg/m2，泊松比是0.3。采用有限元軟件進(jìn)行模態(tài)仿真時(shí)，模型選用的單元類型為PLANE82，分析類型選用分塊的蘭索斯(Block Lanczos)法，求解的模態(tài)數(shù)選擇為40，擴(kuò)展的模態(tài)數(shù)選擇為40。2極18槽永磁同步電機(jī)定子鐵心三維有限元模型如圖2所示，模態(tài)分析后得到的不同固有頻率以及不同階振型如圖3所示。

圖2　定子鐵心三維有限元模型

由表1中可以看出三維定子模型更加接近實(shí)際模型，可以得到豐富的模態(tài)和固有頻率信息，有些頻率相近，這是由于電機(jī)定子結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，會(huì)出現(xiàn)振型和頻率相同但相位不同的情況;考慮永磁同步電動(dòng)機(jī)定子結(jié)構(gòu)的固有模態(tài)，這樣有利于避免電磁共振，減少振動(dòng)幅值，從而有利于降低電磁振動(dòng)和噪聲。

表1　永磁同步電機(jī)定子三維模型的振型和固有頻率

4　結(jié)語

本文得出模態(tài)分析的一些理論依據(jù)，利用有限元分析軟件ANSYS建立了2極18槽永磁同步電機(jī)樣機(jī)定子的三維有限元模態(tài)分析模型，計(jì)算得到了樣機(jī)的振型及振動(dòng)固有頻率，從而為該種電機(jī)避免共振起到了預(yù)見性作用。對(duì)不同結(jié)構(gòu)高轉(zhuǎn)速、低噪聲的PMSM避免共振和設(shè)計(jì)提供參考。

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圖3　定子鐵心模態(tài)分析的固有頻率及振型

Vibration Characteristics Modal Research of Permanent Magnet Synchronous Motor

HUANG Kefeng，XU Ye，WANG Jinquan
(Engineering Institute of National Defense，PLA University of Science and Technology，Nanjing 210007，China)

Abstract:The electromechanical analytical method was used to derive the calculation method of the natural frequency of the stator，and the ANSYS software was used to set up motor stator three-dimensional finite element model and model analysis，calculate the natural frequency and vibration mode，avoid resonance vibration with the frequencies and force wave exponent number of electromagnetic force which could reduce electromagnetic vibration and noise of PMSM.

Key words:permanent magnet synchronous motor(PMSM) ; natural frequency; modal research

收稿日期:2015-08-31

作者簡(jiǎn)介:黃克峰(1986—)，男，博士，講師，研究方向?yàn)橛来烹姍C(jī)設(shè)計(jì)和負(fù)載特性分析。

*基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)青年基金(51507180)

中圖分類號(hào):TM 351

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1673-6540(2016) 03-0022-006