張壤文，田學(xué)民（中國(guó)石油大學(xué)（華東）信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266580）

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帶變遺忘因子的自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

張壤文，田學(xué)民
（中國(guó)石油大學(xué)（華東）信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266580）

摘要：針對(duì)實(shí)際工業(yè)過(guò)程具有非線性、時(shí)變和多變量的特點(diǎn)，提出一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的帶有變遺忘因子的自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制方法。該方法將在線子空間辨識(shí)與模型預(yù)測(cè)控制相結(jié)合，同時(shí)利用期望輸出值與實(shí)際輸出值的誤差實(shí)現(xiàn)變遺忘因子的自適應(yīng)更新，并根據(jù)當(dāng)前變遺忘因子構(gòu)造了過(guò)去與將來(lái)的Hankel矩陣，從而實(shí)現(xiàn)了預(yù)測(cè)模型的在線更新，提高了控制器對(duì)非線性時(shí)變特征的辨識(shí)靈敏度和適應(yīng)能力。最后，利用該控制器對(duì)四容水箱對(duì)象進(jìn)行仿真研究，驗(yàn)證了算法的有效性。

關(guān)鍵詞：非線性時(shí)變；數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)；在線子空間辨識(shí)；自適應(yīng)；遺忘因子

2015-12-15收到初稿，2015-12-20收到修改稿。

聯(lián)系人：田學(xué)民。第一作者：張壤文（1992—），女，碩士研究生。

引 言

在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中常常會(huì)產(chǎn)生大量的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，并且大部分工業(yè)過(guò)程具有時(shí)變性、不確定性和非線性的特點(diǎn)，較難建立精確的狀態(tài)空間模型，即便是得到了被控對(duì)象的狀態(tài)空間模型，在實(shí)際的生產(chǎn)應(yīng)用過(guò)程中很多狀態(tài)還是不可測(cè)的。子空間模型辨識(shí)[1-4]算法是一種能夠直接由被控對(duì)象的輸入輸出數(shù)據(jù)辨識(shí)其狀態(tài)空間模型而不用了解系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的方法，目前已經(jīng)有相當(dāng)多的研究成果將它與模型預(yù)測(cè)控制[5-7]相結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)了多變量預(yù)測(cè)控制器[8-13]的設(shè)計(jì)。所以，近年來(lái)采用子空間模型辨識(shí)的方法對(duì)被控對(duì)象的狀態(tài)空間模型進(jìn)行辨識(shí)逐漸成為一種趨勢(shì)。

Kadali等[14]提出了一般子空間預(yù)測(cè)控制方法，利用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方式設(shè)計(jì)了一種增量式子空間預(yù)測(cè)控制器；Luo等[15]提出了在線子空間辨識(shí)的自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制方法，利用滾動(dòng)窗口在線更新R陣的方式得到下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)模型；李少遠(yuǎn)等[16]設(shè)計(jì)了基于時(shí)變遺忘因子的子空間預(yù)測(cè)控制器，在已有在線辨識(shí)的基礎(chǔ)上，利用遺忘因子來(lái)調(diào)整采集數(shù)據(jù)的權(quán)重。上述子空間預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)方法雖然運(yùn)用了遺忘因子機(jī)制，卻忽略了不同時(shí)刻遺忘因子作用于不同Hankel矩陣權(quán)重不同的問(wèn)題。

針對(duì)上述問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的帶變遺忘因子的自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制器。在每一采樣時(shí)刻利用系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)更新Hankel矩陣，同時(shí)利用期望輸出與實(shí)際輸出的誤差值構(gòu)造變遺忘因子，實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)模型的在線更新，從而使控制器具有較好跟蹤性能的同時(shí)又能在模型失配下使得實(shí)際輸出能夠快速回到期望設(shè)定點(diǎn)。通過(guò)對(duì)四容水箱對(duì)象的仿真驗(yàn)證了算法的有效性。

1 基于子空間辨識(shí)的預(yù)測(cè)控制方法

1.1 在線子空間辨識(shí)方法

線性時(shí)不變系統(tǒng)的形式如下所示

式中，輸入uk∈IRl，輸出yk∈IRm，狀態(tài)xk∈IRn，ek為零均值的高斯白噪聲序列。

式中，下角標(biāo)p和f分別代表了過(guò)去時(shí)刻和未來(lái)時(shí)刻。同樣地，也可以定義包含測(cè)量噪聲的Hankel矩陣Ep和Ef。這幾個(gè)數(shù)據(jù)矩陣的列數(shù)j?2 N+ 2與行數(shù)N需滿足關(guān)系：。

基于滾動(dòng)模式的在線子空間辨識(shí)方法需要在每一采樣時(shí)刻更新輸入輸出序列，剔除舊數(shù)據(jù)，加入新數(shù)據(jù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)Hankel矩陣的在線更新。窗口數(shù)據(jù)集的在線更新示意圖如圖1所示。

圖1 滾動(dòng)窗口子空間辨識(shí)Fig.1 Subspace identification with rolling window

利用上述Hankel矩陣，構(gòu)造矩陣Wp如式（7）所示定義線性預(yù)測(cè)算子如式（8）所示

未來(lái)輸出序列Yf的最小二乘預(yù)測(cè)值可以通過(guò)式（9）所示最小二乘問(wèn)題求得

式（9）的解為將Yf的行空間正交投影到的行空間，如式（10）所示

通過(guò)QR分解可以對(duì)式（10）的正交投影問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值求解

由式（11）構(gòu)造L陣為

式中，?為矩陣的偽逆。Lw和Lu即為所求模型參數(shù)。在線子空間辨識(shí)需要在每一采樣時(shí)刻通過(guò)更新輸入輸出向量構(gòu)造當(dāng)前時(shí)刻的Hankel矩陣以實(shí)現(xiàn)對(duì)模型參數(shù)的在線更新。

1.2 增量式預(yù)測(cè)控制方法

設(shè)未來(lái)的輸入序列uf，相對(duì)應(yīng)的未來(lái)輸出預(yù)測(cè)序列以及未來(lái)的參考輸出rf分別定義如下，定義過(guò)去的輸入輸出序列如下

為了構(gòu)造

則子空間預(yù)測(cè)控制器的位置式目標(biāo)函數(shù)可以寫為

為了消除輸出值與設(shè)定值之間的穩(wěn)態(tài)誤差，在控制器中加入積分特性[18]，這就要求控制量應(yīng)以增量的形式計(jì)算，此時(shí)，將式（13）修改如式（15）所示

式中

則目標(biāo)函數(shù)中的模型參數(shù)表達(dá)式應(yīng)如式（16）、式（17）所示

式中，N2為預(yù)測(cè)時(shí)域；Nu為控制時(shí)域；l為系統(tǒng)輸入的維數(shù)；m為系統(tǒng)輸出的維數(shù)。最終得到增量式最優(yōu)控制量[14]為

2 帶變遺忘因子的自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制方法

當(dāng)前時(shí)刻的控制增量為

2.1 Hankel矩陣的在線更新形式

設(shè)計(jì)初始時(shí)刻的Hankel矩陣形式[19]如式（20）～式（23）所示

式中，Up(0)，Uf(0)，Yp(0)，Yf(0)分別為初始時(shí)刻過(guò)去與未來(lái)的輸入輸出Hankel矩陣的一般形式，分別為帶有遺忘因子的初始時(shí)刻過(guò)去與未來(lái)的輸入輸出Hankel矩陣。λ0∈ (0,1)為初始時(shí)刻的遺忘因子，且定義

由上述表達(dá)式可以看出，變遺忘因子作用于過(guò)去與未來(lái)的Hankel矩陣權(quán)重不同，過(guò)去的Hankel矩陣受遺忘因子影響的權(quán)重要比將來(lái)的Hankel矩陣受遺忘因子影響的權(quán)重大。

為了實(shí)現(xiàn)在線子空間辨識(shí)，在每一采樣時(shí)刻，需利用滾動(dòng)優(yōu)化的方法對(duì)Hankel矩陣進(jìn)行在線更新，并同時(shí)利用期望輸出與實(shí)際輸出的誤差值實(shí)現(xiàn)變遺忘因子的自適應(yīng)更新。根據(jù)初始時(shí)刻Hankel矩陣的構(gòu)造形式，可得i時(shí)刻Hankel矩陣[19]的構(gòu)造形式如式（24）～式（27）所示

基于上述Hankel矩陣的構(gòu)造形式，可得i時(shí)刻帶有變遺忘因子的輸入輸出Hankel矩陣形式如式（28）～式（29）所示

最終，得到了帶有變遺忘因子的Hankel矩陣的在線更新形式。

2.2 變遺忘因子的更新

為了提高對(duì)被控對(duì)象的控制精度，增加算法的自適應(yīng)性，可通過(guò)挖掘系統(tǒng)的內(nèi)部信息實(shí)現(xiàn)遺忘因子的在線更新，使其隨著參數(shù)變化的快慢自動(dòng)調(diào)整大小。一般，對(duì)于參數(shù)變化較快的系統(tǒng)可選擇較小的遺忘因子，加快算法跟蹤速度，對(duì)于參數(shù)變化較慢的系統(tǒng)可選擇較大的遺忘因子，提高控制精度和抗噪能力。利用每一采樣時(shí)刻期望輸出與實(shí)際輸出的誤差值構(gòu)造遺忘因子的形式如式（30）、式（31）所示

λi即為i時(shí)刻的遺忘因子，λmax和λmin分別為遺忘因子的上下限。通過(guò)設(shè)置遺忘因子在一個(gè)固定范圍內(nèi)變化，可以防止Hankel矩陣出現(xiàn)病態(tài)奇異的情況。由式（30）、式（31）可知，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化快，每一采樣時(shí)刻的誤差值d(i)增大時(shí)，遺忘因子減小，遠(yuǎn)離當(dāng)前時(shí)刻采集數(shù)據(jù)的權(quán)重衰減速度增加，相當(dāng)于記憶長(zhǎng)度減小，提高了辨識(shí)靈敏度，反之，當(dāng)d(i)減小時(shí)，遺忘因子增加，使得辨識(shí)精度提高。

2.3 自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制算法實(shí)現(xiàn)步驟

綜上所述，帶變遺忘因子的自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)步驟如下。

（1）對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行機(jī)理建模，根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)造帶有變遺忘因子的Hankel矩陣，得到初始時(shí)刻的模型參數(shù)；

（3）根據(jù)模型參數(shù)和所構(gòu)造向量求解最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)得到控制量ut并將其加到被控對(duì)象上得到實(shí)際輸出；

（4）利用期望輸出與實(shí)際輸出的誤差值更新遺忘因子，同時(shí)采集新增輸入輸出數(shù)據(jù)對(duì)更新Hankel矩陣，得到當(dāng)前時(shí)刻的模型參數(shù)，轉(zhuǎn)至步驟（2）。

3 仿真驗(yàn)證

四容水箱裝置[20]如圖2所示。

由圖2可以看出，該裝置由兩個(gè)水泵、兩個(gè)分配閥和四個(gè)互連的儲(chǔ)水罐組成，u1、u2分別為加在兩個(gè)水泵上的電壓，v1、v2分別為兩個(gè)分配閥的流量分配系數(shù)，且v1、v2均在區(qū)間[0,1]內(nèi)變化，h1、h2、h3和h4分別為4個(gè)水箱的液位高度。系統(tǒng)的輸入即控制變量為u1和u2；系統(tǒng)的輸出即被控變量為兩個(gè)下水箱的液位h1和h2。當(dāng)水泵的輸入u1變化時(shí)，不僅會(huì)使得下水箱液位h1變化，還會(huì)通過(guò)分配閥使得上水箱h4變化從而影響下水箱液位h2，所以兩個(gè)下水箱液位h1和h2呈相互耦合的關(guān)系。

圖2 四容水箱裝置Fig.2 Quadruple tank device

該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)平衡方程[20]為

式中，A1、A2、A3和A4分別為4個(gè)水箱的橫截面積；a1、a2、a3和a4分別為4個(gè)水箱流出管道的橫截面積。具體模型參數(shù)參見(jiàn)文獻(xiàn)[21]。

利用帶遺忘因子的自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制方法對(duì)四容水箱對(duì)象進(jìn)行控制仿真曲線如圖3所示。

圖3 自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制仿真曲線Fig.3 Adaptive predictive control simulation

由圖3可以看出，當(dāng)t= 100 s，250 s，450 s時(shí)下水箱液位h1的設(shè)定值發(fā)生正階躍變化，當(dāng)t= 600 s，800 s時(shí)下水箱液位h2的設(shè)定值發(fā)生負(fù)階躍變化，無(wú)論是正階躍還是負(fù)階躍，預(yù)測(cè)控制器都能夠使輸出較快跟蹤給定值的變化而變化，且由于耦合作用引起的波動(dòng)較小。由此可知，帶遺忘因子的自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制器具有良好的跟蹤性能。

將帶變遺忘因子的自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制仿真曲線與一般子空間預(yù)測(cè)控制仿真曲線對(duì)比如圖4所示。

圖4 自適應(yīng)與子空間預(yù)測(cè)仿真比較Fig.4 Tracking comparison between adaptive and non-adaptive

由圖4可以看出，兩種預(yù)測(cè)控制器在工作點(diǎn)發(fā)生改變的情況下都能夠較快跟蹤設(shè)定值的變化而變化，體現(xiàn)了基于子空間辨識(shí)的預(yù)測(cè)控制器具有較好的跟蹤性能和控制精度。

為了突出自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制器的優(yōu)勢(shì)，將其與帶約束的子空間預(yù)測(cè)控制器在模型失配的情況下進(jìn)行比較，令四容水箱對(duì)象的流量閥分配系數(shù)v1增大，從而使得流入下水箱1的流量增大，流入下水箱4的流量減小，從而影響下水箱2的流量，因此模型發(fā)生改變，控制效果見(jiàn)圖5、圖6。

圖5與圖6分別為在t =300 s，500 s，800 s時(shí)逐漸增加流量閥分配系數(shù)v1所得到的液位輸出與輸入量控制曲線。由圖5可以看出，在模型失配情況下，一般子空間預(yù)測(cè)控制器由于對(duì)模型參數(shù)是離線辨識(shí)的，無(wú)法適應(yīng)改變的過(guò)程條件，導(dǎo)致輸出曲線發(fā)散，由于對(duì)其進(jìn)行限幅使得其輸出曲線呈等幅振蕩狀態(tài)。而自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制器能夠在每個(gè)采樣時(shí)刻更新模型參數(shù)，使得控制器適用于不斷變化的過(guò)程條件，即便發(fā)生模型失配，實(shí)際輸出也能夠快速地回到期望設(shè)定點(diǎn)，體現(xiàn)了自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制器的優(yōu)勢(shì)。

圖5 自適應(yīng)與無(wú)自適應(yīng)輸出仿真比較Fig.5 Output comparison between adaptive and non-adaptive

圖6 自適應(yīng)與無(wú)自適應(yīng)輸入仿真比較Fig.6 Input comparison between adaptive and non-adaptive

由于自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制算法需要在每一采樣時(shí)刻更新變遺忘因子與模型參數(shù)，計(jì)算量大，耗時(shí)長(zhǎng)，而四容水箱系統(tǒng)參數(shù)變化較慢，故選取固定步長(zhǎng)為10，將算法改變?yōu)槊扛?0個(gè)采樣時(shí)刻更新一次遺忘因子與模型參數(shù)，遺忘因子則由這10個(gè)采樣時(shí)刻的誤差均值所構(gòu)造，所得模型失配下的控制仿真曲線見(jiàn)圖7。由圖7可以看出，修改后的自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制器在模型失配的情況下也能夠較快回到期望設(shè)定點(diǎn)，并且計(jì)算時(shí)長(zhǎng)縮短為原來(lái)的1/10。

4 結(jié) 論

設(shè)計(jì)了一種帶變遺忘因子的自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制器，通過(guò)將其與帶約束的子空間預(yù)測(cè)控制器在模型失配的情況下進(jìn)行仿真比較，突出了帶變遺忘因子的自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制算法的優(yōu)勢(shì)，最后通過(guò)延長(zhǎng)更新模型參數(shù)的時(shí)間間隔，既得到了較理想的控制效果，又減小了計(jì)算耗時(shí)。仿真實(shí)例驗(yàn)證了算法的有效性。

圖7 自適應(yīng)與修改自適應(yīng)仿真比較Fig.7 Comparison between adaptive and modified adaptive

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研究論文

Received date: 2015-12-15.

Foundation item: supported by the National Natural Science Foundation of China (61273160).

Design of adaptive subspace predictive controller with variable forgetting factor

ZHANG Rangwen, TIAN Xuemin
(College of Information and Control Engineering, China University of Petroleum (East China), Qingdao 266580, Shandong, China)

Abstract:In order to overcome the nonlinear, time-varying and multivariate of actual industrial processes, a kind of data-driven adaptive subspace predictive control method with forgetting factor was proposed . This method combined model predictive control with online subspace identification, the adaptive updating of variable forgetting factor was designed on the distance value of desired output and actual output at the same time, then the past and future forms of Hankel matrices were designed with the current forgetting factor, thus the online updated of predictive model was realized and the identification sensitivity and adaptability of controller for nonlinear and time-varying characteristics was improved. Finally, a simulating example with the quadruple tank was given to verify the validity of this method.

Key words:nonlinear and time-varying; data-driven; online subspace identification; adaptive; forgetting factor

DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20151904

中圖分類號(hào)：TP 273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：0438—1157（2016）03—0858—07

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61273160）。

Corresponding author:Prof. TIAN Xuemin, tianxm@upc.edu.cn