徐鯤鮑新中(北京聯(lián)合大學(xué)，北京　100101)

企業(yè)戰(zhàn)略聯(lián)盟中多人多產(chǎn)品合作生產(chǎn)的成本分攤研究

徐鯤鮑新中
(北京聯(lián)合大學(xué)，北京100101)

〔摘要〕合作博弈理論在企業(yè)聯(lián)盟收益分配和成本分攤中得到了廣泛應(yīng)用，但一般都是單產(chǎn)品問題，而多產(chǎn)品合作生產(chǎn)的成本分攤問題相關(guān)研究卻很少。本文從合作博弈的視角研究了企業(yè)戰(zhàn)略聯(lián)盟中各參與企業(yè)合作生產(chǎn)多種產(chǎn)品時的成本分攤問題，構(gòu)建了一個多人多產(chǎn)品合作博弈模型，給出了博弈應(yīng)滿足的公理化性質(zhì)，并基于夏普利法給出了該博弈的解函數(shù)表達式，同時還給出了單位產(chǎn)品成本函數(shù)的表達式。使用該博弈模型首先可以實現(xiàn)戰(zhàn)略聯(lián)盟的總成本在各參與企業(yè)間的分攤，還可以將總生產(chǎn)成本在該聯(lián)盟生產(chǎn)的各產(chǎn)品之間進行分攤。最后用算例證明了該方法的可行性及合理性。

〔關(guān)鍵詞〕企業(yè)戰(zhàn)略聯(lián)盟合作博弈成本分攤夏普利值收益分配

引言

自企業(yè)戰(zhàn)略聯(lián)盟在20世紀90年代興起以來，其作為一種新型的管理實踐一直備受關(guān)注。企業(yè)界和理論界從經(jīng)濟學(xué)、管理學(xué)、社會學(xué)等多個角度對企業(yè)戰(zhàn)略聯(lián)盟的組織性質(zhì)、形成動因、聯(lián)盟的組建、聯(lián)盟的管理［1－3］以及聯(lián)盟的利益分配(成本分攤)、聯(lián)盟的穩(wěn)定性等［4－10］內(nèi)容展開了研究。聯(lián)盟合作收益分配或成本分攤的合理性是聯(lián)盟能夠保持持續(xù)穩(wěn)定的基礎(chǔ)，國內(nèi)外學(xué)者對此展開了多方面的研究。

合作博弈理論不討論理性的個人如何達成合作的過程，而是直接討論合作的結(jié)果與收益的分配。合作博弈的主要問題就在于如何在參與人中間分配由于合作而帶來的額外的收益及分配聯(lián)盟的總成本。以合作博弈為基礎(chǔ)的成本分配理論已經(jīng)被眾多學(xué)者應(yīng)用到許多實踐領(lǐng)域當中，運用較多的是對于一些大型公共基礎(chǔ)設(shè)施的成本分配問題［11］、電力通訊網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域的成本分攤問題［12］等。也有學(xué)者將合作博弈理論運用到企業(yè)合作聯(lián)盟的成本和利益分配中［13－15］。

戰(zhàn)略聯(lián)盟有多種形式，按照其合作領(lǐng)域，一般可以分為技術(shù)合作聯(lián)盟、研發(fā)聯(lián)盟、市場聯(lián)盟和生產(chǎn)聯(lián)盟等形式，本文研究的是生產(chǎn)合作戰(zhàn)略聯(lián)盟之間的成本分配問題。目前，在利用合作博弈理論來進行生產(chǎn)合作戰(zhàn)略聯(lián)盟收益(成本)分配的研究中，一般都只涉及生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本或收益分配(也可以理解為將生產(chǎn)成本函數(shù)視同為線性函數(shù)，認為生產(chǎn)成本函數(shù)與產(chǎn)量之間是線性關(guān)系)。但是，當合作聯(lián)盟生產(chǎn)的產(chǎn)品種類大于或等于2，且各產(chǎn)品之間的成本不獨立、生產(chǎn)成本函數(shù)為非線性函數(shù)時，不僅要將聯(lián)盟總生產(chǎn)成本在聯(lián)盟各參與企業(yè)之間進行分配，還要將聯(lián)盟總生產(chǎn)成本在各產(chǎn)品之間進行分配。而在現(xiàn)實生活中，產(chǎn)品聯(lián)盟合作生產(chǎn)多產(chǎn)品的情況很常見，比如石油產(chǎn)業(yè)、化工產(chǎn)業(yè)等，一個生產(chǎn)鏈所產(chǎn)出的產(chǎn)品很多，而且各產(chǎn)品之間的成本并不獨立。這時，若仍使用傳統(tǒng)的成本分攤方法計算各種產(chǎn)品的單位成本，所得結(jié)果的準確性就難以保證，甚至使用傳統(tǒng)的分攤方法根本無法進行分攤。本文基于合作博弈思想用一個博弈族描述了企業(yè)戰(zhàn)略聯(lián)盟中多產(chǎn)品合作生產(chǎn)的成本分攤問題，構(gòu)建了多人多產(chǎn)品合作博弈成本分攤模型，給出了博弈應(yīng)滿足的公理化性質(zhì)，并基于夏普利值法給出了該博弈的解函數(shù)表達式，同時還給出了單位產(chǎn)品成本函數(shù)的表達式。

1　多人多產(chǎn)品合作條件下合作博弈相關(guān)概念的重新界定

對相同的產(chǎn)品集合感興趣的企業(yè)可以通過組成產(chǎn)品聯(lián)盟的形式或簽訂合作協(xié)議的形式合作生產(chǎn)以獲得所需數(shù)量的產(chǎn)品。無論企業(yè)間采用何種方式構(gòu)建企業(yè)戰(zhàn)略聯(lián)盟，都要進行收益(成本)分攤，而一個公平、合理、能為聯(lián)盟中所有企業(yè)都接受的成本(收益)分攤方案，對于維持聯(lián)盟的穩(wěn)定性、保證后續(xù)合作而言具有重要意義。

一般的合作博弈分配模型只涉及一種產(chǎn)品的分配(或者說將生產(chǎn)成本函數(shù)視同為線性函數(shù)，認為生產(chǎn)成本函數(shù)與產(chǎn)量之間是線性關(guān)系)，而本文所要解決的是多種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本分攤問題，生產(chǎn)函數(shù)為非線性函數(shù)，因而在模型的表達上有較大區(qū)別?；诤献鞑┺睦碚摰南嚓P(guān)原理以及關(guān)于多產(chǎn)品合作生產(chǎn)的相關(guān)研究［16］，這里將重新界定合作博弈中函數(shù)、集合等要素的表達方式。

令N = { 1，2，…，n}表示大戰(zhàn)略聯(lián)盟，其中n為正整數(shù)，表示參與企業(yè)的個數(shù)。令P表示集合N所有非空子集的集合。令S表示參與企業(yè)之間任意組成的戰(zhàn)略聯(lián)盟，S?P;假定大聯(lián)盟N中的每一個參與企業(yè)都對相同的產(chǎn)品集M = { 1，2，…，m}感興趣，該產(chǎn)品集內(nèi)的所有產(chǎn)品都可以通過執(zhí)行生產(chǎn)項目獲得。值得說明的是，大聯(lián)盟N中的每一個參與企業(yè)都可以獨立進行生產(chǎn)而獲得所需要的產(chǎn)品量，也可以通過組成戰(zhàn)略聯(lián)盟合作生產(chǎn)以滿足所需產(chǎn)量。

對于每一個聯(lián)盟S?P而言，給定產(chǎn)品向量x ∈Rm，都有一個既定的生產(chǎn)成本函數(shù)fs∶Rm→R。我們定義產(chǎn)品向量x = (x1，x2，…，xm)∈Rm+，也就是說，參與人都只對正的產(chǎn)量感興趣。此外，生產(chǎn)成本函數(shù)fs是非線性函數(shù)，它僅取決于產(chǎn)品總量而不取決于產(chǎn)品在參與企業(yè)之間的分配方式。函數(shù)fs具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且f(0) = 0，也就是說在產(chǎn)量為零時，成本也為零。

定義y = (y1，y2，…，yn)∈Rn×m+= RNM，其中RNM是大聯(lián)盟N的產(chǎn)品空間，向量y = (y1，y2，…，yn)表示參與企業(yè)所需求的產(chǎn)量。yi= (yi1，yi2，…，yim)∈Rm+，其中，yij表示第i家企業(yè)對第j種產(chǎn)品的需求量。

定義1:給定成本函數(shù)f和產(chǎn)品向量x，定義函數(shù)c(f，x)為產(chǎn)品的單位成本函數(shù):

c(f，x) = (c1(f，x)，…，cj(f，x)，…，cm(f，x) )∈Rm

其中，cj(f，x)是第j種產(chǎn)品的單位成本。對于任意聯(lián)盟S而言，單位成本函數(shù)c(fS，x)將生產(chǎn)成本fS在該聯(lián)盟所生產(chǎn)的各單位產(chǎn)品之間進行分配。

定義2:給定一個有限的參與企業(yè)集合N，多人多產(chǎn)品合作博弈的特征型是有序數(shù)對(N，vy)，其中，函數(shù)vy被稱為該合作博弈的特征函數(shù)，是從集合S到實數(shù)集的映射。對于任意給定的參與企業(yè)聯(lián)盟而言，vy表示該聯(lián)盟的得益(payoff)，這項得益是由于參與企業(yè)之間組成聯(lián)盟合作生產(chǎn)而給聯(lián)盟帶來的收益，其本質(zhì)是一種成本節(jié)約。特征函數(shù)的一般表達式為:

式(1)中，表示第i個參與企業(yè)單獨生產(chǎn)所需產(chǎn)量時的成本，而表示參與企業(yè)所組成的戰(zhàn)略聯(lián)盟S合作生產(chǎn)產(chǎn)品所產(chǎn)生的總成本。由此我們可以得知，vy(S)表示:相對于單獨執(zhí)行項目而言，聯(lián)盟S中的參與企業(yè)因合作而獲得的成本節(jié)約，即聯(lián)盟的得益。

此外，對于任意i∈N，特征函數(shù)vy都滿足: vy({ i} ) =0，也就是說，博弈(N，vy)是0——標準化的。

如果多人多產(chǎn)品合作博弈滿足超可加性條件，即:對于任意S，T∈P，且S∩T =?而言，都有vy(S∪T)≥vy(S) + vy(T)，那么我們認為該模型是適當?shù)?、可行的?/p>

定義3:定義合作博弈(N，vy)的分配集I(N，vy)為:，且對于?i∈N，都有zi≥vy({ i } } )

從定義中可以看出，I(N，vy)是所有符合個體理性和集體理性的分配方案z的集合。集合中的每個分配方案都能將大聯(lián)盟N的得益vy(N)在所有參與企業(yè)之間進行完全分配。

定義4:函數(shù)F∶Ω→Rm是一個解，如果它給每個合作博弈(N，vy)分配以分配集I(N，vy)中的一個子集。Fi(N，vy)表示大聯(lián)盟N的總得益中分配給第i家參與企業(yè)的份額。

定義5:對于任意給定的產(chǎn)品向量y = (y1，y2，…，yn)∈RNM，定義投資函數(shù)G為從Ω到Rm的映射，第i個參與企業(yè)的投資額可以表示為:

第i個參與企業(yè)的投資額在數(shù)值上等價于他獨立完成生產(chǎn)的生產(chǎn)成本與他從大聯(lián)盟N中分得的得益之間的差值。其本質(zhì)是第i個企業(yè)參與戰(zhàn)略聯(lián)盟N，為獲得其所需數(shù)量的產(chǎn)品最終所付出的總成本。

2　多人多產(chǎn)品合作博弈的公理化性質(zhì)

2. 1單位成本函數(shù)的公理化性質(zhì)

基于合作博弈理論的相關(guān)原理以及關(guān)于多產(chǎn)品合作生產(chǎn)的相關(guān)研究［16］，這里描述并討論多人多產(chǎn)品合作博弈中單位成本函數(shù)c(f，x)應(yīng)當滿足的4個公理化性質(zhì)(或必要性條件)，同時滿足這4個公理化性質(zhì)的單位成本函數(shù)是唯一的，本文給出了該單位成本函數(shù)的一般表達式。單位成本函數(shù)c(f，x)應(yīng)當滿足的4個公理化性質(zhì)(公理1～4) :

公理1:可收回性公理，如果對于任意聯(lián)盟S ?P而言，都有:

則稱單位成本函數(shù)具有可收回性。上式表明:聯(lián)盟的生產(chǎn)成本能夠在所輸出的各單位產(chǎn)品之間進行完全分配。也就是說，如果聯(lián)盟S中的參與人決定要實施該開發(fā)項目，按照單位成本函數(shù)給各單位產(chǎn)品的成本之和應(yīng)當包含且不超過生產(chǎn)成本fS(x)。

公理2:可加性公理。如果對于任意聯(lián)盟S?P而言，給定函數(shù)fS、gS和hS，且hS= fS+ gS，都有:

c(fS，x) + c(gS，x) = c(hS，x)

則稱單位成本函數(shù)是可加的。上式中，函數(shù)fS和函數(shù)gS表示總成本hS的兩個不同的組成部分。上式表明了c(f，x)的可加性，即:如果生產(chǎn)成本可以分解成不同的組成部分，那么任意產(chǎn)品最終的單位成本都應(yīng)當是其部分成本的單位成本之和。

公理3:單調(diào)性公理。如果對于任意聯(lián)盟S?P而言，生產(chǎn)成本函數(shù)fS在區(qū)間{ z∈Rm∶0≤z≤x}上是非遞減的，即: x≥z?fS(x)≥fS(z)，都有: c(f，x)≥0。則稱單位成本函數(shù)具有單調(diào)性。這意味著，如果生產(chǎn)函數(shù)是非遞減的，那么產(chǎn)品的單位成本cj(f，x)是非負的。在這里，“函數(shù)fS是非遞減的”表示:對于每一種產(chǎn)品而言，如果生產(chǎn)數(shù)量增加，生產(chǎn)成本也會隨之增加，也就是說更低的生產(chǎn)成本不會生產(chǎn)出更多的產(chǎn)品。

同時滿足前3個公理化性質(zhì)的單位成本函數(shù)有很多，即如果僅提出前3個條件，可能出現(xiàn)多種不同的分配方案。因而，第4個公理化性質(zhì)(聚集不變性)要求在特定的情況下使用特殊的方法將成本分配給單位產(chǎn)品，其特殊性是決定單位成本函數(shù)的唯一性的一個重要因素。

公理4:聚集不變性公理。如果對于任意聯(lián)盟S?P而言，給定產(chǎn)品向量d = (d1，…，dm)∈Rm(d＞0)，若:

都有:

則稱單位成本函數(shù)是一個聚集不變量。上式表明單位成本函數(shù)的表達式形式不受函數(shù)fS(x)和變量x的表達形式變化影響。如果兩種產(chǎn)品在本質(zhì)上屬于同一種產(chǎn)品，但由于所使用的計量單位不同(比如同一種石油的產(chǎn)量可以用美制加侖或英制加侖計量)，而采用不同的產(chǎn)品向量表示，根據(jù)本公理化性質(zhì)便可判斷出這兩種產(chǎn)品究竟是不是同一種物質(zhì)。

同時滿足上述4個公理化性質(zhì)的單位成本函數(shù)的表達式是唯一的:

根據(jù)Billera和Heath兩人所提出的成本分配程序［18］，以及單位成本函數(shù)所滿足的公理1～4中的條件，我們可以證得本文所提出的單位成本函數(shù)的表達形式是唯一的，并且以式(3)的形式存在。

對于任意聯(lián)盟S而言，根據(jù)式(3)，我們可以計算該聯(lián)盟產(chǎn)出中各產(chǎn)品的單位成本。

2. 2解函數(shù)的公理化性質(zhì)

根據(jù)合作博弈解函數(shù)的性質(zhì)特點，這里來討論多人多產(chǎn)品合作博弈的解函數(shù)Fi(N，vy)所應(yīng)滿足的幾個公理化性質(zhì)(公理5～8) :

公理5:虛擬性公理。博弈(N，vy)的參與人被稱為虛擬參與人，如果對于任意聯(lián)盟S?N{ i}而言，都有vy(S∪{ i} ) = vy(S)。也就是說，如果一個參與人是虛擬參與人，那么他加入還是不加入聯(lián)盟對聯(lián)盟的得益沒有影響。

解函數(shù)Fi(N，vy)滿足虛擬參與人性質(zhì)，簡稱虛擬性，對于博弈(N，vy)中的虛擬參與人，F(xiàn)i(N，vy) = 0。也就是說，對于沒有做出貢獻的參與人——虛擬參與人，不分配給他任何得益。實際上，虛擬性公理是邊際原則的一種弱形式。

公理6:解函數(shù)Fi(N，vy)具有匿名性，如果對于任意博弈(N，vy)，任意i∈N以及任意排列π，都有:

其中，博弈πvy定義為:對于任意聯(lián)盟S?P而言，πvy(π(S) )≡vy(S)。也就是說，聯(lián)盟中處于同樣地位的參與人所分配到的得益是相同的，應(yīng)該平等地對待地位相同的人。分配給某個參與人的得益應(yīng)該按照其對聯(lián)盟的貢獻大小，而不管他是誰。

如果對于任意聯(lián)盟S?P而言，給定函數(shù)fS、gS和hS，且hS= fS+ gS，假定與這些成本函數(shù)相對應(yīng)的博弈分別為(N，vy)、(N，v'y)、(N，v″y)，那么，根據(jù)前文中對可加性公理的表述，有:

公理7:聚合性公理。如果對于任意博弈(N，v'y)、(N，v″y)，有:

則稱解函數(shù)Fi(N，vy)具有聚合性，該公理要求任何兩個相互獨立的博弈的聯(lián)合所組成的新博弈的解是原來兩個博弈的解之和。

公理8:規(guī)模效應(yīng)公理。如果對于聯(lián)盟S，T?P，且S∩T =?，都有:

則稱解函數(shù)Fi(N，vy)具有規(guī)模效應(yīng)，由若干個相互獨立的較小聯(lián)盟合并而成的大聯(lián)盟的總成本小于或者等于原各聯(lián)盟的成本之和，也就是說，參與人對某個聯(lián)盟的邊際貢獻隨著聯(lián)盟的規(guī)模擴大而增加。

引理1:如果多人多產(chǎn)品合作博弈(N，vy)同時滿足公理1和公理8，那我們說該博弈是適當?shù)?、可行的，也就是說，該博弈滿足超可加性。

合作博弈(N，vy)是超可加的，如果對于任意聯(lián)盟S，T?P，且S∩T =?，都有:

vy(S) + vy(T)≤vy(S∪T)

該式表明，當任意兩個聯(lián)盟的交集為空集的時候，這兩個聯(lián)盟中的所有參與人組成的新聯(lián)盟的總利潤總是不小于原先的兩個聯(lián)盟的利潤之和。這種博弈稱為超可加博弈。

對引理1中結(jié)論的證明:

對于任意聯(lián)盟S，T?P，且S∩T =?，都有:

即多人多產(chǎn)品合作博弈(N，vy)滿足超可加性。

3　多人多產(chǎn)品合作博弈成本分攤模型及其求解

3. 1建立多人多產(chǎn)品合作博弈成本分攤模型

合作博弈成本分攤模型的建立是以3個條件為前提的，即:有效性、個體理性和集體理性［16］。多人多產(chǎn)品合作博弈成本分攤模型的建立也要滿足這幾個條件。

條件1:個體理性。每個參與人從聯(lián)盟總成本中分攤到的金額，要小于其獨立完成自身項目所要花費的成本，否則，從自身利益出發(fā)，該企業(yè)將不會接受成本分攤方案。即:

其中，C(i)為第i個參與人不與任何人結(jié)盟時所發(fā)生的成本數(shù)額。

條件2:有效性。聯(lián)盟成本應(yīng)在成員企業(yè)之間完全分攤，即:

其中，C(N)表示n個參與人的總需分攤成本，實際上也就是所有參與人全部參加合作時所需要分攤的總成本發(fā)生額。

條件3:集體理性。在多人合作博弈中還需要滿足聯(lián)盟和理性條件，即:

同時滿足有效性、個體理性和集體理性的成本分攤方案為內(nèi)部穩(wěn)定合作分攤，F(xiàn)i(N，vy)為穩(wěn)定解，否則稱為不穩(wěn)定的合作。這里得到內(nèi)部穩(wěn)定的多人多產(chǎn)品合作博弈成本分攤模型。

3. 2基于夏普利值的多人多產(chǎn)品合作博弈模型的解

在多人多產(chǎn)品合作博弈(N，vy)中，由于公理1可收回性公理、公理2可加性公理和公理8規(guī)模效應(yīng)公理都得到了滿足，說明該博弈是適當?shù)?、可行的，也就是說，該博弈滿足超可加性條件。而且該合作博弈滿足虛擬性、匿名性、可加性等公理化性質(zhì)，則根據(jù)Shapley在1953年的文章中給出的夏普利值表達式，將特征函數(shù)的形式替換為定義3中的形式，就得到了解函數(shù)的一般表達式。

在多人多產(chǎn)品合作博弈(N，vy)中，對于任一給定產(chǎn)品向量y = (y1，y2，…，yn)∈RNM而言，都有唯一的解F滿足公理1～8，其表達式為:

其中，對于?i∈N及?S?P而言，特征函數(shù)vy的表達式為:

成本分攤函數(shù)cj(fS，x)的表達式為:

4　　算例分析

4. 1算例假設(shè)

假定目前化工市場上有甲、乙、丙、丁4家企業(yè)，他們希望通過合作研發(fā)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共同占領(lǐng)同類產(chǎn)品市場。A、B兩種產(chǎn)品在同一生產(chǎn)流程中生產(chǎn)，共同消耗機器設(shè)備、人員工時以及生產(chǎn)車間發(fā)生的其他各種費用，兩種產(chǎn)品的成本間存在相關(guān)性，很難單獨進行核算。盡管這四家企業(yè)完全具備獨立研發(fā)生產(chǎn)產(chǎn)品A和B的實力，但為了降低成本，利用規(guī)模效應(yīng)帶來的成本降低，4家企業(yè)開始尋求合作，建立了一個企業(yè)戰(zhàn)略聯(lián)盟，合作生產(chǎn)所需的兩種化工產(chǎn)品。

在本算例中，我們假定:參與人集合為N = { 1，2，3，4}，依次代表4家化工甲、乙、丙、丁;產(chǎn)品集合為M = { 1，2}，分別代表產(chǎn)品A和B;參與人聯(lián)盟的集合為P = { { 1}，{ 2}，{ 3}，{ 4}，{ 1，2}，{ 1，3}，{ 1，4}，{ 2，3}，{ 2，4}，{ 3，4}，{ 1，2，3}，{ 1，2，4}，{ 2，3，4}，{ 1，2，3，4} }。

對于任意聯(lián)盟S?P而言，生產(chǎn)成本函數(shù)fS(x1，x2)都是給定的，其中x1和x2分別表示聯(lián)盟S所需要的產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的數(shù)量。在本算例中，假定生產(chǎn)成本函數(shù)的表達式為道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的形式，即: f(x1，x2) = axα1xβ2，其中α，β＞0且α +β＜1。當然，在現(xiàn)實中，生產(chǎn)成本函數(shù)要更加復(fù)雜，而且不同聯(lián)盟的生產(chǎn)函數(shù)一般不同，但為了簡化計算，本例中假定所有聯(lián)盟的生產(chǎn)成本函數(shù)相同，為f(x1，x2) = 2x0. 41x0. 52，即a = 2，α= 0. 4，β=0. 5。各企業(yè)所要求的兩種產(chǎn)品的數(shù)量如表1所示:

表1　企業(yè)所需產(chǎn)量表

4. 2成本分攤模型的應(yīng)用及計算

成本分攤程序:根據(jù)算例說明中給出的數(shù)據(jù)，以及本文給出的函數(shù)表達式以及多人多產(chǎn)品合作博弈解的表達式，我們將分別計算出各聯(lián)盟的生產(chǎn)成本、產(chǎn)品的單位成本、特征函數(shù)vy的值，然后根據(jù)Shapley Value法計算出合作博弈的解，并且根據(jù)投資函數(shù)Gi(N，vy)的表達式求出各企業(yè)應(yīng)當分攤的成本額。

表2　各成本及特征函數(shù)值結(jié)果表

表2中，第一行列示了各聯(lián)盟所要求產(chǎn)品A的產(chǎn)量x1，第二行列示了各聯(lián)盟所要求產(chǎn)品B的產(chǎn)量x2。第三行列示了根據(jù)生產(chǎn)成本函數(shù)表達式和一、二行數(shù)據(jù)計算的各聯(lián)盟的生產(chǎn)成本fS。第四行列示了根據(jù)單位成本函數(shù)計算得到的產(chǎn)品A的單位成本c1，第五行列示了產(chǎn)品B的單位成本c2。最后一行列示了根據(jù)特征函數(shù)vy的表達式所計算出的各聯(lián)盟的特征函數(shù)值。

下面以聯(lián)盟{ 1，2，3}為例列出各成本、函數(shù)值的計算過程:

①計算聯(lián)盟要求的產(chǎn)量x1和x2: x1=6 +3 + 4 =13; x2=4 +5 +3 =12。

②計算聯(lián)盟的生產(chǎn)成本fS: fS= 2×130. 4× 120. 5=19. 33，即:聯(lián)盟{ 1，2，3}的總生產(chǎn)成本為19. 33。

③計算產(chǎn)品A的單位成本c1:

即:在聯(lián)盟{ 1，2，3}中，產(chǎn)品A的單位成本為0. 66，產(chǎn)品B的生產(chǎn)成本為0. 89。

④計算聯(lián)盟{ 1，2，3}的特征函數(shù)值:

vy({ 1，2，3} ) =0. 61×6 +1. 14×4 +1. 03×3 +0. 77×5 + 0. 67×4 + 1. 12×3－(0. 66×13 + 0. 89×12) =1. 83

即:企業(yè)甲、乙、丙三者通過構(gòu)建聯(lián)盟{ 1，2，3}而獲得了1. 83的得益，該得益的本質(zhì)是一種成本節(jié)約。該節(jié)約額應(yīng)在大聯(lián)盟的參與企業(yè)之間進行分配。這里運用Shapley Value法計算甲企業(yè)應(yīng)分得的聯(lián)盟得益為例介紹合作博弈解的計算過程:

根據(jù)Shapley Value法計算博弈解時，按照下式求解:

在集合P中，一共有8個聯(lián)盟中包含甲企業(yè)，各聯(lián)盟的聯(lián)盟人數(shù)、特征函數(shù)、形成該聯(lián)盟的概率以及解函數(shù)的計算過程如表3所示:

表3　企業(yè)甲的Shapley Value計算過程表

根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)，可計算出甲企業(yè)所分得的得益為:

F1(N，vy) =0. 06 +0. 08 +0. 06 +0. 10 +0. 11，+0. 10 + 0. 38 = 0. 89，即甲企業(yè)因參與各聯(lián)盟所分得的聯(lián)盟得益的期望值。同理，可以計算出其他3家企業(yè)所分得的得益分別為F2(N，vy) = 0. 53，F(xiàn)3(N，vy) =0. 79，F(xiàn)4(N，vy) =0. 56。

表3中，，yi)×yij］－Fi(N，vy)可以算得各企業(yè)最終所分攤的生產(chǎn)成本分別為:

G1(N，vy) =8. 19－0. 89 =7. 30;

G2(N，vy) =6. 94－0. 53 =6. 41;

G3(N，vy) =6. 03－0. 79 =5. 24;

G4(N，vy) =5. 38－0. 56 =4. 82。

至此，已經(jīng)得到了甲乙丙丁各企業(yè)為獲得所需產(chǎn)品量而最終分攤的成本，并且得到了產(chǎn)品A 和B各自的單位成本，即完成了本算例中多人合作生產(chǎn)多產(chǎn)品的成本分攤問題。

5　結(jié)論

合作博弈理論在企業(yè)聯(lián)盟單產(chǎn)品合作生產(chǎn)的收益分配和成本分攤中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，而本文則研究了企業(yè)聯(lián)盟中參與企業(yè)合作生產(chǎn)多種產(chǎn)品時的成本分攤問題，得到以下結(jié)論:

(1)多產(chǎn)品合作生產(chǎn)的成本函數(shù)一般為非線性函數(shù)，成本函數(shù)和各產(chǎn)品的產(chǎn)量之間并不是簡單的線性關(guān)系，而是具有規(guī)模效應(yīng)的。使用傳統(tǒng)的分配方法難以將聯(lián)盟的生產(chǎn)成本在各產(chǎn)品之間準確分配，因而本文在給出了產(chǎn)品單位成本函數(shù)應(yīng)滿足的公理化性質(zhì)(公理1～4)之后，得到了單位成本函數(shù)的表達式，該式是唯一能夠同時滿足公理1～4的表達形式。

(2)本文用一個博弈族描述了企業(yè)戰(zhàn)略聯(lián)盟中多產(chǎn)品合作生產(chǎn)的成本分攤問題，構(gòu)建了多人多產(chǎn)品合作博弈模型，給出了博弈應(yīng)滿足的公理化性質(zhì)(公理5～8)，并應(yīng)用Shapley Value法得到了該博弈的解，該博弈解是唯一能夠同時滿足公理5～8的成本分配方案。

最后通過算例應(yīng)用，驗證了多人多產(chǎn)品合作博弈及其解的有用性，即能夠成功地將生產(chǎn)成本在聯(lián)盟中各企業(yè)和各產(chǎn)品之間進行分配。

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(責(zé)任編輯:王平)

Research on Cost Allocation of Multiple Goods Cooperative Production in Enterprise Strategic Alliance

Xu Kun Bao Xinzhong
(Beijing Union University，Beijing 100101，China)

〔Abstract〕Cooperative game theory has been widely used in profit and cost allocation of enterprice alliance under singleproduct cooperation，but not multi－products cooperation．This paper mainly dealt with the cost allocation of multi－products cooperative production in enterprise strategic alliance．A cooperative game model is put forward for cost allocation problem which describing cooperation of players interested in multiple goods obtained from a joint project．Under a set of axioms imposed on the game and axioms describing reasonable requirement of per－unit cost function，the solution based on the Shapley Value is proposed and discussed．By using this model，the total cost of the alliance could be allocated within the players，and also could be allocated within the products in the same time．Finally，a case is used to prove the rationality and the feasibility of this model．

〔Key words〕enterprice strategic alliance; game theory; cost allocation; shapley value; income distribution

作者簡介:徐鯤，北京聯(lián)合大學(xué)管理學(xué)院教授。研究方向:供應(yīng)鏈金融。鮑新中，北京聯(lián)合大學(xué)管理學(xué)院教授，博士，創(chuàng)新企業(yè)財務(wù)管理研究中心主任。研究方向:科技企業(yè)投融資管理。

基金項目:國家社會科學(xué)基金項目“基于第三方風(fēng)險動態(tài)監(jiān)控平臺的知識產(chǎn)權(quán)質(zhì)押融資模式研究”(項目編號: 14BGL034) ;北京社科基金項目“電商雙邊市場供應(yīng)鏈融資與北京小微企業(yè)融資體系優(yōu)化研究”(項目編號: 14JGC097)。

收稿日期:2015—12—01

〔中圖分類號〕F224. 32; F275. 3

〔文獻標識碼〕A

DOI:10．3969/j．issn．1004－910X．2016．04．008