楊燕妮,　楊　剛

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

?

關(guān)于Gorenstein FP-內(nèi)射模及維數(shù)

楊燕妮,楊剛*

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

摘要：首先給出右GFPI-封閉環(huán)的定義,即稱環(huán)R是右GFPI-封閉環(huán),如果所有的Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模類關(guān)于擴(kuò)張封閉.證明當(dāng)R是右凝聚與右GFPI-封閉環(huán)時(shí),所有的Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模類是內(nèi)射可解類.特別地,研究?jī)?yōu)越擴(kuò)張環(huán)上模的Gorenstein FP-內(nèi)射性質(zhì),證明當(dāng)R與S是右凝聚環(huán),S是R的優(yōu)越擴(kuò)張時(shí),如果M是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,則HomR(S,M)是Gorenstein FP-內(nèi)射右S-模,并且證明如果M是Gorenstein FP-內(nèi)射右S-模,則M是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模.另外,當(dāng)R是右凝聚與右GFPI-封閉環(huán)時(shí),給出Gorenstein FP-內(nèi)射維數(shù)的若干等價(jià)刻畫.

關(guān)鍵詞：FP-內(nèi)射模; Gorenstein FP-內(nèi)射模; 優(yōu)越擴(kuò)張環(huán)

1準(zhǔn)備知識(shí)

本文中的環(huán)R與S均指有單位元的結(jié)合環(huán),模均指酉模.MR(RM)表示右(左)R-模M.對(duì)未作解釋的標(biāo)記、事實(shí)和概念,參見文獻(xiàn)[1-3].

下面給出本文中需要的一些基本概念和結(jié)果.

定義 1.1[9]稱M是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,如果存在正合列

使得以下3條成立:

1)M?Im(E0→E0);

2) 所有的Ei和Ei都是FP-內(nèi)射右R-模;

3) 對(duì)任意的投射維數(shù)有限的有限表現(xiàn)右R-模P,HomR(P,E)是正合的.

定義 1.2[9]設(shè)R是右凝聚環(huán),M是右R-模,則M是Gorenstein FP-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)存在FP-內(nèi)射右R-模正合列

使得M?Im(E0→E0).

設(shè)R是環(huán),X是右R-模類.

1) 若對(duì)X中任意短正合列0→X1→X2→X3→0,其中,X1∈X,X3∈X,有X2∈X,則稱X關(guān)于擴(kuò)張封閉.

2) 若對(duì)X中任意短正合列0→X1→X2→X3→0,其中,X1∈X,X2∈X,有X3∈X,則稱X關(guān)于單同態(tài)的余核封閉.

3) 若X包含內(nèi)射模類,并且X關(guān)于擴(kuò)張和單同態(tài)的余核封閉,則稱X是內(nèi)射可解類[11].

定義 1.3稱環(huán)R是右GFPI-封閉環(huán),如果所有的GorensteinFP-內(nèi)射右R-模類關(guān)于擴(kuò)張封閉.

命題 1.4設(shè)R是右凝聚環(huán).若R是右GFPI-封閉環(huán),則GorensteinFP-內(nèi)射右R-模類是內(nèi)射可解類.

證明根據(jù)GorensteinFP-內(nèi)射模的定義,每一個(gè)內(nèi)射模都是GorensteinFP-內(nèi)射模.要證明GorensteinFP-內(nèi)射右R-模類是內(nèi)射可解類,只需證明GorensteinFP-內(nèi)射右R-模類關(guān)于單同態(tài)的余核封閉即可.

考慮短正合列0→E1→E2→E3→0,其中,E1和E2是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,下證E3是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模.由于E2是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,所以存在短正合列0→K→E→E2→0使得K是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,E是FP-內(nèi)射右R-模,考慮E→E2與E1→E2的拉回

在第一列短正合列0→K→M→E1→0中,K與E1是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,由于R是右GFPI-封閉環(huán),所以M是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模.再根據(jù)第二行正合列0→M→E→E3→0與文獻(xiàn)[9]的推論2.4知,E3是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模.命題得證.

注 1.5若R是右自FP-內(nèi)射的右凝聚環(huán)時(shí),由文獻(xiàn)[9]的定理3.2知,所有的右R-模都是Gorenstein FP-內(nèi)射的,所以Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模類是內(nèi)射可解類.

2Gorenstein FP-內(nèi)射模及維數(shù)

定義 2.1[12-13]設(shè)R和S是環(huán).稱S是R的幾乎處處優(yōu)越擴(kuò)張,若滿足以下條件:

1)S是R的有限正規(guī)化擴(kuò)張,即R與S有相同的單位元[14],存在元a1,…,an∈S使得S=Ra1+…+Ran,且對(duì)于任意的i=1,2,…,n,有Rai=aiR;

2)RS是平坦的,SR是投射的;

3)S是右R-投射,即若MS是NS的子模且MR是NR的直和因子,則有MS是NS的直和因子.

稱S是R的優(yōu)越擴(kuò)張[15-16],若S是R的幾乎處處優(yōu)越擴(kuò)張,SR與RS是自由的,且有基a1,…,an滿足a1=1R.

以下例子可參考文獻(xiàn)[13,17].

例 1設(shè)S是R的優(yōu)越擴(kuò)張.若S有2個(gè)理想I和K使得R∩I=0且S=I⊕K,則映射R→S/I是幾乎處處優(yōu)越擴(kuò)張.若KR不是自由R-模,則映射R→S/I不是優(yōu)越擴(kuò)張.

例 2環(huán)R上的n階全矩陣環(huán)Mn(R)是環(huán)R的優(yōu)越擴(kuò)張.

例 3設(shè)A是域K上的有限維代數(shù),且F是K的有限可分域擴(kuò)張,則A?KF是A的優(yōu)越擴(kuò)張.

例 4設(shè)K是域,G是群且H是G的正規(guī)子群.若[G∶H]是有限的且在K中是非零的,則KG是KH的優(yōu)越擴(kuò)張.

引理 2.2[12]設(shè)S是R的優(yōu)越擴(kuò)張.若M是右S-模,則MS同構(gòu)于(HomR(S,M))S的直和因子.

定理 2.3設(shè)R與S是右凝聚環(huán),S是R的優(yōu)越擴(kuò)張.若M是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,則HomR(S,M)是Gorenstein FP-內(nèi)射右S-模.

證明設(shè)M是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,則存在FP-內(nèi)射右R-模的正合列E=…→E1→E0→E0→E1→…使得M?Im(E0→E0).由于SR是投射模,故HomR(S,E)=…→HomR(S,E1)→HomR(S,E0)→HomR(S,E0)→HomR(S,E1)→…是右S-模的正合列.又由文獻(xiàn)[18]的引理2.3,所有的HomR(S,Ei)與HomR(S,Ei)都是FP-內(nèi)射右S-模,且HomR(S,M)?Im(HomR(S,E0)→HomR(S,E0)),因此由定理1.2,HomR(S,M)是Gorenstein FP-內(nèi)射右S-模.

推論 2.4設(shè)R與S是右凝聚環(huán),S是R的優(yōu)越擴(kuò)張,M是右R-模,則G-FP-idS(HomR(S,M))≤G-FP-idR(M).

證明若G-FP-idR(M)=∞時(shí),結(jié)論顯然成立.若G-FP-idR(M)=n<∞時(shí),則存在以下正合列0→M→I0→I1→…→In→0,其中每個(gè)Ii是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模.由于SR是投射模,故有以下正合列0→HomR(S,M)→HomR(S,I0)→HomR(S,I1)→…→HomR(S,In)→0.由定理2.3,每一個(gè)HomR(S,Ii)是Gorenstein FP-內(nèi)射右S-模,所以G-FP-idS(HomR(S,M))≤G-FP-idR(M).

定理 2.5設(shè)R與S是右凝聚環(huán),S是R的優(yōu)越擴(kuò)張.若N是Gorenstein FP-內(nèi)射右S-模,則N是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模.

證明由于N右S-模,顯然N是右R-模.由條件可知存在FP-內(nèi)射右S-模的正合列E=…→E1→E0→E0→E1→…使得N?Im(E0→E0),由文獻(xiàn)[18]的引理2.3,每一個(gè)FP-內(nèi)射右S-模是FP-內(nèi)射右R-模,所以由定理1.2,N是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模.

推論 2.6設(shè)R與S是右凝聚環(huán),S是R的優(yōu)越擴(kuò)張,M右S-模,則G-FP-idR(M)≤G-FP-idS(M).

證明若G-FP-idS(M)=∞,結(jié)論顯然成立.若G-FP-idS(M)=n<∞時(shí),則存在以下正合列0→M→E0→E1→…→En→0,其中每個(gè)Ei是Gorenstein FP-內(nèi)射右S-模,由定理2.5,每個(gè)Ei是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,故G-FP-idR(M)≤G-FP-idS(M).

引理 2.7設(shè)R是右凝聚與右GFPI-封閉環(huán).若序列0→A→E0→E1→M→0正合,其中,E0和E1是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,則存在正合列0→A→E→I→M→0使得E是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,I是FP-內(nèi)射右R-模.

證明由于E1是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,所以存在短正合列0→K→I→E1→0使得I是FP-內(nèi)射右R-模,K是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模.設(shè)L=Im(E0→E1),考慮L→E1與I→E1的拉回

及B→L與E0→L的拉回

在正合列0→K→E→E0→0中,K與E0是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,由于R是右GFPI-封閉環(huán),所以E是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模.這樣就有正合列0→A→E→I→M→0.引理得證.

定理 2.8設(shè)R是右凝聚與右GFPI-封閉環(huán),M是右R-模,n是非負(fù)整數(shù),則以下等價(jià):

1)G-FP-idR(M)≤n;

2) 對(duì)于任意整數(shù)k滿足1≤k≤n,存在正合列0→M→E0→E1→…→En→0使得當(dāng)0≤i

在正合列0→K→A→G0→0中,K與G0是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模,由于R是右GFPI-封閉環(huán),所以A是Gorenstein FP-內(nèi)射右R-模.現(xiàn)假設(shè)G-FP-idR(M)=n>1.取L=coker(M→G0),則G-FP-idR(L)≤n-1.根據(jù)歸納假設(shè),對(duì)任意的整數(shù)k,滿足2≤k≤n時(shí),存在正合列0→L→E1→E2→…→En→0使得當(dāng)1≤i

參考文獻(xiàn)

[1] ROTMAN J J. An Introduction to Homological Algebra[M]. New York:Academic Press,1979.

[2] ANDERSON F W, FULLER K R. Rings and Categories of Modules[M]. New York:Springer-Verlag,1974.

[3] ENOCHS E E, JENDA O M G. Relative Homological Algebra[M]. New York:Walter de Gruyter,2000.

[4] MADDOX B H. Absolutely pure modules[J]. Proc Am Math Soc,1967,18:155-158.

[5] STENSTR?M B. Coherent rings and FP-injective modules[J]. J London Math Soc,1970,2:323-329.

[6] MEGIBBEN C. Absolutely pure modules[J]. Proc Am Math Soc,1970,26:561-566.

[7] JAIN S. Flat and FP-injectivity[J]. Proc Am Math Soc,1973,41:437-442.

[8] DING N Q, CHEN J L. Coherent rings with finite self-FP-injective dimension[J]. Commun Algebra,1996,24:2963-2980.

[9] GAO Z H, WANG F G. Coherent rings and Gorenstein FP-injective modules[J]. Commun Algebra,2012,40:1669-1679.

[10] 陳文靜,楊曉燕. 弱Gorenstein FP-內(nèi)射模[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,37(4):477-481.

[11] HOLM H. Gorenstein Homological dimensions[J]. J Pure Appl Algebra,2004,189:167-193.

[12] XUE W M. On almost excellent extensions[J]. Algebra Colloq,1996,3:125-134.

[13] XUE W M. On a generalizaton of excellent extensions[J]. Acta Math Vietnam,1994,19:31-38.

[14] SHAMSUDDIN A. Finite normalizing extensions[J]. J Algebra,1992,151:218-220.

[15] PASSMAN D S. The Algebraic Structure of Group Rings[M]. New York:Wiley-Interscience,1977.

[16] BONAMI L. On the Structure of Skew Group Rings[M]. Munchen:Verlag Reinhard Fisher,1984.

[17] SUN J X. Excellent extensions and Ding projective modules[J]. J Math Reasearch,2014,6(2):100-103.

[18] MAO L X, DING N Q. Notes on FP-Projective modules and FP-Injective modules[J]. Adv Ring Theory,2005:151-166.

2010 MSC：16D50

(編輯李德華)

On Gorenstein FP-injective Modules and Dimensions

YANG Yanni,YANG Gang

(SchoolofMathematicsandPhysics,LanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,Gansu)

Abstract：A ring R is called right GFPI-closed, if the class of all Gorenstein FP-injective R-modules is closed under extensions. When R is right coherent and right GFPI-closed, it is proved that the class of all Gorenstein FP-injective right R-modules is injectively resolving. Especially, Gorenstein FP-injective properties of modules under extensions rings are investigated. When R and S are right coherent rings and S an excellent extension of R, it is proved that if M is a Gorenstein FP-injective right R-module then HomR(S,M) is a Gorenstein FP-injective right S-module, and if M is a Gorenstein FP-injective right S-module then M is a Gorenstein FP-injective right R-module. In addition, when R is right coherent and right GFPI-closed ring, some equivalent characterizations of Gorenstein FP-injective dimensions are given.

Key words：FP-injective modules; Gorenstein FP-injective modules; excellent extensions rings

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.008

中圖分類號(hào)：O153.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-8395(2016)01-0047-04

*通信作者簡(jiǎn)介：楊剛(1980—),男,副教授,主要從事同調(diào)代數(shù)的研究,E-mail:yanggang@mail.lzjtu.cn

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11101197)和甘肅省自然科學(xué)基金(145RJZA079)

收稿日期:2015-01-14