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        具有強迫項的有限時滯Lienard方程周期解的存在性

        2016-05-06 02:04:57黃燕革
        關(guān)鍵詞:時滯

        黃 勇, 黃燕革

        (百色學院 數(shù)學與計算機信息工程系, 廣西 百色 533000)

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        具有強迫項的有限時滯Lienard方程周期解的存在性

        黃勇,黃燕革

        (百色學院 數(shù)學與計算機信息工程系, 廣西 百色 533000)

        摘要:利用Mawhin延拓定理證明,構(gòu)造新算子,使用新技巧,研究了一類具有強迫項和有限時滯的二階Lienard方程

        的周期解問題,得到了方程至少存在一個周期解的充分條件,獲得了新的結(jié)論.

        關(guān)鍵詞:強迫項; 時滯; Lienard方程; 周期解; Mawhin延拓定理

        關(guān)于具有有限時滯Lienard方程

        (1)

        和關(guān)于具有強迫項的Lienard方程

        (2)

        的周期解的存在性的研究已有許多(參見文獻[1-22]及其參考文獻).據(jù)我們所知,研究同時具有強迫項和有限時滯的Lienard方程周期解的存在性還不多見.

        本文研究如下一類同時具有強迫項和有限時滯Lienard方程

        (3)

        的周期解的存在性問題,其中,f1(x)、f2(x)和g(x)是定義在R=(-∞,+∞)上的連續(xù)實函數(shù),常數(shù)τ≥0,e(t)是周期為T的連續(xù)函數(shù),即對于常數(shù)T>0,e(t+T)=e(t).利用Mawhin延拓定理給出方程(3)存在周期解的一些充分條件.

        1假設(shè)與引理

        為研究方便,把方程(3)轉(zhuǎn)化為以下等價方程組

        (4)

        其中

        常數(shù)τ≥0.

        這樣,研究方程(3)就轉(zhuǎn)化為研究方程(4).為利用Mawhin延拓定理[23],考慮Banach空間Z中的算子方程

        (Eλ)

        其中,L:domL∩Z→Z是一個線性算子,N:Z→Z是一個連續(xù)的算子和λ∈[0,1]是一個參數(shù).

        相應于方程(Eλ)有

        因此,關(guān)于方程組(4)的周期解的存在性問題被轉(zhuǎn)化為當λ=1時,方程組(5)在Z中的周期解的存在性問題.

        如果

        dim KerL=codim ImL<+∞,

        并且ImL在Z中閉,則算子L稱為指標為零的Fredholm算子[24].

        如果L為指標為零的Fredholm算子,則存在連續(xù)投影算子P、Q分別為:

        P:Z∩domL→KerL,

        Q:Z→Z/ImL,

        且有

        ImP=KerL,KerQ=ImL.

        因此有

        L|dom L∩Ker P:domL∩KerP→ImL

        是一個一一映射且具有連續(xù)廣義逆kp及

        J:Z/ImL→KerL

        是一個同構(gòu).

        1)LX≠λNX,?X∈?Ω∩domL,λ∈(0,1),

        2)QNX≠0,?X∈?Ω∩KerL,

        3) deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0;

        為了討論方程(4)的周期解存在性問題,記

        并在Z中定義范數(shù)

        其中

        易證,在此范數(shù)下Z為Banach空間.定義

        易證

        dim KerL=codim ImL=2

        且ImL為Z的閉子空間,故知L為指標為零的Fredholm算子.

        2主要結(jié)果

        定理假設(shè)f1(x)、f2(x)和g(x)是定義在R=(-∞,+∞)上的連續(xù)實函數(shù),e(t)是周期為T的連續(xù)函數(shù),并且以下條件成立:

        (A1)f2(x)在R上有界,存在常數(shù)b>0,使

        (A3)f1(x)>0,且

        則方程組(4)至少存在一個周期為T的周期解.

        證明第1步:證明當λ∈(0,1)時,對于方程(5)的任意一個T周期解

        一定存在正數(shù)M>0,使得對所有的t∈[0,T]有

        先證明第一個分量x(t)≤M1,常數(shù)M1>0.由(5)式的第2個方程積分得

        (6)

        由假設(shè)條件(A1)和(A2)可以確定必存在t0∈[0,T],使得

        (7)

        現(xiàn)記

        以下證明存在M1>0,使x(t*)

        事實上,如果x(t*)≤d,取M1>d,結(jié)論顯然成立.若x(t*)>d,結(jié)合(7)式知存在包含t*的區(qū)間[α,β],這里α=α(x,λ),β=β(x,λ),且β-α

        (8)

        (9)

        (10)

        這樣由(5)式的第一個方程及(9)式得

        (11)

        從而存在ξ∈[α,β],使

        (12)

        現(xiàn)記|u|q表示Lq([α,β],R)中的范數(shù),其中1≤q<+∞,即

        可得

        (13)

        將方程(5)的第1個方程寫為

        得到

        (14)

        另一方面有

        (15)

        代入(15)式得到

        其中,k為滿足00與x、λ無關(guān).

        將(14)同(15)及(16)式相比較,分別得到

        由條件(A3)知道,無論上述哪種情況,均存在常數(shù)c2>0,使得

        從而

        (19)

        則c3是獨立于x,λ的常數(shù),讓M1≥c3,這樣已經(jīng)證明了存在常數(shù)M1≥0,使

        從而第1個分量

        下面證明,在上述前提下,第2個分量y(t)≤M2,常數(shù)M2>0,且存在常數(shù)M>0,使

        事實上,由條件(A1)、(A2),可以得到

        其中-d≤x≤M1.由于

        為一個常數(shù),令

        因此由(5)式的第2個方程有

        則由(12)式和x(t*)的做法,容易得到

        (21)

        即證明了存在正數(shù)M2>0,M2=c1+2c4,使第2個分量

        用x′(t)乘以(5)式的第1個方程,并在[0,T]上積分得

        (22)

        因此,由(7)和(22)式得

        (23)

        均有‖X(t)‖≤M.

        第2步:為利用引理1,記

        L:domL∩Z→Z是一個線性算子,N:Z→Z是一個連續(xù)的算子,則L為指標為零的Fredholm算子,在前面范數(shù)規(guī)定下Z為Banach空間.定義連續(xù)投影算子P、Q為

        則有

        ImP=KerL,KerQ=ImL,

        L|dom L∩Ker P:domL∩KerP→ImL

        是一個一一映射且具有連續(xù)廣義逆kp及Z/ImL→KerL是一個同構(gòu),記為J.kp由下式給出

        根據(jù)以上證明,顯然Ω滿足引理1中的條件1)的要求.

        現(xiàn)在設(shè)

        則X是一個在R2中的常矢且‖X‖=M.如果|x|>d,由條件(A2)、(19)和(22)式獲得

        如果|x|≤d,由

        得到

        因此,無論哪種情況都有

        (24)

        這樣,引理1中的條件2)滿足.

        現(xiàn)定義連續(xù)算子B:Ω→Ω,BX=(y,-x)T,根據(jù)Ω定義,Ω關(guān)于原點對稱,且當X=(x,y)T∈?Ω∩KerL時,

        由引理2有

        deg{B,Ω∩KerL,0}≠0.

        作一個函數(shù)

        φ(X,u)=uBX+(1-u)QNX=

        引理1中的條件3)滿足.

        這樣,Ω滿足引理1的全部條件.故由引理1,算子方程LX=NX在Banach空間Z至少有一個解.這樣我們已經(jīng)證明方程組(4)至少存在一個T周期解.定理證畢.

        3應用舉例

        考慮方程

        (25)

        因為

        參考文獻

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        2010 MSC:34C25

        (編輯余毅)

        The Existence of Periodic Solutions for a Class of Forced and Finite Delayed Lienard Equations

        HUANG Yong,HUANG Yan’ge

        (DepartmentofMathematicsandComputerInformationTechnology,BaiseCollege,Baise533000,Guangxi)

        Abstract:In this paper, a new operator is constructed by using the Mawhin’s continuity theorem. The periodic solutions to a class of forced and finite delayed second-order Lienard equations of the form x″(t)+f1(x)x′(t)+f2(x)(x′(t))2+g(x(t-τ))=e(t) are studied. Some sufficient conditions for the existence of periodic solutions are given.

        Key words:forced; delayed; Lienard equations; periodic solution; Mawhin’s continuity theorem

        doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.020

        中圖分類號:O157.6

        文獻標志碼:A

        文章編號:1001-8395(2016)01-0111-06

        作者簡介:黃勇(1961—),男,教授,主要從事微分方程的研究,E-mail:huangyong861@sohu.com

        基金項目:廣西自然科學基金(2013GXNSFAA019022)和廣西高??蒲许椖炕?2013YB243)

        收稿日期:2015-05-12

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