魏霖靜 鄭琯荷(甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 甘肅 蘭州 730070)

三次樣條插值函數(shù)在多媒體課件中的實(shí)現(xiàn)

魏霖靜 鄭琯荷
(甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 甘肅 蘭州 730070)

作為計(jì)算方法中的一種重要的插值函數(shù)，三次樣條插值函數(shù)一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大重點(diǎn)及難點(diǎn)，要如何學(xué)好三次樣條插值函數(shù)也成了教師和學(xué)生共同思考的問(wèn)題。通過(guò)多媒體課件可以更好的表達(dá)這一函數(shù)的思想。

三次樣條插值函數(shù)；多媒體課件

0.引言

三次樣條插值函數(shù)是教學(xué)的重點(diǎn)及難點(diǎn)，普通的板書(shū)及講授不能很好的讓學(xué)生了解掌握這個(gè)函數(shù)，因此，我們使用多媒體課件的形式來(lái)表達(dá)，讓學(xué)生清晰明了的掌握。

1.三次樣條函數(shù)的定義

函數(shù)S(x)∈C2[a,b]，且在每個(gè)小區(qū)間[xj,xj+1]上是三次多項(xiàng)式，其中a=x0

若在節(jié)點(diǎn)xj上給定函數(shù)值Yj=f(Xj).(j=0,1,,n)，并成立S(xj)=yj.(j= 0,1,,n)，則稱(chēng)S(x)為三次樣條插值函數(shù)。

由于插值節(jié)點(diǎn)有n+1個(gè)，故得到n個(gè)小區(qū)間，而每個(gè)小區(qū)間上要求一個(gè)三次多項(xiàng)式，每個(gè)區(qū)間需要4個(gè)條件，所以要確定樣條函數(shù)S，共需要4n個(gè)條件。

在插值節(jié)點(diǎn)上，S(xj)=f(xj),j=0,1,2,...,n,得到n+1個(gè)條件，在j=1,2,...,n-1,由S，S的一階導(dǎo)數(shù)，S的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)可以得到3(n-1)個(gè)條件，所以總共得到了，4n-2個(gè)條件，要確定S還需要兩個(gè)條件。就是通常所說(shuō)的邊界條件。

邊界通常有自然邊界（邊界點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0），夾持邊界（邊界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)給定），非扭結(jié)邊界（使兩端點(diǎn)的三階導(dǎo)與這兩端點(diǎn)的鄰近點(diǎn)的三階導(dǎo)相等）。一般的計(jì)算方法書(shū)上都沒(méi)有說(shuō)明非扭結(jié)邊界的定義，但數(shù)值計(jì)算軟件如Matlab都把非扭結(jié)邊界條件作為默認(rèn)的邊界條件

2.三次樣條插值函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程

如果假設(shè)S'(xi)=mi,i=0,1,…,n,利用分段Hermite插值多項(xiàng)式,當(dāng)x∈[xi-1,xi]時(shí):

其中hi=xi-xi-1。為確定S(x),只要確定mi,i=0,1,…,n。就可以用S"(xi-0)=S"(xi+0)來(lái)求出mi。

當(dāng)x∈[xi-1,xi]時(shí)，由于：

所以可得出:

3(λif[xi-1,xi]+μif[xi,xi+1])=gi,最后得出:

λimi-1+2mi+μimi+1=gi,i=1,2,…,n-1. (*式)

再結(jié)合不同的邊界條件,可得到關(guān)于mi的方程。

如邊界條件為:m0=y'0,mn=y'n,帶入(*式)可得:

如邊界條件為:S"(x0)=y"0,S"(xn)=y"n,則有:

連同(*式)一起,可得:

如邊界條件是周期性邊界條件，由S'(x0+0)=S'(xn-0),和S"(x0+0)=S" (xn-0),得到m0=mn和λnmn-1+2mn+μnm1=gn，其中:

所以得到:

3.經(jīng)典算法

在Matlab[2]環(huán)境下根據(jù)上述算法步驟進(jìn)行編

程，主要源程序段如下：

function[]＝spline3(X,Y,dY,x0,m)

N＝size(X,2);

s0＝dY(1);sN＝dY(2);

interval＝0.025;

disp('x0為插值點(diǎn)')

x0

h＝zeros(1,N-1);

for i＝1:N-1 h(1,i)＝X(i+1)-X(i);end

d(1,1)＝6*((Y(1,2)-Y(1,1))/h(1,1)-s0)/h(1,1);

d(N,1)＝6*(sN-(Y(1,N)-Y(1,N-1))/h(1,N-1))/h(1,N-1);

for i＝2:N-1

d(i,1)＝6*((Y(1,i+1)-Y(1,i))/h(1,i)-(Y(1,i)-Y(1,i-1))

/h(1,i-1))/(h(1,i)+h(1,i-1));end

mu＝zeros(1,N-1);md＝zeros(1,N-1);

md(1,N-1)＝1;mu(1,1)＝1;

for i＝1:N-2

u＝h(1,i+1)/(h(1,i)+h(1,i+1));mu(1,i+1)＝u;

md(1,i)＝1-u;end

p(1,1)＝2;q(1,1)＝mu(1,1)/2;

for i＝2:N-1

p(1,i)＝2-md(1,i-1)*q(1,i-1);q(1,i)＝mu(1,i)/p(1,i);end

p(1,N)＝2-md(1,N-1)*q(1,N-1);

y＝zeros(1,N);y(1,1)＝d(1)/2;

for i＝2:N y(1,i)＝(d(i)-md(1,i-1)*y(1,i-1))/p(1,i);end

x＝zeros(1,N);x(1,N)＝y(tǒng)(1,N);

for i＝N-1:-1:1x(1,i)＝y(tǒng)(1,i)-q(1,i)*x(1,i+1);end

fprintf('M為三對(duì)角方程的解 ');M＝x;

在c語(yǔ)言[3]環(huán)境下根據(jù)上述算法步驟進(jìn)行編程，主要源程序段如下：

void cubic_getval (real_T*y,const int_T*size,const real_T*map,const real_T x,const int_T step)

{

int_T n＝size[0];

//曲線系數(shù)

real_T*ai＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-1));

real_T*bi＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-1));

real_T*ci＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-1));

real_T*di＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-1));

real_T*h＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-1));//x的??

/*M矩陣的系數(shù)

*[B0,C0,...

*[A1,B1,C1,...

*[0,A2,B2,C2,...

*[0,... An-1,Bn-1]

*/

real_T*A＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-2));

real_T*B＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-2));

real_T*C＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-2));

real_T*D＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-2));//等號(hào)右邊的常數(shù)矩陣;

real_T*E＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-2));//M矩陣

real_T*M＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n));//包含端點(diǎn)的M矩陣;

4.三次樣條插值算法的多媒體課件表示

分段插值

分段線性插值

分段三次Hermite插值

分段插值可以得到整體連續(xù)函數(shù)，但在連接點(diǎn)處一般不光滑，而Hermite插值雖然在連接點(diǎn)處一階光滑，但整體插值由于結(jié)點(diǎn)多次數(shù)高而有可能發(fā)生龍格現(xiàn)象。

希望：既想分段插值，又想在結(jié)點(diǎn)處保持光滑，甚至二階光滑——三次樣條。

三次樣條插值

舉例說(shuō)明：

例4：對(duì)如下Runge現(xiàn)象中的函數(shù)，求用n分點(diǎn)作節(jié)點(diǎn)的三次樣條插值多項(xiàng)式s3(x)的圖像。

取n=5,10,20等，將區(qū)間等分成n份，取分點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)，利用matldb函數(shù)csape()作出它的三次樣條插值函數(shù)，并作出這些插值函數(shù)與被插函數(shù)的圖像。

但由于插值節(jié)點(diǎn)數(shù)目較多，故不列出插值函數(shù)的表達(dá)式，只畫(huà)出它們的圖象與被插函數(shù)的圖象的復(fù)合，從這些圖象可以看出，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增多，樣條插值函數(shù)圖象越來(lái)越符合被插函數(shù)，因此避免Runge現(xiàn)象，也就是說(shuō)三次樣條插值函數(shù)具有收斂性。

5.結(jié)論

用多媒體課件表達(dá)出來(lái)的三次樣條插值函數(shù)，能生動(dòng)形象的表達(dá)出來(lái).讓學(xué)生和教師都能在課堂上達(dá)到事半功倍的效果。

［1］易大義,沈云寶,李有法.計(jì)算方法[M].浙江:浙江大學(xué)出版社，2002,(6):55-63.

［2］張錚,楊文平,石博強(qiáng),等.MATLAB程序設(shè)計(jì)與實(shí)例應(yīng)用[M].北京:中國(guó)鐵道出版社,2003.

［3］http://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/01/26 / 2878092 .html.

G642.3

A

2095-7327（2016）-04-0097-03

蘭州市科技局項(xiàng)目編號(hào)2014-1-74。

魏霖靜（1977—），女，甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院副教授，博士，研究方向?yàn)橹悄苡?jì)算，生物信息學(xué)、網(wǎng)絡(luò)。