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從一道高考題談復習課的教學設計

浙江省寧波市北侖區(qū)柴橋中學(315809)徐澤繞

1.問題提出

2015年高考浙江省理科數(shù)學第18題為：

(1)求tanC的值;

(2)若ΔABC的面積為3，求b的值.

該題是一個常規(guī)的解三角形問題，應該是一個送分題，但根據(jù)筆者所在學校學生反映第一小題的解答并不順利，甚至個別學生有一種無從下手的感覺.無獨有偶，2011學年寧波市高一第二學期期末測試中的最后一道填空題，如下：

仔細對比一下兩題，簡直如出一轍，而且問2在這屆學生高一的時候作為模擬試卷已經(jīng)做過，為什么過了兩年，經(jīng)歷高三的幾輪復習還是會有問題呢？是不是我們的復習出現(xiàn)了問題？是不是我們太注重解題的技巧，太注重歸納題目的類型了呢？經(jīng)過認真反思筆者認為，這應該是一種數(shù)學思想方法的缺失，數(shù)學思想方法指導解題的真諦還沒有被我們的學生真正領會，導致的后果是，教師講了無數(shù)遍，學生按圖索驥，不斷模仿，并沒有真正理解和掌握這類題的本質(zhì).每次碰到都是一種新面孔，每次碰得跌跌撞撞，甚至答完題自己還云里霧里不知為何這么答.這種現(xiàn)象對我們高一階段的復習和以后的學習都有很好的警示作用.恰逢高一剛好又是期末階段，正余弦定理還是必考內(nèi)容.因此為了讓學生能站在理論的高度，在數(shù)學思想的指導下找到解題方法，筆者設計了一堂正余弦定理復習課.期盼同行斧正.

2.知識回顧確定目標

正余弦定理是解三角形的兩大利器.其分別可以解決以下四類最基本問題：①已知兩角和一邊；②已知兩邊和其中一邊的對角；③已知兩邊和其夾角；④已知三邊.只要符合上述四類情況必能求解三角形，而且已知三角形涉及三個角和三條邊六個量，在上述四種情況下顯然已知三個量就可以求出另外三個量(已知三個角除外)，這種“知三求三”的解法就是解方程的思想，而且我們知道一個公式就是一個方程，有公式的地方必然有方程.帶著方程的思想去解題，這就是本節(jié)課的第一個目標.那么在上述條件不滿足，即已知條件不夠的情況下呢？顯然不能求值，不能求值的情況下往往是求最值或者范圍，那么如何求范圍呢？首先我們想到的是函數(shù)，因此在函數(shù)思想的指導下解題是這節(jié)課的第二個目標.

3.思想引領變式探究

反思總結：通過上例和幾種變式感受到題目中最大的特征就是只給了兩個條件，即“一邊一角”.不符合解三角形的四種基本類型.進而體會運用函數(shù)的思想求解三角形中的范圍和最值問題，那么根據(jù)“一邊一角”我們只得到一個方程，即c2=3=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,若要解三角形還應補上什么樣的條件呢？于是有：

設計意圖：加上一邊a=2，在a2+b2-ab=3基礎上已知a就很容易求得b，也就是轉化為“兩邊及其一邊對角”問題求解，當然也可去掉c這條邊，補上a,b轉化為上述四種類型中的“兩邊夾角”問題求解.除了再補成解三角形的四種基本類型即變式(5)，變式(6)以外，還可運用方程思想再列出關于a和b的另外一個式子，從而獲解.這樣又可得以下一系列變式題.

4.問題解決

通過以上的變式，再來看問1.

當三角形三條邊中只涉及兩個方程時雖然解不出方程，但是其中任何一邊都可以表示另外兩邊，換言之由三條邊的比例可以得到，同樣也能求出三個角的三角函數(shù)值，但可以肯定任何一條邊都不可能求得.

5.一點感言

實際教學中我們經(jīng)常會碰到這樣的現(xiàn)象，每到期中、期末復習，我們會發(fā)下很多針對性的練習，來應對兄弟學校的統(tǒng)測和地區(qū)性統(tǒng)測等，希望通過大量的訓練題來提高學生的應試水平，從而取得好成績.每當這時往往出現(xiàn)學生做題做得叫苦連天，老師練習講得也厭倦疲乏，考完以后轉入下一模塊學習時，學生早已忘了不知學的什么東西現(xiàn)象.長此以往，教師身心疲憊，學生學而生厭，嚴重抑制了創(chuàng)新精神和后續(xù)學習的能力，這對師生都是一種“摧殘”.筆者認為，題是做不完，也講不完的，如何提高學生的學習能力和學習興趣，應該讓他們站在理論的高度來看待解題問題，而運用數(shù)學思想指導解題則是讓學生掌握解題方法的理論武器，值得我們在平時的教學中去探索與加強.