☉浙江省衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校　詹金芳☉浙江省寧波濱海國際學(xué)校　胡趙云

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老樹發(fā)新枝別樣的精彩——對(duì)一節(jié)“二次函數(shù)的應(yīng)用”復(fù)習(xí)課的思考

☉浙江省衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校詹金芳
☉浙江省寧波濱海國際學(xué)校胡趙云

這是一節(jié)“浙派”名師班學(xué)員關(guān)于二次函數(shù)應(yīng)用的復(fù)習(xí)教學(xué)研討課，授課教師利用一個(gè)熟悉的情境，構(gòu)設(shè)了一組巧妙的問題，演繹出一節(jié)高水平的思維活動(dòng)課，現(xiàn)將課堂實(shí)錄與筆者的思考整理成文，以供同行參考.

一、課堂實(shí)錄

1.情境引入

課堂一開始，教師給出了一道學(xué)生十分熟悉的籬笆圍雞場(chǎng)問題.

引例用長(zhǎng)為60米的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，怎樣圍才能使得養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大，最大面積是多少？

在學(xué)生獨(dú)立完成的基礎(chǔ)上，教師請(qǐng)學(xué)生分享解答.

生1：設(shè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為x米，則其寬為（30-x）米.

矩形的面積S=x（30-x）=-（x-15）2+225（0＜x＜30）.

所以當(dāng)x=15時(shí)，矩形面積最大，最大面積為225平方米.

老師追問：取值范圍是怎么得到的？

生1：因?yàn)榫匦蔚拈L(zhǎng)和寬都要大于0，所以得到x的范圍0＜x＜30.

教師將學(xué)生的過程進(jìn)行板書，并追問還有其他方法嗎？

生2（脫口而出）：周長(zhǎng)一定的矩形中，正方形面積最大，所以邊長(zhǎng)為15時(shí)，面積最大.

教師將這一結(jié)論書寫在黑板上，并追問：你是怎么知道這個(gè)結(jié)論的？

生2（補(bǔ)充）：小學(xué)老師講過的.

教師追問：同學(xué)們能說明這個(gè)結(jié)論的正確性嗎？

師生一起著手驗(yàn)證結(jié)論：先通過特殊情況來嘗試驗(yàn)證，如引例中周長(zhǎng)為60的矩形，邊長(zhǎng)為15時(shí)面積最大，此時(shí)正好是一個(gè)正方形，可是這不能代表一般情況，因此，我們需要從特殊走向一般，即用字母m來表示周長(zhǎng)，能否證明當(dāng)矩形邊長(zhǎng)為時(shí)，其面積達(dá)到最大？

教師總結(jié)并板書：當(dāng)我們碰到一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型（如函數(shù)、方程等）來解決；在解決問題的過程中我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要結(jié)論：周長(zhǎng)一定的矩形中，正方形面積最大.用圖示進(jìn)一步說明（如圖1）.

圖1

2.變式拓展

源問題：空地上有一面長(zhǎng)為32米的殘墻，利用殘墻和長(zhǎng)為60米的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，怎樣圍才能使得養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大，最大面積是多少？

問題給出三分鐘左右，大部分學(xué)生已完成了解答.

圖2

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)x=30時(shí)，最大面積S=450.

全班同學(xué)基本上能算出這個(gè)答案，而后教師馬上變換條件，給出了變式問題.

變式拓展：空地上有一面長(zhǎng)為12米的殘墻，利用殘墻和長(zhǎng)為60米的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，怎樣圍才能使得養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大，最大面積是多少？

問題一給出，有部分學(xué)生開始嘀咕：這個(gè)問題不就是二次函數(shù)根據(jù)自變量取值范圍求最值嘛.不一會(huì)兒大部分同學(xué)舉起手來示意完成了解答，部分成績(jī)好的同學(xué)甚至不屑動(dòng)筆去算.

生5：老師這問題不難，和前面一樣，設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，則其寬為30-，同樣可得矩形的面積S=x（x-30）2+450，因考慮到實(shí)際，自變量的取值范圍是0＜x≤12，所以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=12時(shí)，S的最大值為288.

不等生5講完，生6迫不及待地站起來說：“這個(gè)問題和源問題一樣，當(dāng)籬笆長(zhǎng)度保持60米不變時(shí)，只要對(duì)墻長(zhǎng)a進(jìn)行分類討論就行了.若a＜30，則當(dāng)x=a時(shí)，S取得最大值，最大值S=-a2+30a；若a≥30，則當(dāng)x=30時(shí)，S取得最大值，最大值S=450.”生6在講解的同時(shí)一邊在黑板畫出了二次函數(shù)圖像的草圖（圖3），并示意其他學(xué)生如何根據(jù)自變量的范圍確定函數(shù)的最值.

圖3

教師對(duì)兩位學(xué)生的分析和解答給予了充分的肯定，并再次明晰遇到二次函數(shù)求最值時(shí)，要學(xué)會(huì)借助函數(shù)圖像進(jìn)行直觀的分析，再代入解析式進(jìn)行精確的求解.同時(shí)，教師不緊不慢地追出一問：“同學(xué)們，墻長(zhǎng)為12米時(shí)，圍成的矩形最大面積真的是288平方米嗎？”

這一問，打破了教室原有的熱鬧氛圍，一個(gè)個(gè)目瞪口呆，你看看我，我看看你，一臉茫然，似乎被這個(gè)問題問得莫名其妙，一時(shí)間，教室里徹底安靜了下來.

3.探究升華

許久，教師再問：你們是如何理解“利用殘墻和籬笆圍矩形”的，這和我們以前接觸過的“以殘墻為矩形的一邊”有區(qū)別嗎？

經(jīng)教師這樣一引導(dǎo)，教室里像炸開了鍋似得，同學(xué)們各種神情的都有，紛紛向同伴去征求意見和想法，幾分鐘后，全班絕大多數(shù)同學(xué)開始將目光投向幾個(gè)成績(jī)比較突出的同學(xué)身上.不多時(shí)，教室里傳來“有了”“有了”的聲音，而后，教室的人群紛紛向發(fā)出高分貝聲音的地方集聚.

生7：按照?qǐng)D2的圍法，最大面積是288，但是如果按照?qǐng)D4的圍法，將殘墻視為矩形一邊的一部分（學(xué)生邊講解邊畫圖），結(jié)果就不是288了.并寫出了如下解答過程.

圖4

生7：設(shè)BE=x，則AE=12+x，AC=24-x.

所以S=（12+x）（24-x）=-（x-6）2+324.

因此，當(dāng)x=6時(shí)，所圍矩形面積最大，最大面積為324平方米.

生7的發(fā)言贏得了全班同學(xué)熱烈的掌聲.

教師在肯定了生7的基礎(chǔ)上又追出一問：“假如殘墻為a米，其余條件不變，那么所圍的矩形最大面積又為多少？”

問題拋出后，學(xué)生紛紛嘗試解決，部分同學(xué)又開始嘀咕起來：“不就和前面一樣進(jìn)行分類討論嗎？”說著說著，發(fā)現(xiàn)不對(duì)勁了.“好像有點(diǎn)問題，a的取值范圍很難界定……”

此時(shí)，部分成績(jī)比較優(yōu)秀的同學(xué)紛紛開始了解答.幾分鐘后，同學(xué)們開始了討論，老師巡視過程中發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生有想法和困惑，于是請(qǐng)學(xué)生發(fā)言.

生9的發(fā)言可以說震驚了全班同學(xué)乃至后場(chǎng)聽課的老師，聽課老師情不自禁地鼓起了掌聲，進(jìn)而全班響起了熱烈的掌聲.

老師表揚(yáng)生9的發(fā)言，能用我們課堂一開始所獲得的結(jié)論解決該問題，具有極強(qiáng)的觀察能力和應(yīng)用能力.隨后老師又拋出一個(gè)問題：那么，當(dāng)a＞20時(shí)，結(jié)果又會(huì)如何呢？

仍有部分學(xué)生不以為然，認(rèn)為剩下的不過是簡(jiǎn)單問題，不屑一做，結(jié)果一動(dòng)手就發(fā)現(xiàn)，這可是一個(gè)棘手的問題，于是教室又一次進(jìn)入安靜的氛圍中.

生10：當(dāng)a＞20時(shí)，我們需分兩種情況討論.當(dāng)20＜a＜30時(shí)，經(jīng)過對(duì)兩種圍法的比較可以發(fā)現(xiàn)，按照?qǐng)D2的方式圍成正方形（墻有多余）的面積要大，所以最大面積S=a2+30a平方米；當(dāng)a≥30時(shí)，最大面積就是450平方米.

老師在生10敘述的同時(shí)，與全班學(xué)生一道進(jìn)行了計(jì)算推理，形成了共識(shí).

（1）當(dāng)0≤a≤20時(shí)，按照?qǐng)D4的方式圍，能得到最大面積S=

（2）當(dāng)20＜a＜30時(shí)，按照?qǐng)D2的方式圍，能得到最大面積S=-a2+30a；

（3）當(dāng)a≥30時(shí)，按照?qǐng)D1的方式圍，能得到最大面積S=450.

4.課堂小結(jié)

本節(jié)課，我們通過一個(gè)熟悉的圍籬笆問題，應(yīng)用了二次函數(shù)模型解決相關(guān)問題，梳理了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，在解決問題中獲得了一個(gè)結(jié)論——周長(zhǎng)一定的矩形中，正方形面積最大，并應(yīng)用這一結(jié)論解決了圍籬笆問題中平時(shí)被我們疏忽的問題.在日常生活中，我們要善于用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，根據(jù)數(shù)學(xué)推理論證獲得相關(guān)結(jié)論，并能應(yīng)用相關(guān)結(jié)論和模型恰當(dāng)?shù)亟鉀Q一些復(fù)雜的問題.

二、課后反思

1.老樹發(fā)新枝，別樣的精彩，值得提倡的教學(xué)研究取向

本節(jié)課教師利用一個(gè)師生十分熟悉的籬笆圍雞場(chǎng)的情境（多種版本教材都用于例習(xí)題設(shè)計(jì)的情境），通過對(duì)情境的深度挖掘，構(gòu)設(shè)出一節(jié)精彩的高思維含量的數(shù)學(xué)課.

在用固定長(zhǎng)度的籬笆和一面殘墻圍矩形養(yǎng)雞場(chǎng)的背景中，老師們通常會(huì)沿著這樣的思路進(jìn)行問題設(shè)計(jì)：若在養(yǎng)雞場(chǎng)中間隔一道柵欄，如圖5，要使所圍矩形的面積達(dá)到最大，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)方案，或者在養(yǎng)雞場(chǎng)中間隔兩道柵欄等.也有教師經(jīng)常這樣設(shè)計(jì)：在圍養(yǎng)雞場(chǎng)時(shí)要求開一道門，門的寬度為1米，如圖6，如何設(shè)計(jì)方案才能使所圍矩形的面積最大.讓學(xué)生經(jīng)歷分析題中數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用模型解決問題.這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，與源問題相比，只是增加數(shù)量關(guān)系上的復(fù)雜性，從本質(zhì)而言，它與源問題是同一層次的問題，沒有在思維上作進(jìn)一步的提升.這樣的變式訓(xùn)練只是增加了學(xué)生解題的熟練程度，對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)沒有太大的幫助.

本節(jié)的教學(xué)，教師從最基本的問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行深度挖掘，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和深刻性.當(dāng)殘墻從32米變?yōu)?2米時(shí)，問題已經(jīng)發(fā)生了本質(zhì)的變化，即由原來的殘墻作為矩形養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊變成以殘墻作為矩形一邊的部分，它帶給學(xué)生思維上的沖擊是巨大的，對(duì)于新問題中所呈現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系的分析也是遞進(jìn)式的，它打破了學(xué)生原有的思維狀態(tài)，給學(xué)生以全新的感受.在此基礎(chǔ)上，教師對(duì)墻長(zhǎng)進(jìn)行一般化處理，當(dāng)殘墻為a米時(shí)，結(jié)果會(huì)如何.這又是一個(gè)新的挑戰(zhàn)，多數(shù)學(xué)生難以對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，這是一個(gè)難點(diǎn)，從而將學(xué)生的思維引向深刻.這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，從一個(gè)熟悉的情境出發(fā)，將問題進(jìn)行變式，引導(dǎo)學(xué)生多維度思考問題，進(jìn)而對(duì)問題進(jìn)行一般化處理，在每一個(gè)環(huán)節(jié)中不斷提升學(xué)生的思維水平，發(fā)展學(xué)生的能力，這樣的設(shè)計(jì)是高效的，這樣的教學(xué)研究值得提倡和推廣.同時(shí)在本節(jié)課的教學(xué)中，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確的審題，區(qū)分“以墻為一邊”和“利用殘墻”的區(qū)別和聯(lián)系，對(duì)學(xué)生審題能力的培養(yǎng)也極為有利.

這種在“老樹樁”上進(jìn)行加工整理，讓“老樹”催生出“新枝”，讓課堂迸發(fā)出新的氣息，呈現(xiàn)出別樣的精彩，它切實(shí)減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，發(fā)展了學(xué)生的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的思維，是我們教師教學(xué)研究的重要方向，值得我們學(xué)習(xí)和借鑒.

圖5

圖6

2.關(guān)注數(shù)學(xué)建模教學(xué)，構(gòu)建“母子模型”是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探索方向

本節(jié)課始終圍繞著利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題展開教學(xué)，對(duì)二次函數(shù)的建模教學(xué)進(jìn)行深度挖掘，重視模型的形成過程，抓住利用模型解決問題的關(guān)鍵——自變量的取值范圍決定函數(shù)的最值.根據(jù)自變量的取值范圍進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)圖像的直觀性分析函數(shù)的最值問題，可以說本節(jié)課對(duì)于二次函數(shù)的建模教學(xué)成效顯著.

本節(jié)課在落實(shí)二次函數(shù)建模教學(xué)過程中，再次構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型，并用新的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，使復(fù)雜的問題得到簡(jiǎn)單化的處理，是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重要研究方向.本節(jié)課通過用長(zhǎng)度為60米的籬笆圍成一個(gè)面積最大的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，在對(duì)這個(gè)問題的研究中利用二次函數(shù)這一“母模型”進(jìn)行分析，最終獲得“在周長(zhǎng)一定的矩形中，正方形的面積最大”的“子模型”（這一結(jié)論學(xué)生小學(xué)已經(jīng)知道，但并不清楚其中的原理，用二次函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行分析，達(dá)到了知其然且知其所以然的目的）.而后在解決當(dāng)殘墻為12米時(shí)，如何圍才能使得矩形的面積最大，學(xué)生再次利用“在周長(zhǎng)一定的矩形中，正方形的面積最大”這一“子模型”解決新問題，使問題得到輕松解決；再此基礎(chǔ)上，對(duì)問題進(jìn)行一般化處理，學(xué)生又一次利用“子模型”進(jìn)行分析研究，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)單易懂，使教學(xué)的難度得到有效的突破.

數(shù)學(xué)模型的價(jià)值在于它的一般化和普適性，人們可以借助數(shù)學(xué)模型分析實(shí)際問題，從而有效地解決問題.本節(jié)課教師充分引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“母子模型”，并用“母子模型”分析和解決復(fù)雜的實(shí)際問題，實(shí)現(xiàn)了化繁為簡(jiǎn)的目的.這是一節(jié)高水平的數(shù)學(xué)模型教學(xué)研究課，為我們?cè)跀?shù)學(xué)建模教學(xué)研究上提供了一條探索的方向.

3.注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，促進(jìn)學(xué)生能力的提升

這是一節(jié)十分關(guān)注數(shù)學(xué)思想滲透的研究課，教師通過一個(gè)教學(xué)背景，適當(dāng)變換條件，演繹出一節(jié)精彩紛呈的數(shù)學(xué)思維展示課，有效地促進(jìn)了學(xué)生能力的提升.

本節(jié)課高度關(guān)注數(shù)學(xué)建模教學(xué)，將模型思想貫穿教學(xué)始終，并在二次函數(shù)建模過程中構(gòu)建出新模型，將模型思想滲透于每一個(gè)環(huán)節(jié)，并為我們?cè)跀?shù)學(xué)建模教學(xué)上提供了一個(gè)值得探索的研究方向，將模型教學(xué)演繹得淋漓盡致.

教師在教學(xué)的過程中不斷滲透一般化思想.教師通過具體的60米長(zhǎng)的籬笆圍成矩形養(yǎng)雞場(chǎng)問題逐漸過渡到a米長(zhǎng)的籬笆，經(jīng)歷由特殊走向一般的過程；在對(duì)殘墻長(zhǎng)度變更中經(jīng)歷由32米（非常特殊，體現(xiàn)殘墻足夠長(zhǎng)的情境）變換到12米（墻長(zhǎng)變小的情況下，將進(jìn)行分類討論），最后過渡到一般化的a米.讓學(xué)生經(jīng)歷從具體的、特殊的數(shù)向抽象的、一般化字母的發(fā)展和過渡，這樣的教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)和思維的發(fā)展是有利的.

教學(xué)中，教師不斷滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論思想.在利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，教師不斷引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖像分析和研究問題，從而更直觀地發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最值.在對(duì)殘墻長(zhǎng)度的研究中滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想，提供了分類的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)，并從模型的角度有效地突破分類的難點(diǎn).

這種時(shí)時(shí)滲透著數(shù)學(xué)思想，處處發(fā)展著數(shù)學(xué)能力的課堂教學(xué)，有效地促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，是一節(jié)值得學(xué)習(xí)和推崇的教學(xué)研討課.