【摘 要】本文用線性化方法求解二維非線性sine-Gordon方程的初邊值問題。首先，基于有理式逼近構(gòu)造了一個三層隱式差分格式，其差分格式的截斷誤差為。該格式含非線性項，對于每個時間層上問題的數(shù)值解，都需要解決一個規(guī)模較大的非線性差分方程組。為了避免求解非線性差分方程組，本文采用預(yù)估-校正法。對非線性項做一種近似，將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，得到了一個三層顯式差分格式，其截斷誤差都為，本文用該顯式格式作為預(yù)估式，隱式格式作為校正式，并用Fourier方法分析了格式的穩(wěn)定性，收斂性。

【關(guān)鍵詞】sine-Gordon方程 預(yù)估-校正 孤子解 局部誤差 穩(wěn)定性 收斂性

第1章 緒論

1.1 引言

sine-Gordon方程是一類在物理上有著重要意義的方程，sine-Gordon方程已被用來描述晶格位錯的傳播，磁性晶體的Bloch壁運(yùn)動，沿類脂膜的擴(kuò)張波的傳播，基本粒子的統(tǒng)一理論，線中的磁通量的傳播。而對于此類方程數(shù)值解的求解，一般有有限差分法，有限元，譜方法等方法。特別的，對于一維sine-Gordon方程，

（1.1）

其孤立子解在理論上和數(shù)值上已經(jīng)研究清楚。有關(guān)解的存在性，唯一性等理論性質(zhì)可參考文獻(xiàn)[1-2]，許多學(xué)者也構(gòu)造了一些數(shù)值方法。

對于二維的 sine-Gordon 方程

（1.2）

在物理學(xué)中具有重要的意義，許多學(xué)者也做了一些數(shù)值上的研究。偏微分方程的數(shù)值解在數(shù)值分析中占有重要的地位，很多科學(xué)技術(shù)問題的數(shù)值計算包括了偏微分方程的數(shù)值解問題。有限差分方法是當(dāng)今流行的偏微分方程數(shù)值解的主要方法之一。主要集中在解決依賴于時間的方程的數(shù)值模擬?；谶@種特點(diǎn)，本文考慮滿足如下非線性sine-Gordon方程的初邊值問題：

（1.3）

作數(shù)值模擬。

1.2 研究現(xiàn)狀回顧

提出了廣義sine-Gordon方程，并證明了廣義吸引子的存在性，證明了此方程的存在性和唯一性。應(yīng)用線性化方法求解問題（1.3），提出了預(yù)估-校正格式，基于此思想，本文對sin（u）做三種不同的線性化近似，提出了三個顯式預(yù)估-校正格式。

1.3 本文主要引理

引理1.3.1 （Miller準(zhǔn)則）設(shè) A 0 ，實系數(shù)二次方程

（1.7）

的兩根模小于或等于1的充要條件是：

（1.8）

引理1.3.2 （von Neumann條件）對于兩層常系數(shù)差分方程組

（1.9）

其中，均是階矩陣，，差分方程（1.9）按譜范數(shù)穩(wěn)定的一個必要條件是von Neumann條件成立，即對任意的，和一切，恒有

（1.10）

其中表示的譜半徑，為增長因子。

引理1.3.3 （Lax等價定理）如果給定一個適當(dāng)提出的線性初值問題以及一個與它相容的差分方程，則該差分方程組的穩(wěn)定性是收斂性的充分必要條件。

第2章 二維sine-Gordon方程的幾種差分格式

2.1 網(wǎng)格剖分

區(qū)域，對平面區(qū)域作網(wǎng)格剖分，取空間步長，時間步長為，

本文采用符號如下：

網(wǎng)格點(diǎn)處的數(shù)值解，

網(wǎng)格點(diǎn)處的真實值，

解向量：

（2.1）

因此在每一個時間層上，有數(shù)值需要求解。

2.2 格式構(gòu)造

格式構(gòu)造如下：

用二階中心差分代替方程（1.3）的空間微分項，在時間寫成向量的形式有：

（2.2）

其中。

（2.3）

階為，其中.

，（2.4）

又由

（2.5）

其向量形式可以寫成：（2.6）

其中故有：

（2.7）

對做最佳有理式逼近，

（2.8）

其中E為恒等算子，得，因此：

（2.9）

即（2.10）

用如下估計：

（2.11）

（2.12）

（2.13）

得到三層隱式差分格式：

（2.14）

令故在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處，得到三層隱式差分格式。

隱式差分格式：

（2.15）

2.2.1局部截斷誤差

性質(zhì)2.2.1 隱式差分格式的局部截斷誤差為：

（2.16）

由泰勒展開式，容易證明。

2.2.2 穩(wěn)定性、收斂性分析

應(yīng)用Fourier方法分析隱式差分格式1的穩(wěn)定性和收斂

性。

定理2.2.1 當(dāng)或時，隱式差分格式是穩(wěn)定的和收斂的。

證略

2.3 預(yù)估-校正格式

對上述格式，在求解過程中需要解一個非線性方程組，為了避免求解非線性方程組，A.G. Bratsos提出了預(yù)估-校正格式。首先，將非線性問題線性化，得到顯式格式：

（2.17）

格式（2.17）作為預(yù)估-校正格式的預(yù)估格式，相應(yīng)的格式作為校正格式，這樣，避免了非線性方程組的求解?？梢宰C明格式（2.18）的截斷誤差為：

（2.18）

并且A.G. Bratsos給出了格式（2.17）穩(wěn)定性條件

（2.19）

其中

我們基于這種思想，對非線性項sin（u）做三種不同的線性化近似，得到三種較簡單的顯式差分格式作為預(yù)估格式，并分析了格式的截斷誤差和穩(wěn)定性，然后用相應(yīng)的格式進(jìn)行校正。

2.3.1 預(yù)估格式

顯式差分格式

（2.20）

注：

性質(zhì)2.3.1 顯式差分格式1的截斷誤差為：

（2.21）

下面用Fourier方法分析顯式差分格式1的穩(wěn)定性與收斂性。

定理2.3.1 當(dāng)時，顯式差分格式1是穩(wěn)定的和收斂的。（證略）

2.3.2 校正格式

由隱式差分格式1，得預(yù)估-校正格式的顯式校正格式：

（2.22）

第3章 全文總結(jié)

本文將基于有理式逼近的線性化方法應(yīng)用于二維非線性sine-Gordon方程的在三層遞推關(guān)系中，一般的，此種方法可應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。為了避免解決非線性方程組，本文應(yīng)用了預(yù)估-校正方法，用兩個顯式格式成功的對每層上sine-Gordon方程的數(shù)值解進(jìn)行了有效近似。

參考文獻(xiàn)

[1]張建文，王旦霞，吳潤衡。一類廣義強(qiáng)阻尼Sine-Gordon方程的整體[J]，物理學(xué)報，2008，57（4）：2021-2025

[2]Zhu Zhi-wei，Lu Yong.The existence and uniqueness of solutions for a generalized sine-Gordon equation [J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics，2000，15（1）：71-77

[3]J. Argyris，M. Haase，J.C. Heinrich，F(xiàn)inite element approximation to two-dimensional sine-Gordon solitons，Computer Methods Applied Mech. Eng. 86（1991）1-26

[4]周艷祖，張義，王瀟。非線性sine-Gordon方程的三種差分格式。暨南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，29（3）234-238