【主題背景】

著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之變，生物之迷，日用之繁”無一能離開數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)給予人們的不僅是知識，更重要的是能力，這種能力包括觀察實(shí)驗(yàn)、收集信息、歸納類比、直覺判斷、邏輯推理、建立模型和精確計(jì)算。這些能力和培養(yǎng)，將使人終身受益。高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)又承載著怎樣的重任呢？《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)教育家美國《數(shù)學(xué)評論》雜志評論員鄭毓信說：相對于具體的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容而言，思維訓(xùn)練顯然更為重要的。

【情境描述】

在語文外語等文科科目教學(xué)中，時(shí)常以默寫的方式檢查學(xué)生的掌握情況，這不足為奇，文科的學(xué)習(xí)有相當(dāng)知識是純粹記憶性的內(nèi)容，默寫只是老師督促學(xué)生記憶的一種手段，特別是在學(xué)生自覺性不高的情況下使用。后來，聽說有些理科科目也要默寫，以識記性的內(nèi)容居多。再后來，聽說，數(shù)學(xué)也要默寫，不僅驚嘆：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)該是思維活動的過程嗎，為什么要默寫？！如此背默數(shù)學(xué)知識，思維的成分尚余幾何？當(dāng)然，我們知道老師也是被逼無奈，出發(fā)點(diǎn)無非是希望提高學(xué)生對知識點(diǎn)掌握的的熟練程度。但對于有些學(xué)生而言，學(xué)數(shù)學(xué)真的就是靠死記硬背，時(shí)常聽到有學(xué)生歸納錯(cuò)解原因是公式?jīng)]有背下來，記錯(cuò)了等等。如此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情景，就仿佛思維折斷了翅膀，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難免囫圇吞棗，退化為簡單的記憶模仿，更談不上數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)了。然而高考是一場選拔性的考試，除了要考查數(shù)學(xué)基本知識和數(shù)學(xué)基本技能，其選拔性體現(xiàn)在有區(qū)分度的試題上，題目并不一定很難，而是很靈活，對學(xué)生的要求是僅有基本知識是不夠的，要靈活運(yùn)用基本思想方法，挖掘概念的本質(zhì)內(nèi)涵，才能迎刃而解。本文以近幾年高考題為例，說明理解概念本質(zhì)內(nèi)涵和掌握數(shù)學(xué)思想方法的重要性。數(shù)學(xué)不是死記硬背的。

【問題研究】

例如 2015年《上海數(shù)學(xué)試卷文科卷》填空題第11題：

在的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于________________（結(jié)果用數(shù)值表示）

2015年《上海數(shù)學(xué)試卷理科卷》填空題第11題：

在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為________________（結(jié)果用數(shù)值表示）

二項(xiàng)式定理是高中階段的一個(gè)重要定理，對于學(xué)生來說理解和記憶都不是困難。但其應(yīng)用靈活多變，文科卷考題直接運(yùn)用通項(xiàng)公式，令x冪指數(shù)為0，可輕松求解。但理科卷考題變二項(xiàng)為三項(xiàng)，若學(xué)生單純死記硬背通項(xiàng)公式或化“三項(xiàng)式”為“二項(xiàng)式”，恐此題會多花時(shí)間。其實(shí)無論二項(xiàng)或三項(xiàng)，其本質(zhì)是多項(xiàng)式乘法法則：多項(xiàng)式的乘法，是指把一個(gè)多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式與另一個(gè)多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式相乘之后合并同類項(xiàng)。推廣到多項(xiàng)式的乘方就是每個(gè)多項(xiàng)式中任取一項(xiàng)相乘并合并同類項(xiàng)。因此，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式可以理解為為，同理在的展開式中，項(xiàng)為，故所求系數(shù)為45.

再例，關(guān)于向量概念的本質(zhì)教材一直堅(jiān)持從數(shù)和形兩個(gè)方面建構(gòu)和研究，如向量的幾何表示，三角形，平行四邊行法則讓向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示，和坐標(biāo)運(yùn)算又讓向量具備數(shù)的特征。引入坐標(biāo)以后，向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，坐標(biāo)將向量的數(shù)與型緊密結(jié)合起來，這樣很多幾何問題可轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量的運(yùn)算，從而使幾何問題的研究插上了代數(shù)的翅膀，解決問題更便捷，刻劃問題更深刻。而且向量是高考必考內(nèi)容，而向量運(yùn)算又是其中重點(diǎn)。可見題目對知識點(diǎn)的考查形式千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，唯有抓住向量問題坐標(biāo)化這一重要思想方法，才能游刃有余，以不變（的方法）應(yīng)萬變（的題目形式）。

例如2015年《上海數(shù)學(xué)試卷理科卷》第14題：

在銳角三角形中，，為邊上的點(diǎn)，與的面積分別為2和4，過作于，于，則=___________.

分析：（如圖4）向量數(shù)量積是向量的運(yùn)算之一，也是高中階段向量教學(xué)的重點(diǎn)。常用的方法有三種：其一數(shù)量積的定義，再者是坐標(biāo)化.還可以根據(jù)平面向量分解定理，轉(zhuǎn)化為基向量進(jìn)而解答。

比較以上2種解法，不難發(fā)現(xiàn)，解法1用到了數(shù)量積運(yùn)算的定義公式，至于夾角以及模的運(yùn)算表示則都是初中知識，簡單便捷。解法2看似稍顯復(fù)雜，但向量兼具數(shù)與形的雙重要素，本來就是聯(lián)系代數(shù)與幾何的工具，向量問題代數(shù)化即坐標(biāo)化是解決向量問題的重要思想方法。如果學(xué)生能掌握此思想方法，至于點(diǎn)的坐標(biāo)及向量坐標(biāo)的運(yùn)算結(jié)合解析幾何便可迎刃而解。如果此題不能有效地說明向量概念的內(nèi)涵之深的話，請看下面的例題。

【評價(jià)反思】

作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)是思維的結(jié)晶。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是思維活動發(fā)生發(fā)展的過程，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓與核心，它是學(xué)生獲取知識的手段，是聯(lián)系各項(xiàng)基本知識的紐帶，同時(shí)又是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。它比知識更具有普通適用性和抽象概括性。學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想方法就能更快捷地獲取知識，更透徹地理解知識并解決問題，必能終身受益。因此筆者以為數(shù)學(xué)教學(xué)要注重不僅教授學(xué)生數(shù)學(xué)基本知識，更要抓住概念本質(zhì)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓思維展翅高飛。唯有如此，教和學(xué)方能事半功倍且?guī)熒鷺吩谄渲小?/p>

參考文獻(xiàn)

[1] 朱衛(wèi)新.淺談高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2011（23）20-21.