我所講的數(shù)學(xué)，與大家學(xué)過的、聽說過的數(shù)學(xué)，不太一樣。它既不是如何解題，也不是如何計算。這個課程叫做：理解數(shù)學(xué)。就是如何理解數(shù)學(xué)和做數(shù)學(xué)理解的意思。

理解和應(yīng)用，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中至關(guān)重要，其重要性遠遠超過了我們意識到的程度。如何理解數(shù)學(xué)總述，圍繞如何理解數(shù)學(xué)和如何做數(shù)學(xué)理解（也即數(shù)學(xué)閱讀），針對初等數(shù)學(xué)，主要包括如何理解數(shù)學(xué)：即數(shù)學(xué)是什么、有什么用、如何用；如何理解數(shù)：即數(shù)字、代數(shù)、計算是什么、有什么用、如何用；如何理解形：即圖形、幾何、證明是什么、有什么用、如何用；如何理解分析：統(tǒng)計、函數(shù)、微積分是什么、有什么用、如何用。

數(shù)學(xué)到底是什么？為什么人們紛紛反映數(shù)學(xué)難學(xué)、難教、難用？

2014年國家公布招生考試方案消息后，在互聯(lián)網(wǎng)上曾掀起一股熱潮：讓數(shù)學(xué)滾出高考。很多人抱怨，學(xué)了十幾年數(shù)學(xué)，到頭來只有買菜時用得上。

事實上，這些難題一直困擾著我國的數(shù)學(xué)教育，是我國數(shù)學(xué)教育中的普遍難題，在數(shù)學(xué)教育中幾乎成了望而卻步的高山峻嶺。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)之難之尷尬，與英語學(xué)習(xí)與教學(xué)之難之尷尬，成為我國基礎(chǔ)教育乃至高等教育中的兩座困難大山。要拔掉這座困難之山，可能就需要先把這三個問題搞清楚。

是不是所有國家、所有人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)都這么困難呢？顯然不是?？纯词澜鐢?shù)學(xué)史上的那些燦若群星的數(shù)學(xué)家、看看古希臘時期數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)等，我們就知道數(shù)學(xué)與其他學(xué)科和技藝一樣，并沒有什么特殊難度，而且在一定程度上學(xué)習(xí)的難度要低于語言之外的其他學(xué)科。我們再看看歐美主要國家，他們的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從來沒有像我們的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這么困難過，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對美國和歐洲的孩子們而言，比學(xué)習(xí)其他學(xué)科反而容易——這是不是有點意外？超出了我們平時的

常識？

若干年前轟動全國的《素質(zhì)教育在美國》、《高考在美國》的作者黃全愈博士是我的好友。黃博士不是數(shù)學(xué)專業(yè)，而且似乎數(shù)學(xué)能力很一般，他的妻子陳彤女士也不是數(shù)學(xué)專業(yè)，然而他們的兒子礦礦剛開始數(shù)學(xué)雖然不太好，但到了小學(xué)三四年級，礦礦開始自學(xué)數(shù)學(xué)，小學(xué)畢業(yè)前自學(xué)完了高中數(shù)學(xué)。礦礦學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)歷曾轟動一時。我曾經(jīng)仔細問過黃全愈博士，礦礦自學(xué)數(shù)學(xué)困難不？是不是孩子的數(shù)學(xué)天分高？黃博士說：NO！礦礦的數(shù)學(xué)天分應(yīng)該一般；他自學(xué)數(shù)學(xué)快樂得很，而且學(xué)得很快，至少比其他學(xué)科快得多。黃老師的話我信服，而且我自己就是從小學(xué)一路自學(xué)數(shù)學(xué)過來的，我很少聽老師的數(shù)學(xué)課，但看了很多數(shù)學(xué)方面的書。那么，為何數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在我國這么困難、在絕大多數(shù)學(xué)生和教師那里成為學(xué)習(xí)、教學(xué)困難之山呢？

其實這問題也很簡單，只要試圖回答清楚三個問題，看看回答的過程和結(jié)果就知道原因了：什么是數(shù)學(xué)？組成數(shù)學(xué)的最基本要素是什么？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有啥用？

我們再回想一下，我們可以經(jīng)常閱讀各種書籍，唯獨不閱讀數(shù)學(xué)。而且甚至于一提數(shù)學(xué)閱讀，很多人就說：數(shù)學(xué)怎么閱讀？！數(shù)學(xué)是閱讀的嗎？如果再問學(xué)數(shù)學(xué)有啥用？如果大家誠實，就會說：算數(shù)、測量用。這顯然不是數(shù)學(xué)的全部吧？

由此，一個基本的事實就暴露出來：我們竟然不了解、不理解、不會用數(shù)學(xué)。換句話說，我們對數(shù)學(xué)竟然缺乏基本的認(rèn)知、理解和應(yīng)用。數(shù)學(xué)的存在、意義和價值，我們竟然所知甚少。而我們對除外語和數(shù)學(xué)之外的其他學(xué)科，卻不是如此。

數(shù)學(xué)，對我國絕大多數(shù)人而言，實際上就是：算數(shù)和圖形；換言之，數(shù)學(xué)就是中國鐵器時代之前的算數(shù)和畫圖；數(shù)學(xué)不是古希臘數(shù)學(xué)和源自古埃及、古阿拉伯、古希臘的近現(xiàn)代數(shù)學(xué)，而是中國數(shù)學(xué)——算術(shù)和圖形。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)困難的基本原因就暴露出來了。

對學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)而言，我們?nèi)狈ψ罨镜臍v史和文化、認(rèn)知和理解。數(shù)學(xué)，不是中國算術(shù)和圖形；算術(shù)和圖形只是組成數(shù)學(xué)的原始的基本的部分原材料。近現(xiàn)代數(shù)學(xué)，對我國而言，是舶來品，完全的舶來品，這就如英語一樣。換句話說，我們按照中國數(shù)學(xué)文化和思想來學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)，此路不通。如果按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)本身學(xué)習(xí)和教學(xué)，那我們?nèi)狈Ρ匦璧幕举Y源和路徑——歷史、文化，認(rèn)知、理解。這里指的是現(xiàn)代數(shù)學(xué)本身的歷史、文化和認(rèn)知、理解方法，而非中國數(shù)學(xué)的歷史、文化和認(rèn)知、理解方法。

數(shù)學(xué)，對我們而言為何那么難以了解和理解？因為我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中缺乏最基本的土壤和空氣——現(xiàn)代數(shù)學(xué)的歷史、文化和思想；數(shù)學(xué)，對我們而言為何那么難以學(xué)習(xí)和應(yīng)用？因為我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中缺乏最基本的營養(yǎng)和氧氣——現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思維、方法和實踐。我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)、教學(xué)的課本、課標(biāo)等，屬于現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的初等數(shù)學(xué)，而初等數(shù)學(xué)就是古希臘數(shù)學(xué)至16世紀(jì)的數(shù)學(xué)。這是西方的數(shù)學(xué)史，當(dāng)然也是西方的數(shù)學(xué)文化。我國的數(shù)學(xué)教育，非但不教授西方數(shù)學(xué)史和文化，而且是用中國古代近代數(shù)學(xué)史和文化來替代?！鋹汗谎远?。

我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)為何抽象、苦澀、難懂？！脫離了史實和事實的符號世界，豈能不抽象、難懂和苦澀？如何理解數(shù)學(xué)，從以上文字中，相信大家已有感觸：必須拿起古希臘數(shù)學(xué)史、近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史；重回古希臘、西方近現(xiàn)代文化，尤其是數(shù)學(xué)文化；找回數(shù)學(xué)史實和事實。

如何理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)？讓我們重回數(shù)學(xué)史、文化、思維、方法產(chǎn)生的時空，一步步走到現(xiàn)代文明，建構(gòu)數(shù)學(xué)感知、認(rèn)知、探知的思維和方法。

數(shù)學(xué)（mathematics），是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科。數(shù)學(xué)在人類歷史發(fā)展和社會生活中發(fā)揮著不可替代的作用，也是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具。

數(shù)學(xué)（漢語拼音：shùxué；希臘語：μαθηματικ；英語：Mathematics），源自于古希臘語的μθημα，其有學(xué)習(xí)、學(xué)問、科學(xué)之意。古希臘學(xué)者視其為哲學(xué)之起點，“學(xué)問的基礎(chǔ)”。在中國古代，“數(shù)學(xué)”叫作算術(shù)，又稱算學(xué)，后改為數(shù)學(xué)。中國古代的算術(shù)是六藝之一（六藝中稱為“數(shù)”）。請注意：西方古代數(shù)學(xué)的原意，是學(xué)問、哲學(xué)的起點、學(xué)問的基礎(chǔ)。而中國古代數(shù)學(xué)則是算術(shù)、算學(xué)兩者，有天壤之別。

數(shù)學(xué)起源于人類很具體、具象的生存、生活與生產(chǎn)的需求，人類對生存、生活和生產(chǎn)所必須和必需的、有興趣的、好奇的物和事，需要認(rèn)知和理解，也需要區(qū)分與解釋。這是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的根本源頭、動力和目的。那么，為什么對物和事的認(rèn)知和理解以及區(qū)分與解釋，就產(chǎn)生了數(shù)學(xué)呢？這取決于人類是如何認(rèn)知和理解（區(qū)分和解釋）物（食物、器物等）和事（人與人之間、人與物之間等發(fā)生的關(guān)系和變化），是人類生存、生活、生產(chǎn)所必須面對和所必需認(rèn)知、理解及區(qū)分、解釋的。比如，原始人類活著的每一天，必須面對各種食物、使用各種器物，必須面對各種事務(wù)（關(guān)系和變化）。面對的同時，首先是必須認(rèn)知和理解各種食物、器物、事務(wù)，還必須面對向同伴或其他人做指示、區(qū)分和解釋。人類對物和事的認(rèn)知，首先是辨認(rèn)“是什么”、“怎么吃或用”等，由此逐漸產(chǎn)生了標(biāo)記、表示和表達——由“記物、記事”需求造成了文字的產(chǎn)生和發(fā)展；其次是辨認(rèn)“有多少”、“有多大”等，由此逐漸產(chǎn)生了多少、多大等標(biāo)記、表示和表達由“計物、計事”需求造就了數(shù)字和圖形的產(chǎn)生和發(fā)展。

人類對物和事的理解，首先是區(qū)分和數(shù)量、測量。區(qū)分物和事，是基于對其形狀、形式的辨認(rèn)，由此產(chǎn)生了象形、會意等；而對物和事的準(zhǔn)確理解，則導(dǎo)致了進行數(shù)量和測量。隨著人類接觸和使用的事和物范圍及深度增大，對物和事的認(rèn)知和理解逐步擴展和加深，導(dǎo)致“記物、記事”與“計物、計事”開始融合，分類、比較、分拆、組合逐步產(chǎn)生并形成思維方法。由分類、比較的擴展和深化，歸納意識和方法產(chǎn)生并發(fā)展；由分拆、組合的擴展和深化，推理意識和方法產(chǎn)生并發(fā)展。

隨著人類認(rèn)識和理解，以及表達和解釋的發(fā)展，由對物、事的“分類+比較”思維逐步產(chǎn)生了定義、概念；由“分類+比較”+“分拆+組合”產(chǎn)生了以概念為基礎(chǔ)的推理——形式邏輯出現(xiàn)。由對物、事的追求徹底分類、比較，分類法和分類規(guī)則的出現(xiàn)，導(dǎo)致歸納法的深度發(fā)展。同時，因為對必然和或然的感知積累，也分別導(dǎo)致了對因果律和統(tǒng)計律的追求，這也是出現(xiàn)邏輯和統(tǒng)計（歸納）的原因之一?？傊?，數(shù)學(xué)的起源和初始并不抽象；數(shù)學(xué)的對象、方法、規(guī)則等也不抽象。人類的所謂抽象，本質(zhì)是去形象、形狀、形式化，以特征和指代來表征物、事；也是要大量、簡潔的標(biāo)示、表示和表達目的、方法和規(guī)則的需要。由此，是因為字系、數(shù)系、形系、方法系、規(guī)則的發(fā)展，導(dǎo)致數(shù)學(xué)逐步遠離了具象（形象、形狀、形式），而走向了抽象（特征、指代、指事）等。

乘法與除法，其實質(zhì)是：基數(shù)與序數(shù)之間的運算而我國數(shù)學(xué)不講這個，只做還原為加減法和格式律，這是有問題的，比如：乘法，實質(zhì)是：基礎(chǔ)×序數(shù)，也即，個數(shù)與位置之間的關(guān)系和加合而除法，實質(zhì)是分配法：基數(shù)分配給序數(shù)——個數(shù)分配給位置數(shù)學(xué)，其基本要素就是：數(shù)、形、規(guī)則。

在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究上，有三種基本研究——可以視作三種基本規(guī)則：直觀、邏輯、形式。換句話說，類似“1+1=2”這種，一般而言，必須符合直觀、邏輯、形式規(guī)則，才能被認(rèn)同。所謂直觀，可以理解成：符合人類的感知和經(jīng)驗；所謂邏輯，也就是形式邏輯了——大前提、小前提、結(jié)論；所謂形式，即抽象結(jié)構(gòu)，構(gòu)造直觀就如兩點確定一條直線。邏輯也能理解，就是直觀難理解。其實直觀最好理解。直觀，你可以看成是事實或?qū)嵨锘虼嬖凇?/p>

我們的現(xiàn)狀是：很多人學(xué)的數(shù)學(xué)與生活是脫離的。都知道數(shù)學(xué)的一些統(tǒng)籌方法好，做事效率高。一旦到現(xiàn)實生活中，很少有人用數(shù)學(xué)思維去思考，用數(shù)學(xué)習(xí)慣去改變我們的生活。作為數(shù)學(xué)教師，我們?nèi)沃囟肋h。

（作者單位：公眾教育研究院）