【摘 要】在高中階段的學(xué)習(xí)過(guò)程中，函數(shù)思想貫穿始終，而可以說(shuō)對(duì)高中每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)都能看到二次函數(shù)的身影，在每年數(shù)學(xué)高考中二次函數(shù)占的比例都很高。因此學(xué)好二次函數(shù)尤為重要。本文從二次函數(shù)的基本概念和基本性質(zhì)著手，并對(duì)在不等式、導(dǎo)數(shù)、解析幾何中的應(yīng)用進(jìn)行了一定闡述，希望能夠?qū)υ诟咧行燎诟冻龅膹V大教育工作者帶來(lái)些許幫助。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；基本性質(zhì)；不等式；導(dǎo)數(shù)；解析幾何

一、深抓概念，牢固掌握二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)

在初中階段就對(duì)函數(shù)的定義進(jìn)行了相應(yīng)的闡述，指出而隨著高中知識(shí)的深入，對(duì)函數(shù)的概念通過(guò)從映射的角度進(jìn)行了從新解釋，但仍具有普通函數(shù)的基本素和特性等。本文以二次函數(shù)的概念和基礎(chǔ)知識(shí)為例，加固對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)概念的理解。即二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）按照一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f映射到集合B（值域）中，使集合B中元素y與集合A中的元素x按照y=ax2+bx+c（a≠0）的關(guān)系對(duì)應(yīng)，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0），學(xué)生只有深刻掌握基本概念后才能做到更好的應(yīng)用。例如對(duì)以下問(wèn)題的求解：

類型I：已知f（x+1）=x2-4x+1求f（x）

分析：對(duì)于此例題的求解如果充分掌握理解函數(shù)的概念定義，找出那個(gè)是自變量，那個(gè)是因變量，并判斷出它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么此問(wèn)題便很好解決。因此可從兩個(gè)方面入手結(jié)果此問(wèn)題：①將所給表達(dá)式通過(guò)配方法轉(zhuǎn)換成x+1的表達(dá)式：f（x+1）=（x+1）2-6（x+1）+6，然后將函數(shù)中的自變量x+1用x替代，即為所求表達(dá)式f（x）=x2-6x+6。②直接用變量換元的方法假設(shè)t=x+1，那么x=t-1，帶入所給表達(dá)式可知f（t）=t2-6t+6，因此f（x）=x2-6x+6。

二、二次函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用

在高中階段對(duì)基本性質(zhì)的考察主要圍繞著二次函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和有界性（最值問(wèn)題）等方面，而對(duì)單調(diào)性和有界性的考察最為常見(jiàn)，因此，必須讓學(xué)生對(duì)基本性質(zhì)的應(yīng)用熟練掌握，尤其是單調(diào)性和有界性相結(jié)合的系統(tǒng)考察。

類型II：已知函數(shù)f（x）=x2-2x+3，求函數(shù)在區(qū)間[m，m+1]內(nèi)的最小值。

分析：由函數(shù)圖像可知，對(duì)稱軸為x=1，在區(qū)間（-∞，1]上是遞減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，而區(qū)間[m，m+1]中m的數(shù)值不確定，那么應(yīng)當(dāng)對(duì)所求區(qū)間的大小和1進(jìn)行分類討論，以便求出最小值點(diǎn)。

解：根據(jù)函數(shù)f（x）的圖像可知，對(duì)稱軸為x=1，那么f（x）在x=1時(shí)取得最小值為fmin（x）=f（1）=2。當(dāng)m<0時(shí)，那么fmin（x）=f（m+1）=m2；當(dāng)0≤m≤1時(shí)，那么fmin（x）=2；當(dāng)m>1時(shí)，那么fmin（x）=f（m）=m2-2m+1。

三、二次函數(shù)在二次方程和二次不等式中的應(yīng)用

在高中階段針對(duì)求解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的問(wèn)題比較普遍，在求解過(guò)程中往往轉(zhuǎn)化成函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零點(diǎn)求解問(wèn)題，而對(duì)于二次不等式的求解問(wèn)題主要是先轉(zhuǎn)換成二次方程根的求解，然后在坐標(biāo)軸上畫出根的位置，最后根據(jù)所求不等式的范圍確定所取x值的范圍，即是所求不等式的范圍，但值得注意的是在求解過(guò)程中一定要求學(xué)生對(duì)二次函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性等概念的熟練掌握理解透徹。

類型III：已知函數(shù)f（x）=（4-3a）x2-2x+a，若0≤x≤1，x為自變量，a為常數(shù)，證明當(dāng)a>■時(shí)，f（x）≤a。

分析：根據(jù)所給的已知條件，判斷出4-3a和0之間的關(guān)系，然后確定函數(shù)圖像的確切開(kāi)口方向和精確的對(duì)稱軸位置，然后利用二次函數(shù)的單調(diào)性和有界性進(jìn)行求解分析。

證明：根據(jù)已知條件a>■可知，4-3a<0，且函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=■<0，那么當(dāng)x的取值小于等于對(duì)稱軸時(shí)，函數(shù)f（x）在相應(yīng)的確定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x的取值大于對(duì)稱軸時(shí)，函數(shù)f（x）在相應(yīng)的區(qū)間上是遞減函數(shù)，故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，即f（x）≤fmax（x）=f（0）=a。

四、二次函數(shù)在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

針對(duì)二次函數(shù)在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用，考察最多的就是極值、最值問(wèn)題，但必須注意在特殊點(diǎn)的可導(dǎo)性問(wèn)題，這也是很多學(xué)生最容易出現(xiàn)問(wèn)題的地方。

類型IV：已知函數(shù)f′（x）=3x2+2x，求f（x）在何處取極小值

分析：題目已經(jīng)給出了函數(shù)f（x）的表達(dá)式，只需求出f′（x）=0的點(diǎn)和判斷出在不同范圍內(nèi)的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）的極值。

解：當(dāng)f′（x）=3x2+2x=0時(shí)，解得x1=0，x2=-■，當(dāng)x在（-∞，-2/3）區(qū)間時(shí)，f′（x）>0，故函數(shù)f（x）在相應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，-■），f′（x）<0，故函數(shù)f（x）在相應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)遞減；x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）>0，故函數(shù)f（x）在相應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f（x）在x=0時(shí)取極小值f（0）=0。

五、二次函數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用

二次函數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用在高考題中往往出現(xiàn)在壓軸題或高檔題中，主要考察位置關(guān)系、最值和軌跡問(wèn)題，在解決直線和所給曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，主要是考察兩個(gè)曲線方程組成的二次函數(shù)有無(wú)實(shí)數(shù)根或幾個(gè)實(shí)數(shù)根的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)注意的是，針對(duì)此綜合性的問(wèn)題應(yīng)當(dāng)充分利用好數(shù)形結(jié)合和分類討論的方法。

類型V：探究直線y=kx+1和雙曲線x2-y2=1交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

分析：根據(jù)所給的已知條件，此題目主要考察的是交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，實(shí)際上討論的組成的一元函數(shù)方程根的問(wèn)題，然后充分利用韋達(dá)定理和分類討論的方法便可解答。

解：由已知條件，將上述兩個(gè)方程聯(lián)立消去自變量y得（1-k2）x2-2kx-2=0。那么當(dāng)1-k2=0，故組成的函數(shù)方程只有一個(gè)根，在直線和雙曲線的公共交點(diǎn)處取得。當(dāng)1-k2≠0時(shí)，根據(jù)韋達(dá)定理可知，判別式△=b2-4ac=8-4k2；①當(dāng)△=8-4k2>0時(shí)，組成的二次函數(shù)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故直線和雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)△=8-4k2=0時(shí)，組成的二次函數(shù)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且在直線和雙曲線的切點(diǎn)出取得；③當(dāng)△=8-4k2<0時(shí)，組成的二次函數(shù)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那個(gè)直線和雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)。

六、結(jié)束語(yǔ)

二次函數(shù)貫穿于初高中的整個(gè)學(xué)習(xí)階段，且在每年高考中都已較高的頻率出現(xiàn)，且考試的重點(diǎn)往往將二次函數(shù)結(jié)合別的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行的考察。故在高中能熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)極為重要。本文列舉的二次函數(shù)相關(guān)應(yīng)用例子，希望能對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起到幫助作用。

【參考文獻(xiàn)】

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