摘 要

近年來(lái)，中考題中最值問(wèn)題從未缺席。最值問(wèn)題，既有“共性”，也有“個(gè)性”。本文結(jié)合一些典型例題，將它們轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析解決。

關(guān)鍵詞

最小值 最短路徑 最大利潤(rùn)

類型一：求有共同端點(diǎn)的線段之和最小值或三角形周長(zhǎng)最小值問(wèn)題

例1 如圖1，直線l同側(cè)有兩點(diǎn)A、B，已知A、B到直線l的垂直距離分別為1和3，兩點(diǎn)的水平距離為3，要在直線l上找一個(gè)點(diǎn)P，使PA+PB的和最小。請(qǐng)?jiān)趫D中找出點(diǎn)P的位置，并計(jì)算PA+PB的最小值。

例2 如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上移動(dòng)，則PE+PC的最小值是 。

例3 如圖3，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（ ）。

例4 如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，CD=1，將△ABC沿直線AD翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則△PEB的周長(zhǎng)的最小值是 。

例1要求PA+PB的最小值，也就是求A、B兩點(diǎn)到同一點(diǎn)的和的最小值，當(dāng)點(diǎn)P在這兩點(diǎn)之間，且三點(diǎn)共線時(shí)它們的距離之和最小，即：兩點(diǎn)之間線段最短。而由于A、B兩點(diǎn)在所要找的直線上點(diǎn)的同一側(cè)，因此想到作其中任一點(diǎn)（A）關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)（[A′] ），則l就是線段A[A′]的對(duì)稱軸，如圖1-1，根據(jù)對(duì)稱軸上任一點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，從而轉(zhuǎn)化成在直線l上找一點(diǎn)到[A′]（A的對(duì)稱點(diǎn)）與另一點(diǎn)B的距離之和最小值，于是自然想到連接[A′]B，[A′]B與直線l的交點(diǎn)就是所求的P點(diǎn)，再通過(guò)構(gòu)造的直角三角形，利用勾股定理計(jì)算線段[A′]B即可。

例2中的正方形正好是軸對(duì)稱圖形，BD就是其一條對(duì)稱軸，因此直接找到C點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)A，從而直接連接AE，如圖2-1，再在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE即可。

例3中的圓也是軸對(duì)稱圖形，直徑MN就是其一條對(duì)稱軸，因此找到B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C，從而連接AC，如圖3-1，借助圓中同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系及垂徑定理的內(nèi)容，可知∠AOC=90°，巧妙構(gòu)造Rt△OAC，根據(jù)題意，運(yùn)用勾股定理可求出AC=[2]，所以PA+PB的最小值為[2]。

例4雖然是求三角形周長(zhǎng)最小值，但由于其中的BE是定值，所以此題實(shí)質(zhì)就是求PC+PB的最小值。而此題的翻折就有軸對(duì)稱圖形，E點(diǎn)就和C點(diǎn)關(guān)于AD對(duì)稱，因此只要求BC的值，再加上BE的值即可，如圖4-1。

因此這一類題目的“共性”就是構(gòu)建“對(duì)稱模型”，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”求出最小值。

拓展延伸：螞蟻沿正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食的最短路徑問(wèn)題。

例1 如圖5，有一個(gè)蟲(chóng)子想從點(diǎn)A沿棱長(zhǎng)為1cm的正方體表面爬到點(diǎn)B，求它爬過(guò)的最短路程。

例2 圖6是一塊長(zhǎng)、寬、高分別是6cm，4cm和3cm的長(zhǎng)方體木塊。一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是 。

例3 如圖7，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為4dm，圓柱高為2dm，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為 。

例4 如圖8，圓錐底面半徑為10cm，高為10[15]cm，若一只螞蟻從底面一點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐一周回到SA上一點(diǎn)M處，且SM=3AM，求它所走的最短距離。

例1要求蟲(chóng)子沿正方體表面爬過(guò)的最短路程，需要在從A點(diǎn)到B點(diǎn)的側(cè)面展開(kāi)圖上找出，因此畫出其側(cè)面展開(kāi)圖，直接利用勾股定理計(jì)算出線段AB的長(zhǎng)度即可。也是利用兩點(diǎn)之間線段最短。

例2是求長(zhǎng)方體表面的最短路程，看似和正方體差不多，但是要注意，它們雖然有“共性”，但是又有其“個(gè)性”，正方體的每個(gè)面展開(kāi)都是全等的正方形，而長(zhǎng)方體由于長(zhǎng)、寬、高各不相同，它的每個(gè)面展開(kāi)也不一樣（如圖6-1，6-2，6-3），因此要注意根據(jù)邊的長(zhǎng)度，由勾股定理求出長(zhǎng)度，再去判斷出最短的距離。

例3要求金屬絲的長(zhǎng)，也需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)得到長(zhǎng)方形（如圖7-1），找準(zhǔn)A、C兩點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可。

例4 求螞蟻沿圓錐表面爬過(guò)的最短路程，也是將其側(cè)面展開(kāi)得到扇形（如圖8-1），根據(jù)題意求出AM的距離即可。

因此這一類題目的“共性”就是利用其側(cè)面展開(kāi)圖，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，從而再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”求出最小值。

類型二：二次函數(shù)中的最值問(wèn)題

例1 求函數(shù)y=x2-2x-3的最大值和最小值。

例2 變式：當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y=x2-2x-3的最大值和最小值。

例3 變式：當(dāng)1≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y=-x2-x+1的最大值和最小值。

這一類是單純的求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，它們主要根據(jù)自變量的取值范圍不同，作出函數(shù)草圖如下，在所給自變量范圍內(nèi)，觀察圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量x的值。

拓展延伸：實(shí)際問(wèn)題中的二次函數(shù)最值問(wèn)題

例1 某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)m=162-3x，30≤x≤54。

（1）寫出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn)y與每件銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？

例2 已知在△ABC中，邊BC的長(zhǎng)與BC邊上的高的和為20。

（1）寫出△ABC的面積y與BC邊的長(zhǎng)x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出面積為48時(shí)BC邊的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)BC多長(zhǎng)時(shí)，△ABC的面積最大？最大面積是多少？

這一類題的“共性”是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題——利用二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決，并且此類構(gòu)建最值問(wèn)題，主要有兩種形式，一是商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中的求最大利潤(rùn)、最大銷量等問(wèn)題，解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)題意及現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系，確定出相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式：

y=（x-30）（162-3x）=-3x2+252x-4860，

30≤x≤54。

另一類是幾何圖形中有關(guān)面積的最值問(wèn)題，解這類問(wèn)題關(guān)鍵是要掌握?qǐng)D形面積的求解與表示，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式：

y=[x（20-x）2]=-[12]x2+10x，

即y=-[12][（x-10）]2+50。

最后觀察其“個(gè)性”，根據(jù)函數(shù)圖像的增減性確定其最值，并注意問(wèn)題的實(shí)際意義。

最值問(wèn)題是初中階段的常見(jiàn)問(wèn)題，這類試題內(nèi)容豐富，涉及面廣，解法靈活多樣，而且具有一定的難度。因此我們需要根據(jù)具體問(wèn)題，找到其“共性”，將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)“個(gè)性”解決。并且將生活中的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題與數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，以達(dá)到最高效率。

（作者為江蘇省徐州市第三十六中學(xué)教師）