垂線段是初中幾何的一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)?！冻踔袛?shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)這方面的內(nèi)容提出過明確要求：理解垂線、垂線段等概念，能用三角尺或量角器過一點(diǎn)畫已知直線的垂線；理解點(diǎn)到直線的距離的意義，能度量點(diǎn)到直線的距離。在這里，必須要指出的是：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，這條垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。

2011年的蘇科版教材把這一內(nèi)容放在初一上學(xué)期第6章第5節(jié)，盡管考查的知識(shí)較為基礎(chǔ)，但由于七年級(jí)學(xué)生對(duì)幾何語言的表述不甚規(guī)范，仍然會(huì)出現(xiàn)一些認(rèn)知上的偏差。同時(shí)，由于教師對(duì)本節(jié)知識(shí)的重要性不夠重視，籠統(tǒng)地認(rèn)為這部分內(nèi)容考試考得太少，不需花大力氣去講，因而在引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范作圖和表述上不甚到位，達(dá)不到應(yīng)有的教學(xué)水準(zhǔn)。實(shí)際上，八、九年級(jí)教學(xué)時(shí)，常常會(huì)碰到許多讓廣大學(xué)生談“動(dòng)”色變的動(dòng)點(diǎn)問題，這種問題形式上較為繁瑣，旨在考查學(xué)生的悟性，特別是經(jīng)常會(huì)利用“垂線段最短”把過程中的“動(dòng)”轉(zhuǎn)化為某一時(shí)刻的“靜”，把一個(gè)復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較為簡(jiǎn)單的問題。教師教學(xué)時(shí)可以嘗試從以下幾個(gè)方面來理解垂線段最短。

一、垂線段最短是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)

垂線段最短是學(xué)生應(yīng)該掌握的重要知識(shí)，它本身是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。學(xué)生通過從身邊熟悉的事物中選取學(xué)習(xí)素材認(rèn)識(shí)了垂直，進(jìn)而了解了垂線段，并通過兩個(gè)定義的對(duì)比理解了垂線和垂線段的聯(lián)系和區(qū)別，最后再根據(jù)直線外一點(diǎn)和直線畫出垂線，并找出、標(biāo)記好垂線段。

例1 如圖1，AC⊥BC，C為垂足，CD⊥AB，D為垂足，BC=8，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6，AC=6，那么點(diǎn)C到AB的距離是_______，點(diǎn)A到BC的距離是_______，點(diǎn)B到CD的距離是_______，A、B兩點(diǎn)的距離是_______。

解：C到AB的距離是垂線段CD的長(zhǎng)度，為4.8，同理，中間兩空分別為6和6.4，而A、B兩點(diǎn)的距離是線段AB的長(zhǎng)度，即為10。

例2 如圖2，污水處理廠A要把處理過的水引入排水溝l，應(yīng)如何鋪設(shè)排水管道才能使排水溝最短，請(qǐng)你在圖紙上畫出鋪設(shè)管道的路線，并請(qǐng)你思考為什么這樣畫。

解：如圖3，過點(diǎn)A作垂線段AB交l于點(diǎn)B，理由是垂線段最短。

評(píng)析：例1主要是考查學(xué)生的辨析能力；點(diǎn)和線之間的距離是垂線段的長(zhǎng)度，兩個(gè)端點(diǎn)是點(diǎn)和垂足，點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離是兩點(diǎn)所連線段的長(zhǎng)度；例2就是利用垂線段最短，但要注意畫垂線段的方法。

知識(shí)是能力的先導(dǎo)。只有把知識(shí)真正學(xué)到位，對(duì)概念和性質(zhì)理解通透，才能真正轉(zhuǎn)化為能力，為后續(xù)總結(jié)方法、提煉思想和形成經(jīng)驗(yàn)做好鋪墊。

二、垂線段最短是一條方法線

在解決動(dòng)點(diǎn)問題的過程中，垂線段就是好多學(xué)生一道繞不過的坎，許多疑難題目通過作垂線段，便能迎刃而解?？梢哉f，它為解決某些數(shù)學(xué)問題提供了一條明朗的方法線。

例3 如圖4，⊙O的直徑為10cm，弦AB為8cm，點(diǎn)P是弦AB上的一動(dòng)點(diǎn)。若OP的長(zhǎng)為整數(shù)，則滿足條件的點(diǎn)P有（ ）

A. 2個(gè) B. 3個(gè)

C. 4個(gè) D. 5個(gè)

解：當(dāng)P與A或者B重合時(shí)，OP最大值為5，當(dāng)OP與AB垂直時(shí)，由垂徑定理和勾股定理，求得OP最小值為3，在3和5之間還有2個(gè)長(zhǎng)度為4的點(diǎn)，從而選D。

例4 據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，一股強(qiáng)臺(tái)風(fēng)的中心位于寧波（指城區(qū)，下同）東南方向（36[6]+102[2]）千米的海面上，目前臺(tái)風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度向北偏西60°的方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心50千米的圓形區(qū)域均會(huì)受到強(qiáng)襲擊。已知寧海位于寧波正南方向72千米處，象山位于寧海北偏東60°方向56千米處。請(qǐng)問：寧波、寧海、象山是否會(huì)受這次臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)襲擊？如果會(huì)，請(qǐng)求出受強(qiáng)襲擊的時(shí)間；如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由。（為解決問題，需畫出示意圖，現(xiàn)已畫出其中一部分，如圖5，請(qǐng)根據(jù)需要，把圖形畫完整）

解：如圖6，過點(diǎn)P作水平直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)射線PQ與AO交于M。在Rt△AOP中，求得AO=OP=36[3]+108，得BO=36[3]+36；由∠OPM=30°，得MO=36[3]+36=BO，故M與B重合，臺(tái)風(fēng)中心必經(jīng)過寧海，時(shí)間為5小時(shí)；C為象山，C到PQ距離CN=28[3<50]，故象山會(huì)受到影響，求影響時(shí)間可以先求以C為圓心，50km為半徑的圓與PQ相交的弦長(zhǎng)為[502-283 2]×2=4[37]，時(shí)間為[375]h；A到PQ距離AD=AB，sin60°=36[3]>50，故寧波不受影響。

評(píng)析：對(duì)于例3，學(xué)生能夠感受到在P從A到B運(yùn)動(dòng)的過程中，OP的長(zhǎng)度先變小后變大，從而考慮到關(guān)鍵是求出最小長(zhǎng)度與最大長(zhǎng)度。部分學(xué)生對(duì)本題轉(zhuǎn)化的方法掌握不夠靈活，導(dǎo)致猜答案的現(xiàn)象較為普遍。教師在講解本題后，還可以設(shè)計(jì)以下問題：

（1）⊙O的直徑為10cm，OP=4cm，則過點(diǎn)P最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)度是 ，最短的弦長(zhǎng)度是 ；

（2）⊙O的直徑為10cm，OP=4cm，過點(diǎn)P的弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦有 條。

例4考查學(xué)生的畫圖能力，同時(shí)也讓學(xué)生明確城市可作為圖形中的一個(gè)點(diǎn)，而臺(tái)風(fēng)走的是一條線，應(yīng)該把問題中的“是否會(huì)影響”轉(zhuǎn)化為求“最短距離問題”，從而想到比較垂線段和半徑的大小問題，于是把該題目轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題解答。

由此可見，在數(shù)學(xué)的動(dòng)點(diǎn)問題中，“垂線段最短”可以為解決問題提供一種有力工具。通過找尋“靜止”時(shí)符合要求的那一瞬間，便可提高解題的準(zhǔn)確率。

三、垂線段最短是一層思想面

我們平時(shí)的教學(xué)工作中一直存有這個(gè)問題：學(xué)生題目做得不少，可只要條件稍稍一變，一些學(xué)生考試時(shí)就會(huì)不知所措，特別是對(duì)蘊(yùn)含在其中的規(guī)律，更是遲遲不能領(lǐng)會(huì)。其實(shí)，對(duì)于有些動(dòng)點(diǎn)問題，可以利用題目中顯見的結(jié)論，找出其中蘊(yùn)含的思想，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為熟知的問題來解決。

例5 如圖7，⊙O的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距離為3，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ切⊙O于點(diǎn)Q ，則PQ的最小值為 （ ）

A. [13] B. [5]

C. 3 D. 5

解：由題意易得：在

Rt△POQ中，PQ=[PO2-OQ2]=[PO2-4]，故要求PQ的最小值，只需轉(zhuǎn)化為求OP的最小值，從而當(dāng)OP⊥ l（如圖8）時(shí)，OP最小值為3，故選B。

例6 如圖9，在Rt△AOB中，OA=OB=3[2]，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為 。

解：由題意易得：連接OP，OQ，在Rt△POQ中，PQ=[OP2-OQ2]=[OP2-1]，故要求PQ的最小值，就是求OP的最小值，從而當(dāng)OP⊥ AB時(shí)，最小值為3，故PQ最小值為2[2]。

評(píng)析：上述兩個(gè)例題都是以切線為載體構(gòu)造直角三角形的動(dòng)點(diǎn)問題，其三邊長(zhǎng)度滿足勾股定理，而其中一邊已知大小，要求某一邊的最小值，便可轉(zhuǎn)化為求第三邊的最小值。如果想不到這種化歸思想，學(xué)生便不會(huì)找到利用“垂線段最短”得到滿足條件時(shí)的“靜止”的那一刻，也便不能圓滿解決問題。

在解決動(dòng)點(diǎn)問題的過程中，教師應(yīng)把更多的精力花在誘導(dǎo)學(xué)生怎樣去想、怎樣去悟上來，要置數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用于解題的核心位置，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的解題功能。如果學(xué)生能在解決問題的過程中充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)功能，利用其中蘊(yùn)含的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，不僅可少走彎路，而且可以大大提高其數(shù)學(xué)能力。

四、垂線段最短是一種經(jīng)驗(yàn)體

學(xué)生學(xué)習(xí)一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，領(lǐng)會(huì)一系列的思想方法后，便會(huì)在解決問題的過程中慢慢積累一些解題經(jīng)驗(yàn)。這些經(jīng)驗(yàn)既可以讓學(xué)生獨(dú)立解決一些常見的問題，又可以讓學(xué)生在具體情境下靈活分析問題，形成一種知識(shí)、方法與思想融匯的數(shù)學(xué)體系，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例7 （2014·廣西貴港）如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分線。若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（ ）

A.[125] B.[4]

C.[245] D.[5]

解：作出點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，如圖11，則點(diǎn)E必在AB上，作EQ⊥AC于點(diǎn)Q，設(shè)EQ與AD交于點(diǎn)P，則PC+PQ的最小值為EQ；作CD⊥AB于點(diǎn)F，再根據(jù)等腰三角形ACE腰上的高相等，得到EQ=CF=[245]，從而選C。

評(píng)析：本題隸屬于雙動(dòng)點(diǎn)問題，要求學(xué)生在進(jìn)行思考時(shí)考慮到“將軍飲馬問題”和角的軸對(duì)稱性，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為作對(duì)稱點(diǎn)E，于是便得到PC=PE，進(jìn)而求PE+PQ的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有最小值為EQ，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為求EQ的最小值，此時(shí)應(yīng)利用“垂線段最短”，再根據(jù)等腰三角形ACE腰上的高相等，最后再利用直角三角形面積求出答案。可以說，圓滿解決本題需要學(xué)生具備一些必要的思想方法，并要有一定的解題經(jīng)驗(yàn)，這種以靜制動(dòng)的策略值得學(xué)生多回味思索。

（作者為江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)教師）