垂線段是初中幾何的一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)?!冻踔袛?shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對(duì)這方面的內(nèi)容提出過明確要求:理解垂線、垂線段等概念,能用三角尺或量角器過一點(diǎn)畫已知直線的垂線;理解點(diǎn)到直線的距離的意義,能度量點(diǎn)到直線的距離。在這里,必須要指出的是:連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短,這條垂線段的長(zhǎng)度,叫做點(diǎn)到直線的距離。
2011年的蘇科版教材把這一內(nèi)容放在初一上學(xué)期第6章第5節(jié),盡管考查的知識(shí)較為基礎(chǔ),但由于七年級(jí)學(xué)生對(duì)幾何語言的表述不甚規(guī)范,仍然會(huì)出現(xiàn)一些認(rèn)知上的偏差。同時(shí),由于教師對(duì)本節(jié)知識(shí)的重要性不夠重視,籠統(tǒng)地認(rèn)為這部分內(nèi)容考試考得太少,不需花大力氣去講,因而在引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范作圖和表述上不甚到位,達(dá)不到應(yīng)有的教學(xué)水準(zhǔn)。實(shí)際上,八、九年級(jí)教學(xué)時(shí),常常會(huì)碰到許多讓廣大學(xué)生談“動(dòng)”色變的動(dòng)點(diǎn)問題,這種問題形式上較為繁瑣,旨在考查學(xué)生的悟性,特別是經(jīng)常會(huì)利用“垂線段最短”把過程中的“動(dòng)”轉(zhuǎn)化為某一時(shí)刻的“靜”,把一個(gè)復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較為簡(jiǎn)單的問題。教師教學(xué)時(shí)可以嘗試從以下幾個(gè)方面來理解垂線段最短。
一、垂線段最短是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)
垂線段最短是學(xué)生應(yīng)該掌握的重要知識(shí),它本身是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。學(xué)生通過從身邊熟悉的事物中選取學(xué)習(xí)素材認(rèn)識(shí)了垂直,進(jìn)而了解了垂線段,并通過兩個(gè)定義的對(duì)比理解了垂線和垂線段的聯(lián)系和區(qū)別,最后再根據(jù)直線外一點(diǎn)和直線畫出垂線,并找出、標(biāo)記好垂線段。
例1 如圖1,AC⊥BC,C為垂足,CD⊥AB,D為垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么點(diǎn)C到AB的距離是_______,點(diǎn)A到BC的距離是_______,點(diǎn)B到CD的距離是_______,A、B兩點(diǎn)的距離是_______。
解:C到AB的距離是垂線段CD的長(zhǎng)度,為4.8,同理,中間兩空分別為6和6.4,而A、B兩點(diǎn)的距離是線段AB的長(zhǎng)度,即為10。
例2 如圖2,污水處理廠A要把處理過的水引入排水溝l,應(yīng)如何鋪設(shè)排水管道才能使排水溝最短,請(qǐng)你在圖紙上畫出鋪設(shè)管道的路線,并請(qǐng)你思考為什么這樣畫。
解:如圖3,過點(diǎn)A作垂線段AB交l于點(diǎn)B,理由是垂線段最短。
評(píng)析:例1主要是考查學(xué)生的辨析能力;點(diǎn)和線之間的距離是垂線段的長(zhǎng)度,兩個(gè)端點(diǎn)是點(diǎn)和垂足,點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離是兩點(diǎn)所連線段的長(zhǎng)度;例2就是利用垂線段最短,但要注意畫垂線段的方法。
知識(shí)是能力的先導(dǎo)。只有把知識(shí)真正學(xué)到位,對(duì)概念和性質(zhì)理解通透,才能真正轉(zhuǎn)化為能力,為后續(xù)總結(jié)方法、提煉思想和形成經(jīng)驗(yàn)做好鋪墊。
二、垂線段最短是一條方法線
在解決動(dòng)點(diǎn)問題的過程中,垂線段就是好多學(xué)生一道繞不過的坎,許多疑難題目通過作垂線段,便能迎刃而解??梢哉f,它為解決某些數(shù)學(xué)問題提供了一條明朗的方法線。
例3 如圖4,⊙O的直徑為10cm,弦AB為8cm,點(diǎn)P是弦AB上的一動(dòng)點(diǎn)。若OP的長(zhǎng)為整數(shù),則滿足條件的點(diǎn)P有( )
A. 2個(gè) B. 3個(gè)
C. 4個(gè) D. 5個(gè)
解:當(dāng)P與A或者B重合時(shí),OP最大值為5,當(dāng)OP與AB垂直時(shí),由垂徑定理和勾股定理,求得OP最小值為3,在3和5之間還有2個(gè)長(zhǎng)度為4的點(diǎn),從而選D。
例4 據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào),一股強(qiáng)臺(tái)風(fēng)的中心位于寧波(指城區(qū),下同)東南方向(36[6]+102[2])千米的海面上,目前臺(tái)風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度向北偏西60°的方向移動(dòng),距臺(tái)風(fēng)中心50千米的圓形區(qū)域均會(huì)受到強(qiáng)襲擊。已知寧海位于寧波正南方向72千米處,象山位于寧海北偏東60°方向56千米處。請(qǐng)問:寧波、寧海、象山是否會(huì)受這次臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)襲擊?如果會(huì),請(qǐng)求出受強(qiáng)襲擊的時(shí)間;如果不會(huì),請(qǐng)說明理由。(為解決問題,需畫出示意圖,現(xiàn)已畫出其中一部分,如圖5,請(qǐng)根據(jù)需要,把圖形畫完整)
解:如圖6,過點(diǎn)P作水平直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O,延長(zhǎng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)射線PQ與AO交于M。在Rt△AOP中,求得AO=OP=36[3]+108,得BO=36[3]+36;由∠OPM=30°,得MO=36[3]+36=BO,故M與B重合,臺(tái)風(fēng)中心必經(jīng)過寧海,時(shí)間為5小時(shí);C為象山,C到PQ距離CN=28[3<50],故象山會(huì)受到影響,求影響時(shí)間可以先求以C為圓心,50km為半徑的圓與PQ相交的弦長(zhǎng)為[502-283 2]×2=4[37],時(shí)間為[375]h;A到PQ距離AD=AB,sin60°=36[3]>50,故寧波不受影響。
評(píng)析:對(duì)于例3,學(xué)生能夠感受到在P從A到B運(yùn)動(dòng)的過程中,OP的長(zhǎng)度先變小后變大,從而考慮到關(guān)鍵是求出最小長(zhǎng)度與最大長(zhǎng)度。部分學(xué)生對(duì)本題轉(zhuǎn)化的方法掌握不夠靈活,導(dǎo)致猜答案的現(xiàn)象較為普遍。教師在講解本題后,還可以設(shè)計(jì)以下問題:
(1)⊙O的直徑為10cm,OP=4cm,則過點(diǎn)P最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)度是 ,最短的弦長(zhǎng)度是 ;
(2)⊙O的直徑為10cm,OP=4cm,過點(diǎn)P的弦中,長(zhǎng)度為整數(shù)的弦有 條。
例4考查學(xué)生的畫圖能力,同時(shí)也讓學(xué)生明確城市可作為圖形中的一個(gè)點(diǎn),而臺(tái)風(fēng)走的是一條線,應(yīng)該把問題中的“是否會(huì)影響”轉(zhuǎn)化為求“最短距離問題”,從而想到比較垂線段和半徑的大小問題,于是把該題目轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題解答。
由此可見,在數(shù)學(xué)的動(dòng)點(diǎn)問題中,“垂線段最短”可以為解決問題提供一種有力工具。通過找尋“靜止”時(shí)符合要求的那一瞬間,便可提高解題的準(zhǔn)確率。
三、垂線段最短是一層思想面
我們平時(shí)的教學(xué)工作中一直存有這個(gè)問題:學(xué)生題目做得不少,可只要條件稍稍一變,一些學(xué)生考試時(shí)就會(huì)不知所措,特別是對(duì)蘊(yùn)含在其中的規(guī)律,更是遲遲不能領(lǐng)會(huì)。其實(shí),對(duì)于有些動(dòng)點(diǎn)問題,可以利用題目中顯見的結(jié)論,找出其中蘊(yùn)含的思想,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為熟知的問題來解決。
例5 如圖7,⊙O的半徑為2,點(diǎn)O到直線l的距離為3,點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PQ切⊙O于點(diǎn)Q ,則PQ的最小值為 ( )
A. [13] B. [5]
C. 3 D. 5
解:由題意易得:在
Rt△POQ中,PQ=[PO2-OQ2]=[PO2-4],故要求PQ的最小值,只需轉(zhuǎn)化為求OP的最小值,從而當(dāng)OP⊥ l(如圖8)時(shí),OP最小值為3,故選B。
例6 如圖9,在Rt△AOB中,OA=OB=3[2],⊙O的半徑為1,點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ(點(diǎn)Q為切點(diǎn)),則切線PQ的最小值為 。
解:由題意易得:連接OP,OQ,在Rt△POQ中,PQ=[OP2-OQ2]=[OP2-1],故要求PQ的最小值,就是求OP的最小值,從而當(dāng)OP⊥ AB時(shí),最小值為3,故PQ最小值為2[2]。
評(píng)析:上述兩個(gè)例題都是以切線為載體構(gòu)造直角三角形的動(dòng)點(diǎn)問題,其三邊長(zhǎng)度滿足勾股定理,而其中一邊已知大小,要求某一邊的最小值,便可轉(zhuǎn)化為求第三邊的最小值。如果想不到這種化歸思想,學(xué)生便不會(huì)找到利用“垂線段最短”得到滿足條件時(shí)的“靜止”的那一刻,也便不能圓滿解決問題。
在解決動(dòng)點(diǎn)問題的過程中,教師應(yīng)把更多的精力花在誘導(dǎo)學(xué)生怎樣去想、怎樣去悟上來,要置數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用于解題的核心位置,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的解題功能。如果學(xué)生能在解決問題的過程中充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)功能,利用其中蘊(yùn)含的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化,不僅可少走彎路,而且可以大大提高其數(shù)學(xué)能力。
四、垂線段最短是一種經(jīng)驗(yàn)體
學(xué)生學(xué)習(xí)一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),領(lǐng)會(huì)一系列的思想方法后,便會(huì)在解決問題的過程中慢慢積累一些解題經(jīng)驗(yàn)。這些經(jīng)驗(yàn)既可以讓學(xué)生獨(dú)立解決一些常見的問題,又可以讓學(xué)生在具體情境下靈活分析問題,形成一種知識(shí)、方法與思想融匯的數(shù)學(xué)體系,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
例7 (2014·廣西貴港)如圖10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分線。若P,Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn),則PC+PQ的最小值是( )
A.[125] B.[4]
C.[245] D.[5]
解:作出點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E,如圖11,則點(diǎn)E必在AB上,作EQ⊥AC于點(diǎn)Q,設(shè)EQ與AD交于點(diǎn)P,則PC+PQ的最小值為EQ;作CD⊥AB于點(diǎn)F,再根據(jù)等腰三角形ACE腰上的高相等,得到EQ=CF=[245],從而選C。
評(píng)析:本題隸屬于雙動(dòng)點(diǎn)問題,要求學(xué)生在進(jìn)行思考時(shí)考慮到“將軍飲馬問題”和角的軸對(duì)稱性,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為作對(duì)稱點(diǎn)E,于是便得到PC=PE,進(jìn)而求PE+PQ的最小值,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有最小值為EQ,進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為求EQ的最小值,此時(shí)應(yīng)利用“垂線段最短”,再根據(jù)等腰三角形ACE腰上的高相等,最后再利用直角三角形面積求出答案。可以說,圓滿解決本題需要學(xué)生具備一些必要的思想方法,并要有一定的解題經(jīng)驗(yàn),這種以靜制動(dòng)的策略值得學(xué)生多回味思索。
(作者為江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)教師)