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        我對(duì)函數(shù)定義域的理解與掌握

        2016-04-27 02:06:34
        關(guān)鍵詞:奇偶性值域定義域

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        我對(duì)函數(shù)定義域的理解與掌握

        ■田思繁

        數(shù)學(xué)由于其高度的概括性、深?yuàn)W的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性使很多同學(xué)學(xué)習(xí)起來(lái)不得要領(lǐng),有的同學(xué)甚至說(shuō)數(shù)學(xué)是最感頭疼的學(xué)科。其實(shí)整個(gè)數(shù)學(xué)宮殿的基石就是數(shù)學(xué)概念,任何數(shù)學(xué)公式、定理、推論、法則都蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)概念中,那種只重視解題方法而忽視基本概念的做法是錯(cuò)誤的、片面的。因此,要真正學(xué)好數(shù)學(xué)就必須準(zhǔn)確把握概念的內(nèi)涵和外延,只有這樣才能不斷提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,為全面掌握數(shù)學(xué)知識(shí)奠定良好的基礎(chǔ)。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一條主線,而定義域是函數(shù)的靈魂,因此,我在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中始終以優(yōu)先考慮函數(shù)定義域?yàn)樵瓌t,收到了事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

        一、函數(shù)值域與定義域

        函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合,當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定后,函數(shù)值也隨之而定,因此在求函數(shù)值域時(shí),應(yīng)注意函數(shù)的定義域。

        例1實(shí)數(shù)x、y滿足3x2+2y2=6x,求u=x2+y2的取值范圍。

        二、函數(shù)單調(diào)性與定義域

        函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí),函數(shù)值隨著增減的情況,單調(diào)性是對(duì)區(qū)間而言的,是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì)。所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。

        例2求函數(shù)f(x)=log0.5(x2+4x+3)的單調(diào)區(qū)間。

        錯(cuò)解:因0<0.5<1,則f(x)為減函數(shù)。令g(x)=x2+4x+3,則g(x)=(x+2)2-1。所以,當(dāng)x<-2時(shí),g(x)為減函數(shù),而f(x)為增函數(shù);當(dāng)x>-2時(shí),g(x)為增函數(shù),而f(x)為減函數(shù)。故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2),單調(diào)減區(qū)間為(-2,+∞)。

        分析:函數(shù)f(x)=log0.5(x2+4x+3)的定義域?yàn)?-∞,-3)∪(-1,+∞),而函數(shù)g(x)=x2+4x+3的定義域?yàn)镽,顯然x=-2不屬于(-∞,-3)∪(-1,+∞),可以看出上述錯(cuò)解無(wú)形中擴(kuò)大了函數(shù)的定義域。

        正解:函數(shù)f(x)的單調(diào)增與減區(qū)間分別為(-∞,-3)與(-1,+∞)。

        三、函數(shù)奇偶性與定義域

        函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的“全局性質(zhì)”,研究函數(shù)的奇偶性要在整個(gè)定義域內(nèi)研究,而定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件,故判斷前應(yīng)先考慮該函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)就是非奇非偶函數(shù)。

        例3判斷函數(shù)y=x3,x∈[-1,2]的奇偶性。

        錯(cuò)解:因?yàn)閒(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以函數(shù)y=x3,x∈[-1,2],是奇函數(shù)。

        分析:判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,是同學(xué)們極易忽視的步驟,也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因。

        正解:因2∈[-1,2],而-2?[-1,2],則函數(shù)的定義域區(qū)間[-1,2]關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,則函數(shù)y=x3,x∈[-1,2],是非奇非偶函數(shù)。

        四、函數(shù)的周期性與定義域

        討論函數(shù)的周期性同討論函數(shù)的其他性質(zhì)一樣,不能忽視函數(shù)的定義域。

        例4函數(shù)y=sinx(x≠0且x∈R)是周期函數(shù)嗎?

        分析:此題易給出是周期函數(shù)的錯(cuò)誤答案,導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是忽視了函數(shù)的定義域。這是因?yàn)榧僭O(shè)函數(shù)是周期函數(shù),并設(shè)其周期為T(mén)(T≠0),那么根據(jù)周期函數(shù)的定義知,對(duì)一切x∈R,x≠0都有sin(x+T)=sinx成立。但實(shí)際上此式當(dāng)x=-T時(shí)不成立,此時(shí)sin(x+T)無(wú)定義,故y=sinx(x≠0且x∈R)不是周期函數(shù)。

        綜上所述,在求解函數(shù)問(wèn)題時(shí),優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域是解題的致勝法寶,同時(shí)還能培養(yǎng)自己的思維嚴(yán)謹(jǐn)性,提高自己的解題能力。以上是我的一點(diǎn)學(xué)習(xí)總結(jié),供同學(xué)們參考。

        作者單位:鄭州一中1607班

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