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我對(duì)函數(shù)定義域的理解與掌握

■田思繁

數(shù)學(xué)由于其高度的概括性、深?yuàn)W的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性使很多同學(xué)學(xué)習(xí)起來(lái)不得要領(lǐng)，有的同學(xué)甚至說(shuō)數(shù)學(xué)是最感頭疼的學(xué)科。其實(shí)整個(gè)數(shù)學(xué)宮殿的基石就是數(shù)學(xué)概念，任何數(shù)學(xué)公式、定理、推論、法則都蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)概念中，那種只重視解題方法而忽視基本概念的做法是錯(cuò)誤的、片面的。因此，要真正學(xué)好數(shù)學(xué)就必須準(zhǔn)確把握概念的內(nèi)涵和外延，只有這樣才能不斷提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為全面掌握數(shù)學(xué)知識(shí)奠定良好的基礎(chǔ)。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一條主線，而定義域是函數(shù)的靈魂，因此，我在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中始終以優(yōu)先考慮函數(shù)定義域?yàn)樵瓌t，收到了事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

一、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定后，函數(shù)值也隨之而定，因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)的定義域。

例1實(shí)數(shù)x、y滿足3x2+2y2=6x,求u=x2+y2的取值范圍。

二、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，單調(diào)性是對(duì)區(qū)間而言的，是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì)。所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。

例2求函數(shù)f(x)=log0.5(x2+4x+3)的單調(diào)區(qū)間。

錯(cuò)解：因0<0.5<1，則f(x)為減函數(shù)。令g(x)=x2+4x+3，則g(x)=(x+2)2-1。所以，當(dāng)x<-2時(shí),g(x)為減函數(shù)，而f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x>-2時(shí)，g(x)為增函數(shù)，而f(x)為減函數(shù)。故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-2)，單調(diào)減區(qū)間為(-2，+∞)。

分析：函數(shù)f(x)=log0.5(x2+4x+3)的定義域?yàn)?-∞，-3)∪(-1，+∞)，而函數(shù)g(x)=x2+4x+3的定義域?yàn)镽，顯然x=-2不屬于(-∞,-3)∪(-1,+∞)，可以看出上述錯(cuò)解無(wú)形中擴(kuò)大了函數(shù)的定義域。

正解：函數(shù)f(x)的單調(diào)增與減區(qū)間分別為(-∞，-3)與(-1，+∞)。

三、函數(shù)奇偶性與定義域

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的“全局性質(zhì)”，研究函數(shù)的奇偶性要在整個(gè)定義域內(nèi)研究，而定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件，故判斷前應(yīng)先考慮該函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)就是非奇非偶函數(shù)。

例3判斷函數(shù)y=x3,x∈[-1,2]的奇偶性。

錯(cuò)解：因?yàn)閒(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，所以函數(shù)y=x3，x∈[-1,2]，是奇函數(shù)。

分析：判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是同學(xué)們極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因。

正解：因2∈[-1,2]，而-2?[-1,2]，則函數(shù)的定義域區(qū)間[-1,2]關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則函數(shù)y=x3，x∈[-1,2]，是非奇非偶函數(shù)。

四、函數(shù)的周期性與定義域

討論函數(shù)的周期性同討論函數(shù)的其他性質(zhì)一樣，不能忽視函數(shù)的定義域。

例4函數(shù)y=sinx(x≠0且x∈R)是周期函數(shù)嗎？

分析：此題易給出是周期函數(shù)的錯(cuò)誤答案，導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是忽視了函數(shù)的定義域。這是因?yàn)榧僭O(shè)函數(shù)是周期函數(shù)，并設(shè)其周期為T(mén)(T≠0)，那么根據(jù)周期函數(shù)的定義知，對(duì)一切x∈R，x≠0都有sin(x+T)=sinx成立。但實(shí)際上此式當(dāng)x=-T時(shí)不成立，此時(shí)sin(x+T)無(wú)定義，故y=sinx(x≠0且x∈R)不是周期函數(shù)。

綜上所述，在求解函數(shù)問(wèn)題時(shí)，優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域是解題的致勝法寶，同時(shí)還能培養(yǎng)自己的思維嚴(yán)謹(jǐn)性，提高自己的解題能力。以上是我的一點(diǎn)學(xué)習(xí)總結(jié)，供同學(xué)們參考。

作者單位：鄭州一中1607班