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一解多題，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)

■常小平1賀永宏2

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的方法有很多，心理學(xué)家認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的突破口，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)包含思維的廣闊性、深刻性、獨(dú)立性、批判性、邏輯性、創(chuàng)造性、靈活性、敏捷性、收斂性及發(fā)散性。培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的途徑也很多，通過一題多解能培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性，也可通過一解多題培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、創(chuàng)造性、收斂性，增進(jìn)學(xué)生思維的邏輯性，使學(xué)生覺得在解數(shù)學(xué)題時(shí)有規(guī)律可循，也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。下面筆者通過兩個(gè)看似不同的2015年高考數(shù)學(xué)題及變形，尋找其本質(zhì)的共同點(diǎn)，用同一種方法進(jìn)行解答。

陜西師范大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》(下)2014年第3期上發(fā)表了《圓錐曲線的“伴隨”點(diǎn)與2013年陜西高考數(shù)學(xué)題》(作者常小平,下稱文1)，文章中記錄了作者在解決直線與圓錐曲線問題時(shí)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)美妙性質(zhì)：點(diǎn)與點(diǎn)如影隨形地相伴著，故命名為“伴隨”點(diǎn)，同時(shí)給出了“伴隨”點(diǎn)的幾個(gè)性質(zhì)，并用這些性質(zhì)非常簡(jiǎn)單地解決了2013年陜西高考數(shù)學(xué)第20題第(Ⅱ)問。為了讓讀者容易理解本文，特將文1中的結(jié)論稍加改進(jìn)，擇錄如下：

“伴隨點(diǎn)”有如下的性質(zhì)：

(1)互為“伴隨點(diǎn)”,即若P′是P的伴隨點(diǎn)，則P也是P′的伴隨點(diǎn)。

(2)在命題的已知條件下，P′是P的伴隨點(diǎn)，當(dāng)A、B在x軸(或y軸)異側(cè)時(shí)，∠AP′B被x軸(或y軸)平分；當(dāng)A、B在x軸(或y軸)同側(cè)時(shí)，∠AP′B的鄰補(bǔ)角被x軸(或y軸)平分。

(3)在命題的已知條件下，P′是x軸(或y軸)上的一點(diǎn)，當(dāng)A、B在x軸(或y軸)異側(cè)，且∠AP′B恒被x軸(y軸)平分(或當(dāng)A、B在x軸(或y軸)同側(cè)時(shí)，∠AP′B的鄰補(bǔ)角恒被x軸(或y軸)平分)，則P′是P的伴隨點(diǎn)。

2015年高考全國(guó)理科卷第20題第(2)問和2015年四川高考理科卷第20題的第(2)問都是“伴隨點(diǎn)”的兩個(gè)變形題，現(xiàn)將它們的解答實(shí)錄在此，作為一解多題的一個(gè)案例。

(1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求曲線C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由。

如圖1，這樣的點(diǎn)存在，為P(0,-a)。

圖1

圖2

(1)求橢圓E的方程。

當(dāng)然我們也可利用QP平分∠AQB，得到直線QA和直線QB的斜率相等，設(shè)Q(0,y0)，從而求得y0=2。

變式:在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的點(diǎn)Q，使得∠AQP=∠BQP恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

這兩個(gè)高考試題的第2問及變式都有一個(gè)本質(zhì)的共同點(diǎn)，就是圓錐曲線的“伴隨”點(diǎn)，讓學(xué)生透過不同的表面現(xiàn)象，抓住問題的本質(zhì)屬性，既培養(yǎng)了學(xué)生的思維品質(zhì)，又使學(xué)生學(xué)會(huì)了分析和研究問題。

參考文獻(xiàn)：

1.常小平.圓錐曲線的“伴隨點(diǎn)”與2013年陜西高考數(shù)學(xué)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(下)，2014(3).

作者單位：1.陜西省榆林市教研室

2.陜西省榆林市第三中學(xué)