林　凡, 彭建設(shè), 楊　柳, 劉　雄

(1.西華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 四川 成都　610039； 2.成都大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 四川 成都　610106)

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求解懸臂梁受迫振動(dòng)的時(shí)域DQ法

林凡1, 彭建設(shè)2, 楊柳2, 劉雄1

(1.西華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 四川 成都610039； 2.成都大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 四川 成都610106)

摘要：針對(duì)懸臂梁分別施加突加荷載F(x,t)=Q與交變荷載F(x,t)=Q·sinωt時(shí)的定解問(wèn)題，提出對(duì)控制微分方程及定解條件直接進(jìn)行離散求解的時(shí)域DQ法.該方法在空間域和時(shí)間域均采用離散的DQ法，得到全部離散點(diǎn)撓度的可解線(xiàn)性方程組，求解該線(xiàn)性方程組即可得到全域位移場(chǎng).算例分析結(jié)果表明，時(shí)域DQ法比有限元法速度快且精度高.

關(guān)鍵詞：懸臂梁；定解問(wèn)題；時(shí)域DQ法；受迫振動(dòng)

0引言

傳統(tǒng)的對(duì)梁振動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算一般都采用在空間域做有限元離散，且在時(shí)間域差分的方法.這種方法需把所經(jīng)歷的時(shí)間域分成遞推求解，每一步遞推都要對(duì)所給定的空間域解一次穩(wěn)定問(wèn)題.為了解的穩(wěn)定性和精度，時(shí)間步長(zhǎng)往往必須取得很短，網(wǎng)絡(luò)也必須劃得較細(xì)，這樣使得求解較為繁瑣，大大影響了計(jì)算效率.

DQ法(Differential Quadrature Method)是Bellman等[1]于1969年提出的一種求解偏微分方程的數(shù)值解法.該算法數(shù)學(xué)推理簡(jiǎn)單，計(jì)算過(guò)程易于編程，計(jì)算成本低，計(jì)算精度高，在相關(guān)領(lǐng)域得到了較廣泛的應(yīng)用[2-3].

本研究針對(duì)2種不同策動(dòng)力作用下懸臂梁的受迫振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題，直接從控制微分方程出發(fā)提出了求解策動(dòng)力下動(dòng)力學(xué)定解問(wèn)題的時(shí)域DQ法.該方法對(duì)控制方程及其邊界條件在空間域和時(shí)間域都應(yīng)用DQ法，得到全域內(nèi)離散點(diǎn)撓度的線(xiàn)性方程組，通過(guò)求解方程組，便能得到全域內(nèi)的梁振動(dòng)位移響應(yīng)場(chǎng).

1時(shí)域DQ法求解控制方程

受迫振動(dòng)懸臂梁的控制微分方程為，

(1)

式中，w為懸臂梁小撓度，x為軸向自變量，t為時(shí)間自變量，E為彈性模量，I為橫截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m為單位長(zhǎng)度質(zhì)量，F(xiàn)為梁橫向荷載.

(2)

式中，L為懸臂梁的長(zhǎng)度，T為時(shí)間域長(zhǎng).

在梁的空間域內(nèi)取NX個(gè)節(jié)點(diǎn)，時(shí)間域內(nèi)取Nτ個(gè)節(jié)點(diǎn)，即全域內(nèi)有NX×Nτ個(gè)節(jié)點(diǎn).由DQ法的基本原理[4]知，撓度w對(duì)空間X和時(shí)間τ的各高階偏導(dǎo)數(shù)在無(wú)量綱坐標(biāo)(Xi,τj)處的函數(shù)值可以用全域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)值的加權(quán)和表示，即任意節(jié)點(diǎn)(Xi,τj)處的n(自然數(shù))階偏導(dǎo)數(shù)可表示為，

(3)

(4)

由式(3)、(4)代入式(2)得全域內(nèi)關(guān)于控制方程的時(shí)域DQ線(xiàn)性方程組，

(5)

式中，i=1,2,…，NX；j=1,2,…，Nτ.

易知，在全域內(nèi)有NX×Nτ個(gè)關(guān)于控制方程的時(shí)域DQ線(xiàn)性方程組，式(5)的矩陣形式為，

[C]·{w}={F}

(6)

式中，{w}為全域內(nèi)節(jié)點(diǎn)(Xi,τj)處梁撓度w(Xi,τj)組成的NX×Nτ行、1列矩陣，[C]為NX×Nτ行、NX×Nτ列的權(quán)系數(shù)矩陣，{F}為NX×Nτ行、1列的廣義荷載列陣.

為求解時(shí)域DQ線(xiàn)性方程組式(5)，還需確定其定解條件.對(duì)懸臂梁，利用在任意時(shí)間節(jié)點(diǎn)τj(j=1,2,,…，Nτ)處，梁的兩端點(diǎn)都有4個(gè)邊界條件方程，則全域內(nèi)共有4Nτ個(gè)邊界條件方程.

(7)

(8)

式中，i=1,2,…，NX.

用式(7)的4Nτ個(gè)邊界條件時(shí)域DQ法方程和式(8)的2NX個(gè)初始條件時(shí)域DQ法方程，分別代替式(5)中的i=1,2,NX-1,NX(j=1,2,…，Nτ)，j=1,2(i=1,2,…，NX)時(shí)表示的時(shí)域DQ法方程，將定解條件融入到可解線(xiàn)性方程組式(5)，即得到式(6)的系數(shù)矩陣[C]和荷載列{F}，從而求解式(6)可得到全域內(nèi)已知節(jié)點(diǎn)處的撓度列陣{w}.于是，全域內(nèi)的位移場(chǎng)可由Lagrange插值得到，

(9)

至此，全域內(nèi)的時(shí)程響應(yīng)已經(jīng)得到.

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)DQ法可以進(jìn)一步求得已知各節(jié)點(diǎn)處的速度和加速度，即，

(10)

(11)

利用求出的{w}以及式(10)和式(11),采用高階Lagrange插值,可以得到全域內(nèi)的速度和加速度分別為，

(12)

(13)

同理，由薄板在全域內(nèi)的應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式[7]，

(14)

得到懸臂梁在全域內(nèi)的應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式為，

(15)

式中，μ為泊松比，z為懸臂梁撓度方向自變量，設(shè)為已知量.

根據(jù)式(9)，可求得已知節(jié)點(diǎn)(Xi,τj)處的應(yīng)力為，

(16)

再采用高階Lagrange插值,可得全域內(nèi)的應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式，

(17)

對(duì)式(9)、(12)中τ=1時(shí)的值，可作為下一時(shí)域段的初始條件，再按照前述方法,可求得下一時(shí)域段的動(dòng)力響應(yīng)和應(yīng)力場(chǎng).如此往復(fù),即可求得任意時(shí)刻懸臂梁振動(dòng)的時(shí)程響應(yīng)和應(yīng)力場(chǎng).

2算例分析與討論

2.1算例分析

例1左端固定右端自由懸臂梁，長(zhǎng)50cm，截面高2cm，寬1cm，彈性模量E=15 000 000N/cm2，質(zhì)量密度ρ=0.008kg/cm3.初始位移和初始速度均為0，在梁上作用突加荷載F(x,t)=10N/cm，求自由端的位移響應(yīng).

例2同例1幾何物理參數(shù)相同的懸臂梁,在梁上作用交變荷載F(x,t)=10sin500tN/cm，求自由端的位移響應(yīng).

對(duì)上述2個(gè)算例，本研究分別采用時(shí)域DQ法和有限元法進(jìn)行求解，其中，有限元(Ansys 14.0)單元類(lèi)型為solid185.2種算法的時(shí)間域區(qū)間長(zhǎng)度都取0.3 s，全域內(nèi)具體節(jié)點(diǎn)數(shù)的選取如表1所示.圖1和圖2為采用以上2種算法求解算例的數(shù)值解與精確解的位移響應(yīng)匯總圖.

表1　2種數(shù)值解法在全域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)

圖1算例1的時(shí)間——位移響應(yīng)

圖2算例2的時(shí)間——位移響應(yīng)

需說(shuō)明的是，時(shí)域DQ法是一維數(shù)學(xué)模型，空間域取梁長(zhǎng)方向；有限元(Ansys14.0)是三維數(shù)學(xué)模型，空間域?yàn)殚L(zhǎng)×寬×高，所以2種方法在比較空間域節(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí)只討論梁長(zhǎng)方向.

2.2討論

對(duì)于算例1，從表1和圖1可知，在空間域(指梁長(zhǎng)方向，下同)節(jié)點(diǎn)數(shù)都為31，時(shí)間域節(jié)點(diǎn)數(shù)都為120時(shí)，時(shí)域DQ法的精度明顯比Ansys1好很多；僅當(dāng)有限元的時(shí)間域節(jié)點(diǎn)數(shù)增加到4倍于Ansys1時(shí)，Ansys2的精度較Ansys1幾乎沒(méi)有改善；僅當(dāng)有限元的空間域節(jié)點(diǎn)數(shù)增加到3倍于Ansys1時(shí)，Ansys3的精度與時(shí)域DQ一樣有很好的精度.同樣，從表1和圖2，算例2也可得出與算例1相同的結(jié)論.

3結(jié)語(yǔ)

從本研究的分析與計(jì)算過(guò)程看，時(shí)域DQ法原理簡(jiǎn)單，且易于編程實(shí)現(xiàn)計(jì)算.因此，在求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題方面，時(shí)域DQ法計(jì)算精度和計(jì)算效率都大大優(yōu)于有限元法.

參考文獻(xiàn)：

[1]Bellman R，Casti J.Differentialquadratureandlong-termintegration[J].J Math Anal Appl，1969,34(2)：235-238.

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[6]徐次達(dá)，陳學(xué)潮，鄭瑞芳，等.新計(jì)算力學(xué)加權(quán)殘值法——原理、方法及應(yīng)用[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1997.

[7]徐芝綸.彈性力學(xué)(下)[M].北京：高等教育出版社，2006.

Forced Vibration of Cantilever Beams by Time-domain Differential Quadrature

LINFan1,PENGJianshe2,YANGLiu2,LIUXiong1

(1.School of Mechanical Engineering, Xihua University, Chengdu 610039, China;2.School of Mechanical Engineering, Chengdu University, Chengdu 610106, China)

Abstract:Aiming at the definite solution problems for suddenly applied load and alternative load put on cantilever beams,a time-domain DQ(differential quadrature) method is presented in this paper which directly makes discrete solution to governing partial differential equation and definite condition.This method adopts discrete DQ both in space domain and time domain and obtains the system of linear equations of all the discrete point deflection.Solving this system of linear equations can obtain the whole domain displacement-field.The numerical examples show that the computational accuracy and efficiency of time-domain DQ method are better than that of finite element method.

Key words:cantilever beam;definite solution problems;time-domain DQ method;forced vibration

中圖分類(lèi)號(hào)：O302；O175.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

作者簡(jiǎn)介：林凡(1989 — )， 男， 碩士研究生， 從事計(jì)算固體力學(xué)研究.

收稿日期：2016-01-25.

文章編號(hào)：1004-5422(2016)01-0034-04