魏道高, 李莉莉，王 鵬, 蔣亦斌, 潘之杰

(1. 合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，合肥 230009； 2. 浙江吉利汽車研究院有限公司,杭州 310052)

2016023

考慮懸架影響的汽車操縱穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)Hopf分岔特性*

魏道高1, 李莉莉1，王 鵬1, 蔣亦斌1, 潘之杰2

(1. 合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，合肥 230009； 2. 浙江吉利汽車研究院有限公司,杭州 310052)

四輪轉(zhuǎn)向增加了汽車高速轉(zhuǎn)向行駛的穩(wěn)定性，改善了低速時的轉(zhuǎn)向操縱靈敏性。為了揭示懸置參數(shù)對四輪轉(zhuǎn)向汽車轉(zhuǎn)向行駛Hopf分岔特性的影響，為某型四輪轉(zhuǎn)向汽車建立了考慮懸架影響的人-車-路閉環(huán)的汽車轉(zhuǎn)向行駛系統(tǒng)動力學(xué)模型和運(yùn)動微分方程，分析了車輛質(zhì)心位置和懸架參數(shù)對系統(tǒng)分岔特性的影響。結(jié)果表明，隨著質(zhì)心的后移，汽車側(cè)向速度、橫擺角速度和車身側(cè)傾角的自激振動幅值增大；隨著懸架側(cè)傾中心高度的減小，車身側(cè)傾角自激振動幅值增大，而側(cè)向速度和橫擺角速度的振幅減小；懸架剛度增加能抑制系統(tǒng)發(fā)生自激側(cè)傾振動。

操縱穩(wěn)定性；閉環(huán)系統(tǒng)；Hopf分岔；極限環(huán)

前言

汽車操縱穩(wěn)定性是其最主要的動力學(xué)性能之一，自上世紀(jì)30年代人們就開始關(guān)注汽車操縱穩(wěn)定性的研究，目前其線性范圍研究較為成熟[1-3]，非線性動力學(xué)分析方法成為熱點(diǎn)，它能夠較全面地反映車輛轉(zhuǎn)向行駛的本質(zhì)特性，避免了線性系統(tǒng)只取某一平衡點(diǎn)的鄰域構(gòu)建車輛行駛動力特性模型的局限性[4-5]。

汽車是多自由度的非線性系統(tǒng)，隨著其行駛速度的提高，車輛轉(zhuǎn)向行駛的非線性動力學(xué)行為變得更加明顯，在工程實(shí)際中，顯現(xiàn)出來的一系列問題也更加突出。國內(nèi)外學(xué)者對其展開了深入的研究，取得了一系列成果。主要研究方法分為開環(huán)與閉環(huán)系統(tǒng)。

文獻(xiàn)[6]中建立了前輪轉(zhuǎn)向的2自由度汽車轉(zhuǎn)向行駛平面開環(huán)模型，運(yùn)用分岔理論對其動力學(xué)行為進(jìn)行數(shù)值分析，發(fā)現(xiàn)隨著車輛行駛速度和前輪轉(zhuǎn)向角增加系統(tǒng)發(fā)生鞍-結(jié)分岔；文獻(xiàn)[7]中建立了四輪轉(zhuǎn)向的2自由度汽車轉(zhuǎn)向行駛平面開環(huán)模型，運(yùn)用共點(diǎn)軌跡的幾何分析法并結(jié)合相平面法對汽車轉(zhuǎn)向行駛穩(wěn)定性進(jìn)行了數(shù)值分析，結(jié)果表明，在極限工況下，系統(tǒng)除了發(fā)生鞍-結(jié)分岔，還會發(fā)生多種局部、全局分岔和極限環(huán)；文獻(xiàn)[8]中考慮車輛縱向速度的變化，建立了3自由度的汽車轉(zhuǎn)向行駛平面開環(huán)模型，對其進(jìn)行數(shù)值分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動。

文獻(xiàn)[9]中研究了駕駛員參數(shù)對轉(zhuǎn)向行駛穩(wěn)定性的影響，提出了駕駛員參數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)變化時系統(tǒng)是否失穩(wěn)的判別條件；文獻(xiàn)[10]中建立了閉環(huán)系統(tǒng)模型，研究汽車和駕駛員參數(shù)對系統(tǒng)平面運(yùn)動Hopf分岔和極限環(huán)數(shù)值特性的影響，分析了車速和通向混沌的關(guān)系。

綜上研究，由于非線性計算的復(fù)雜性的系統(tǒng)模型多局限于平面模型，忽略了車身側(cè)傾運(yùn)動誘發(fā)側(cè)翻，及側(cè)傾運(yùn)動和平面運(yùn)動耦合的影響。而考慮車身側(cè)傾的文獻(xiàn)又多局限于簧上結(jié)構(gòu)而忽略了懸架參數(shù)的影響。因此，本文中考慮懸架構(gòu)建閉環(huán)系統(tǒng)動力學(xué)模型，通過定性分析判定系統(tǒng)Hopf分岔存在性和極限環(huán)的穩(wěn)定性與側(cè)傾失穩(wěn)的臨界車速；通過數(shù)值計算分析懸架參數(shù)和懸置參數(shù)對車輛穩(wěn)定性的影響。

1 系統(tǒng)動力學(xué)模型建立

1.1 車輛動力學(xué)模型

本文中以某型四輪轉(zhuǎn)向汽車作為樣車，將其簡化為3自由度力學(xué)模型，如圖1所示。圖中，O1為質(zhì)心，O2為側(cè)傾中心。建模時做如下假設(shè)：(1)后輪轉(zhuǎn)向始終與前輪轉(zhuǎn)向呈正比關(guān)系δr=kpδf(δf為前輪轉(zhuǎn)角，δr為后輪轉(zhuǎn)角，kp為前后輪轉(zhuǎn)角比例系數(shù))；(2)忽略懸架與轉(zhuǎn)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的影響；(3)縱向速度為常量；(4)忽略車輛縱向動力學(xué)的影響。

基于以上力學(xué)模型和假設(shè)，建立該車輛3自由度動力學(xué)方程：

2Frcosδr

(1)

(2)

(3)

式中：m為整車質(zhì)量；v為汽車橫向速度；u為汽車縱向行駛速度；ω為橫擺角速度；ms為簧上質(zhì)量；Ff為前輪側(cè)向力；Fr為后輪側(cè)向力；Iz為整車?yán)@橫擺軸(Z)軸的轉(zhuǎn)動慣量；a為質(zhì)心到前軸的距離；b為質(zhì)心到后軸的距離；Ix為整車?yán)@側(cè)傾軸(X)軸的轉(zhuǎn)動慣量；φ為側(cè)傾角；cφ為側(cè)傾角阻尼；hs為簧上質(zhì)量質(zhì)心到側(cè)傾軸線的距離，為簧上質(zhì)量質(zhì)心高度h與側(cè)傾軸線高度hφ的差；kφ為側(cè)傾角剛度。

前后懸架側(cè)傾角剛度和線剛度的關(guān)系為

(4)

式中:ksf和ksr分別為前、后懸架線剛度；B為輪距。取后懸架線剛度為前懸架線剛度的1.5倍，即ksr=1.5ksf=1.5ks，ks為懸架線剛度，則kφ=1.25ksB2。

1.2 駕駛員模型

駕駛員的控制行為是影響閉環(huán)汽車操縱穩(wěn)定性[11-12]的重要因素。目前駕駛員模型主要有補(bǔ)償跟蹤模型[13-14]、預(yù)瞄跟蹤模型[15-16]和智能控制模型[17-18]等。簡化的預(yù)瞄跟蹤模型因便于仿真分析且精度較高而被廣泛采用。因此本文中選用該模型，其表達(dá)式為

(5)

式中:L為駕駛員前方可視距離；Tr為視覺延遲；K為增益放大系數(shù)；用(x,y)表示車輛質(zhì)心O1的水平位置，Ψ為車輛前進(jìn)方向角，則

(6)

(7)

1.3 輪胎模型

汽車輪胎側(cè)向力用魔術(shù)公式計算精度較高，但不能進(jìn)行系統(tǒng)定性分析，而輪胎立方模型[19-20]能進(jìn)行系統(tǒng)定性分析，該模型與魔術(shù)公式計算對比結(jié)果如圖2所示。二者較接近，因此，本文中選用輪胎側(cè)向力立方模型，對系統(tǒng)穩(wěn)定性定性分析與數(shù)值計算，計算輪胎側(cè)向力所需參數(shù)如表1所示。

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值C1f(C1r)/(N·rad-1)33020C3f(C3r)/(N·rad-3)481770

輪胎側(cè)向力立方模型為

(8)

(9)

其中：

(10)

(11)

式中：C1f，C3f，C1r和C3r為側(cè)偏剛度系數(shù)；αf和αr分別為前、后輪側(cè)偏角。

2 樣車Hopf分岔特性定性分析

汽車操縱穩(wěn)定性非線性動力學(xué)特性分析，主要分為開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)兩方面研究，開環(huán)系統(tǒng)汽車轉(zhuǎn)向失穩(wěn)時主要表現(xiàn)為鞍-結(jié)分岔，倍周期和混沌行為?？紤]駕駛員的閉環(huán)系統(tǒng)在忽略路面激勵的情況下汽車轉(zhuǎn)向失穩(wěn)時可能出現(xiàn)Hopf分岔，本文中對第1節(jié)建立操縱穩(wěn)定性閉環(huán)自治系統(tǒng)進(jìn)行Hopf分岔特性分析。尋找樣車發(fā)生Hopf分岔的臨界車速和關(guān)鍵的車輛性能參數(shù)對該分岔的影響。應(yīng)用文獻(xiàn)[21]判定該系統(tǒng)是否發(fā)生Hopf分岔，并尋找速度分岔值，系統(tǒng)參數(shù)如表2所示。

表2 系統(tǒng)參數(shù)

2.1 系統(tǒng)Hopf分岔判定

(12)

其中：

令式(12)的特征方程為

(13)

式中：n為矩陣A(u)的特征向量。

根據(jù)Hopf代數(shù)判據(jù)[21-22]，特征方程式(13)有一對純虛根，且其余5個根均具有負(fù)實(shí)部的充分必要條件為fi(u)>0(i=0,1,…,7)，且Δi>0(i=2,4)，Δ6=0，Δi為式(13)的Hurwitz行列式。

將表2中數(shù)據(jù)代入式(12)和式(13)，獲得滿足判據(jù)條件的含10個不等式和1個等式的方程組：

(14)

計算Jacobi矩陣A(uc)的特征根如表3所示。

表3 矩陣A(uc)的特征根

XL和XR分別為矩陣A(uc)對應(yīng)特征值4.514670491i的左特征矢量和右特征矢量：

M=

則Jacobi矩陣A(u)的純虛根對應(yīng)的特征根在uc處關(guān)于u的導(dǎo)數(shù)n′(uc)=XLMXR=-0.4780389881+0.7406790501i,Re(n′(uc))=-0.4780389881≠0,所以該動力學(xué)系統(tǒng)在u=uc處發(fā)生Hopf分岔。

2.2 系統(tǒng)Hopf分岔穩(wěn)定性分析

由上面Hopf分岔代數(shù)判別計算可知，該系統(tǒng)在臨界車速工況下，在平衡點(diǎn)發(fā)生了Hopf分岔，產(chǎn)生的極限環(huán)穩(wěn)定性根據(jù)文獻(xiàn)[22]中Hopf分岔穩(wěn)定性判據(jù)， 令

其中：

式中:iv0為系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的純虛根；O為零矩陣或零向量；i=1,2，…，7。

如果Re(β)>0，則分叉周期解為軌道漸進(jìn)穩(wěn)定的；如果Re(β)<0，則分叉周期解為軌道不穩(wěn)定的。

計算得β=897.1630625+1156.845412i，Re(β)=897.1630625>0，所以系統(tǒng)發(fā)生超臨界Hopf分叉，周期解為軌道漸進(jìn)穩(wěn)定的，表現(xiàn)為穩(wěn)定極限環(huán)。

3 Hopf分岔特性數(shù)值計算與分析

由以上定性分析可知，樣車系統(tǒng)在臨界車速處發(fā)生超臨界Hopf分岔，即系統(tǒng)發(fā)生蛇行運(yùn)動。因此，基于以上建立的車輛操縱穩(wěn)定性系統(tǒng)運(yùn)動微分方程，運(yùn)用四階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解，計算車輛質(zhì)心與側(cè)傾中心參數(shù)對系統(tǒng)產(chǎn)生的極限環(huán)特性的影響。

3.1 線性模型穩(wěn)定性計算

為研究樣車穩(wěn)態(tài)行駛時的轉(zhuǎn)向特性，本文中以車輛四輪轉(zhuǎn)向時穩(wěn)態(tài)橫擺角速度增益為評價指標(biāo)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。將樣車簡化為單軌線性模型，求得其橫擺角速度增益數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(15)

其中

(16)

式中:La+b為軸距；K0為穩(wěn)定性因數(shù)；k1和k2分別為前后輪側(cè)偏剛度。由表2和式(16)算得K0=0.0036s2/m2。

由表2和式(15)計算得橫擺角速度增益曲線如圖3中實(shí)線所示。

由圖3可見，樣車穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性具有不足轉(zhuǎn)向，且該曲線落在美國試驗(yàn)安全車(ESV)穩(wěn)態(tài)橫擺角速度增益的滿意區(qū)域內(nèi)。

3.2 操穩(wěn)分岔特性計算

為研究車輛行駛速度對其操縱穩(wěn)定性能的影響，本文中以車輛前進(jìn)速度為分岔參數(shù)，進(jìn)行分岔特性分析。得到車輛橫擺角速度ω與車速u的分岔圖，如圖4所示。

由圖4可得，隨著車速u的增大，車輛系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔，其臨界車速為31.5m/s，與第2節(jié)定性分析結(jié)果接近。在車速u=20～31.5m/s的范圍內(nèi)，橫擺角速度ω幅值近似為零，車輛行駛狀態(tài)趨于穩(wěn)定，未發(fā)生蛇行運(yùn)動。在車速u=31.5～60m/s的范圍內(nèi)，車輛橫擺角速度ω幅值先增大后減小，最后趨于穩(wěn)定，車輛表現(xiàn)為蛇行運(yùn)動特性。

3.3 質(zhì)心位置和懸架主要參數(shù)的影響

為了研究樣車質(zhì)心的縱向位置對系統(tǒng)操縱穩(wěn)定性的影響，取車速u為40m/s時，保持軸距La+b不變，分別改變質(zhì)心前后位置、懸架側(cè)傾中心高度和懸架垂直剛度，計算系統(tǒng)變量響應(yīng)變化趨勢，計算結(jié)果如圖5～圖7和表4所示。

3.4 計算結(jié)果與分析

由圖5～圖7和表4可得，保持軸距La+b不變，隨著質(zhì)心到前軸的距離a的增大、質(zhì)心到后軸的距離b減小，汽車側(cè)向速度v，橫擺角速度ω和車身側(cè)傾角φ的自激振動極限環(huán)幅值呈增大的趨勢；隨著懸架側(cè)傾中心高度hφ的減小，汽車側(cè)向速度v和橫擺角速度ω的自激振動極限環(huán)幅值呈減小的趨勢，車身側(cè)傾角φ的自激振動極限環(huán)幅值呈增大的趨勢；隨著懸架線剛度ks的增大，汽車側(cè)向速度v和橫擺角速度ω的自激振動極限環(huán)幅值有輕微增大的趨勢，車身側(cè)傾角φ的自激振動極限環(huán)幅值呈減小的趨勢。

參數(shù)a=1 035mb=1 655ma=1 085mb=1 605ma=1 135mb=1 555mh?=0 087mh?=-0 013mh?=-0 113mks=26N·mks=36N·mks=46N·mv/(m·s-1)0 760 941 080 760 690 590 820 880 91ω/((°)·s-1)10 1611 6212 510 169 478 5212 2012 2112 23?/(°)2 653 113 372 653 043 253 562 541 95

4 結(jié)論

(1)運(yùn)用Hopf分岔定理判定考慮懸架的人-車-路閉環(huán)操縱穩(wěn)定性系統(tǒng)發(fā)生了超臨界Hopf分岔，通過數(shù)值計算方法獲取系統(tǒng)分岔的臨界車速為31.6m/s，車輛系統(tǒng)發(fā)生了蛇行運(yùn)動。

(2)隨著懸架側(cè)傾中心高度hφ的減小，車身側(cè)傾角φ的自激振動極限環(huán)幅值呈增大的趨勢，而汽車側(cè)向速度v和橫擺角速度ω的自激振動極限環(huán)幅值呈減小的趨勢；隨懸架線剛度ks的增大，汽車側(cè)向速度v和橫擺角速度ω的自激振動極限環(huán)幅值有輕微增大的趨勢，車身側(cè)傾角φ的自激振動極限環(huán)幅值呈減小的趨勢，而自激振動的頻率基本不變。

(3)今后擬進(jìn)一步研究懸架參數(shù)與懸置參數(shù)匹配對系統(tǒng)Hopf分岔和車輛失穩(wěn)影響。

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Hopf Bifurcation Characteristics of Closed-loop System for Vehicle Handling Stability Considering the Effects of Suspension

Wei Daogao1, Li Lili1, Wang Peng1, Jiang Yibin1& Pan Zhijie2

1.SchoolofMechanicalandAutomotiveEngineering,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009; 2.ZhejiangGeelyAutomobileInstituteCo.,Ltd.,Hangzhou310052

Four-wheel-steering (4WS) system can improve the driving stability of vehicle in high speed cornering and ensure the easy handling of steering in low speed. For revealing the influence of suspension parameters on the Hopf bifurcation characteristics of 4WS vehicle in cornering driving, a driver-vehicle-road closed-loop dynamics model and a set of kinematic differential equations for a 4WS vehicle are established with consideration of the effects of suspension, and the effects of the location of vehicle mass center and the parameters of suspension on Hopf bifurcation characteristics are analyzed. The results show that as the mass center move rearward, the lateral speed and yaw rate of vehicle and the amplitudes of the self-excited roll vibration of vehicle body tend to increase. As the height of suspension roll center reduces, the amplitudes of self-excited roll vibration increase while the vibration amplitudes of lateral speed and yaw rate decrease. The increase of suspension stiffness can restrain self-excited roll vibration.

handling stability； closed-loop system； Hopf bifurcation； limit cycle

*國家自然科學(xué)基金(51375130和51050002)資助。

原稿收到日期為2014年4月1日，修改稿收到日期為2014年11月19日。