劉佳樂

（浙江海洋大學　數(shù)學系，浙江　舟山　316022）

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逆用四則運算法則求極限

劉佳樂

（浙江海洋大學數(shù)學系，浙江舟山316022）

摘要：通過對浙江大學為代表的幾所大學近幾年數(shù)學分析考研試題的研究，總結出試卷中一類特殊求極限題目的做法——利用傳統(tǒng)四則運算法則，從其結論出發(fā)，反推并求數(shù)列極限.

關鍵詞：極限；四則運算

1　數(shù)列極限的四則運算法則及其應用

極限作為高等數(shù)學中的一部分，它是解決微積分等一系列重要數(shù)學問題的前提，因此如何求極限成為一大基本問題.本文主要利用極限四則運算法則的逆向思維并結合一些其他方法，來解決考研試題中的一些中等偏上難度的題目，在給出它之前我們先回顧一下數(shù)列的四則運算法則.

定理若{an}與{bn}為收斂數(shù)列，則也都是收斂數(shù)列，且有

應用請看下例

通過對以上的定理及其應用，我們不難發(fā)現(xiàn)，如果要求的極限可以通過兩個數(shù)列的四則運算得到，并且這兩個數(shù)列極限都存在，那么我們就能輕易求出那個極限.

2　極限四則運算法則的逆用及一類題目的推廣

然而有些數(shù)列極限直接求不太容易，而我們又發(fā)現(xiàn)他跟某個極限存在的數(shù)列作四則運算法則后所得到的新數(shù)列的極限非常好求，對于這類題目，我們的做法就是逆著用極限四則運算法則,下面給出它具體的內容.

推論1若數(shù)列{xn}極限存在，且數(shù)列極限也存在，則數(shù)列{yn}極限存在，且

證明因為數(shù)列{xn}極限存在，而zn=xn+yn,由四則運算法則知數(shù)列{yn}極限存在，且，證畢！

對于減法，乘法和除法亦可類似定義，在此就不一一贅述了.

對以上兩題的解題思路做個小小的歸納，主要分三步：

1.觀察求極限式子，利用平常所積累的一些等價無窮小構造一個極限為0的式子.

2.利用歸結原則，將函數(shù)極限歸結為數(shù)列極限，再對上面極限為0的式子用ε-N語言敘述，將其變?yōu)椴坏仁剑缓笤賰啥诉M行連加求和來得到我們要求的極限式子.

3.運用一些其他求極限的法則，例如夾逼定理等來處理求和后的極限，最后逆用極限四則運算法則求出所要求的極限.（對此還不熟悉的同學可以試著做下面小試牛刀第2題）

細心的同學一定發(fā)現(xiàn)了，對于例2這類連乘求極限，我們的做法通常是利用對數(shù)來處理，將其化為累加求和來求極限，于是就變成了例1這種類型的題目了.

為了更好地理解以上題目的思路，來方便同學們解題，我們將其推廣，做到更一般化.

3　小結

當我們在做一些考研真題的時候，我們往往會碰到一些比較難的題目，而我們能想到的辦法往往是有限的，當我們這些辦法不足以解決問題時，如果再以此法一味的往下鉆，則必然會進入死胡同，相反，如果我們在好好揣摩一下我們想到的幾種可能的辦法，逆向思維，從反面入手，也許會有著意想不到的收獲.

參考文獻：

〔1〕錢吉林.數(shù)學分析題解題粹（第二版）[M].武漢：崇文書局，2011.11.

〔2〕裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法（第二版）[M].-高等教育出版社，2006.

收稿日期：2015-10-16

中圖分類號：O211.4

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）03-0005-02