梁 雄　賴國忠

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對稱性在電磁場方向判斷中的應(yīng)用

梁 雄賴國忠

摘 要：在求解電磁場問題中，往往都需要判明總電場或磁場的方向，才好根據(jù)電場或磁場分布特點(diǎn)選取相應(yīng)定理或定律來求解，分析常用的方法都是利用對稱位置上取電荷元和電流元，再利用電磁場的疊加原理判斷其方向.本文利用帶電體和載流導(dǎo)體的對稱性直接判斷電場方向，分析過程更加簡潔，不必涉及太多物理知識，這種分析方法對于初學(xué)電磁學(xué)的學(xué)生來說更加容易接受.

關(guān)鍵詞：對稱性電場方向磁場方向疊加原理高斯定理

1引言

對稱性分析在大學(xué)物理教學(xué)有著極其重要的地位[1]，有相當(dāng)多的文獻(xiàn)從不同角度來探討對稱性在求解電場和磁場中的應(yīng)用，有的文獻(xiàn)利用真矢量和膺矢量分析電磁場方向問題[2,3]，有的文獻(xiàn)將所研究對象分割成若干微元(電荷元和電流元)，再利用分布對稱性以及疊加原理分析出整體電場或磁場方向[4].應(yīng)用高斯定理抑或是應(yīng)用疊加原理來求解電場，都需要分析電場方向，應(yīng)用安培環(huán)路定理或畢奧-薩伐爾定律求解具有對稱性載流導(dǎo)體的磁場時，分析磁場方向也是必不可少的一個過程.本文直接從帶電體(載流導(dǎo)線)的對稱著手，結(jié)合矢量繞軸旋轉(zhuǎn)的變化規(guī)律分析出教材中幾個典型電磁場例子[5，6]在對稱軸上任意點(diǎn)的電場(磁場)方向.

2理論依據(jù)

將矢量A沿兩個方向——垂直軸線和平行于軸線分解，分解得到的分量分別記為A⊥和A//，如圖1(a)所示.如果將矢量A繞著轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過一個角度α，那么A//保持不變，而A⊥隨轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過相同角度α，因此旋轉(zhuǎn)后得到的矢量方向?qū)⒆兓?，即與旋轉(zhuǎn)前的矢量不等，圖1(b)給出了矢量A繞軸轉(zhuǎn)180°變成矢量A′這一情況，由此可推導(dǎo)出以下兩個結(jié)論.

結(jié)論1:當(dāng)且僅當(dāng)矢量垂直分量為零時，旋轉(zhuǎn)前后矢量保持不變.

結(jié)論2:當(dāng)平行分量為零，如果旋轉(zhuǎn)一個180°角時，旋轉(zhuǎn)后的矢量方向與旋轉(zhuǎn)前方向相反了.

圖1　矢量繞軸旋轉(zhuǎn)

3對稱載流導(dǎo)線的磁場方向

3.1對稱帶電體在其對稱軸上任一點(diǎn)的電場方向

利用這一特性并結(jié)合帶電體的對稱性就較容易判斷帶電體在空間某一點(diǎn)的電場方向.圖2給出大學(xué)物理教材中常提到的3種均勻帶電體——帶電球體(球面)、帶電圓環(huán)和帶電直導(dǎo)線，假定它們在對稱軸的方向如圖所示.現(xiàn)將它們繞著各自的對稱軸旋轉(zhuǎn)180°角，會發(fā)現(xiàn)電場方向發(fā)生了變化，但帶電體在旋轉(zhuǎn)前后其電荷分布并未發(fā)生改變，這就違背了電場的唯一性.因此要使得旋轉(zhuǎn)后的電場方向不變，按結(jié)論1可知：在它們的對稱軸上某點(diǎn)的電場方向只能沿著對稱軸方向.

在此基礎(chǔ)上可將上面3個例子的結(jié)論推廣為：如果帶電體存在一個軸，繞著這個軸旋轉(zhuǎn)某一角度(例如180°)后，電荷分布未發(fā)生變化，則在該軸上任意點(diǎn)的電場方向必定沿著軸線方向.

圖2　幾種典型帶電體的電場方向

3.2載流圓線圈在其軸線上某點(diǎn)的磁場方向

假設(shè)在載流圓線圈軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向如圖3所示，現(xiàn)將圓線圈繞其軸線轉(zhuǎn)過一個任意角度，發(fā)現(xiàn)電流分布未發(fā)生變化，該點(diǎn)處的磁場方向卻發(fā)生了改變，這違反了磁場方向的唯一性.因此根據(jù)結(jié)論1可知：載流圓線圈軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向一定沿著軸線方向.

圖3　載流圓線圈在其軸線上某點(diǎn)的磁場方向

3.3同軸電纜內(nèi)部磁場方向

圖4　同軸電纜內(nèi)部磁場分析流程用的橫截面示意圖

4結(jié)論

本文直接借用了矢量繞著某軸心旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，結(jié)合帶電體和載流導(dǎo)線的對稱性，使得對電場方向和磁場方向的分析更加快捷，由于不需太多的物理知識，對于學(xué)生也容易理解，對于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有一定的幫助.

參 考 文 獻(xiàn)

1陳熙謀,趙凱華.電磁學(xué)教學(xué)中對稱性分析的積極意義. 大學(xué)物理,2005,24(4): 3～5

2黃亦斌,聶義友.鏡象對稱性在電磁學(xué)中的應(yīng)用. 大學(xué)物理,2007, 26(10): 24～26

3劉國鈺.淺析對稱性分析在電磁學(xué)中的應(yīng)用.職業(yè)技術(shù)教育, 2013,34(2):48～50

4余仕成, 周金華. 載流長直螺線管和螺繞環(huán)的磁場對稱性分析. 武漢工程大學(xué)學(xué)報, 2010, 32(5):106～107

5馬文蔚, 周雨青, 解希順. 物理學(xué)教程(下冊)(第2版). 北京:高等教育出版社, 2006.1～93

6梁燦彬, 秦光戎, 梁竹健. 電磁學(xué)(第2版). 北京:高等教育出版社, 2004

7趙近芳,王登龍.大學(xué)物理學(xué)(下)(第4版).北京:北京郵電大學(xué)出版社,2014.1～88

(收稿日期：2015-11-06)

*作者簡介：梁雄(1976-)，男，講師，主要從事大學(xué)物理及其實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究.

(龍巖學(xué)院福建 龍巖364012)