唐娟娟（湖北省襄陽市襄陽五中實驗中學）

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時鐘表盤中角度問題探究

唐娟娟
（湖北省襄陽市襄陽五中實驗中學）

一、圓形時鐘鐘面

采取實物教具——圓形石英鐘

和同學們一起探討表盤中指針的夾角，通過演示可以明確知道，表盤給我們一個360°的周角形象。讓學生觀察時鐘表面結構可知：時針12小時轉(zhuǎn)表盤一圈，即旋轉(zhuǎn)了360°，所以時針1小時旋轉(zhuǎn)360°÷12=30°，就很容易得到時針1分鐘轉(zhuǎn)30°÷60=0.5°；而分針60分鐘轉(zhuǎn)一圈，所以分針1分鐘轉(zhuǎn)360°÷60=6°。我們經(jīng)過探究，得出結論，形成概念。

（1）表盤中共有12個數(shù)字，每兩個相鄰的數(shù)字中心線間的夾角是30°。

（2）表盤中分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，而時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°。

（3）在同一時間內(nèi)，分針是時針所轉(zhuǎn)度數(shù)的12倍。

利用這些關系就可以解決鐘表上的有關問題。

【例1】七點三十分時，鐘表上時針與分針的夾角是多少度？

分析：七點三十分時，分針指在6上，而時針指在7～8中間的位置，兩指針之間相距1.5個30°。所以，夾角度數(shù)為30°×1.5=45°。

二、探究數(shù)學模型

通過實物演示和學生一起建立了以下數(shù)學模型：

1.整點時間指針度數(shù)的計算

把鐘表指針撥向1點、3點、5點、6點時，學生能夠利用先前得到的結論很容易地算出用小時數(shù)乘以30°；這時，把指針指向7點，結果有許多學生把度數(shù)計算成210°，提示大家：時針與分針所夾的角是指小于180°的角，那么應怎樣計算呢？學生通過觀察討論認為用360°去減，算另外一側(cè)的角。由此得出數(shù)學模型：

令時間為a小時，則兩指針的夾角=a×30°或360°-a×30°。

2.非整點時間指針度數(shù)的計算

把鐘表指針撥到如圖，1點45分時的時針與分針之間的夾角是多少？

我們很容易地看到此時的夾角是分針與12點中心線的夾角減去時針與12點中心線夾角的差。那么如何計算這兩個夾角的度數(shù)呢？

分析：經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：分針12點中心線的夾角為45×6°，而時針與12點中心線夾角為1×30°加上45×0.5°，這樣兩度數(shù)相減就得到所求的結果；

把鐘表指針撥到4點15分，讓學生觀察時針與分針的夾角，我們能一眼看出此時的夾角度數(shù)是時針與12點中心線夾角度數(shù)減去分針與12點中心線的夾角度數(shù)，讓他們計算。提出假設：如果還用時針與12點中心線夾角度數(shù)減去分針與12點中心線的夾角度數(shù)行不行？

三、借助行程問題，化繁為簡

1.表盤上的相遇問題

導練：已知環(huán)形跑道長300米，甲乙兩人同時從起跑線同向起跑，兩人的速度分別為3米/秒和1米/秒，問他們何時首次相遇？

分析：此題是一道環(huán)形跑道同向而行的問題，出發(fā)時二人在同一起跑線上，到首次相遇時，雖然無法確定兩者各跑多少，但能知道兩人相遇時跑快者比跑慢者多跑一圈，由此得到等量關系：甲跑的路程-乙跑的路程=跑道的周長，指導學生進行解答。然后出示例題：

【例1】現(xiàn)在是12點，時針與分針是重疊的，問時針至少轉(zhuǎn)過多大角度時，兩針再次重疊？

分析：將表盤看做環(huán)形跑道，分針與時針看做跑步快慢的兩個人，同時同向從12點處出發(fā)，再相遇時就相當于分針比時針多走了一圈。這樣有準備題的啟發(fā)，學生很快得到了等量關系：

分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)-時針轉(zhuǎn)過的度數(shù)=360°

解：設時針至少轉(zhuǎn)過x°時針再次重疊。因為時針每分鐘走0.5°，所以，時針走x°用（）分，則分針在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)了〔6（）〕°，可列方程：6（）-x=360°

2.表盤上的追及問題

導練：甲乙兩人在環(huán)形跑道上進行短跑訓練，乙在甲前100米的位置上，已知甲、乙兩人的速度分別為3米/秒和1米/秒，起跑后，問甲用多長時間追上乙？

分析：這是一道追及問題，兩人在相同時間內(nèi)，甲跑的路程比乙跑的路程多100米，因此可以得到路程相等的等量關系：甲跑的路程-乙跑的路程=100。

【例2】某人晚上6點多鐘外出散步，此時分針與時針的夾角110°，回家時發(fā)現(xiàn)時間還未到7點，且時針與分針的夾角仍為110°，請你推算出此人外出了多長時間？

分析：分針相當于準備題中的甲，時針相當于準備題中的乙，外出前指針相差110°，就相當于兩人在跑道上相距100米，回家時兩指針還差110°，可想象為準備題中的甲在某一時刻超出乙100米的距離，這樣兩題中的類似地方是在相同的時間內(nèi)分針多走的角度相當于準備題中的甲比乙多走的路程。由此可得到兩指針角度相等的等量關系：110°+時針轉(zhuǎn)過的度數(shù)+110°=分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)。

可列方程：設此人外出了x分鐘。6x-0.5x=110×2 x=40答：此人外出了40分鐘。

·編輯謝尾合