孟盼,黃榕波,董健衛(wèi)

(廣東藥科大學(xué) 基礎(chǔ)學(xué)院,廣東 廣州 510006)

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兩房室錐體神經(jīng)元模型的分岔分析

孟盼,黃榕波,董健衛(wèi)

(廣東藥科大學(xué) 基礎(chǔ)學(xué)院,廣東 廣州 510006)

目的 研究具有電流反饋作用的兩房室錐體神經(jīng)元模型的分岔現(xiàn)象,主要考察兩房室連接強度對神經(jīng)元放電模式的影響。 方法 通過雙參數(shù)分岔分析及快慢動力學(xué)分析方法,揭示了神經(jīng)元的簇發(fā)模式產(chǎn)生及轉(zhuǎn)遷機制。 結(jié)果 根據(jù)快子系統(tǒng)的余維-2分岔點,可以將系統(tǒng)的簇發(fā)行為分為3類,即“subHopf/subHopf” 型、“subHopf/homoclinic” 型以及 “fold/homoclinic” 型簇模式。 結(jié)論 外界激勵和兩房室之間的連接電導(dǎo)對神經(jīng)元的動力學(xué)行為有著重要影響。

錐體神經(jīng)元; 電流反饋; 簇模式; 快慢動力學(xué)分析; 分岔

神經(jīng)系統(tǒng)是由數(shù)量眾多的神經(jīng)元組成的龐大而復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò),它通過神經(jīng)元的放電活動傳遞信息[1]。 神經(jīng)元放電模式主要包括峰放電和簇放電。 已有研究表明,和單個峰放電相比,簇放電更加可靠[2],并且它對神經(jīng)信息編碼和傳遞等有著非常的意義[3],因此簇模式是極為重要的放電形式。許多神經(jīng)元,如錐體神經(jīng)元[4]、呼吸神經(jīng)元[5]、丘腦神經(jīng)元[6]等都可以呈現(xiàn)不同類型的簇放電模式。簇放電模式的動力學(xué)行為可表現(xiàn)為靜息態(tài)與反復(fù)放電狀態(tài)的相互轉(zhuǎn)遷。簇模式種類繁多,利用快慢動力學(xué)分析來考察簇放電的靜息態(tài)和放電狀態(tài)之間的分岔,并依此給出簇模式的拓撲類型,是理解簇振蕩產(chǎn)生機理的主要方法[7]。

錐體神經(jīng)元是位于大腦皮層、扁桃體和海馬中的一類神經(jīng)元,在確定性的信號傳遞和突觸可塑性等方面有著重要的功能作用[8]。本文針對改進后的錐體神經(jīng)元雙房室模型進行研究,從非線性動力學(xué)角度對模型所產(chǎn)生的復(fù)雜簇發(fā)放進行詳細的分析,討論兩房室連接強度這一生理參數(shù)對神經(jīng)元簇模式的影響,分析結(jié)果可幫助我們進一步理解錐體神經(jīng)元動作電位簇模式中所蘊含的豐富的發(fā)放模式和節(jié)律編碼。

1 兩房室錐體神經(jīng)元模型簡介

錐體神經(jīng)元,由胞體(soma)和樹突(dendrite)兩個房室構(gòu)成,如圖1所示。模型描述如[9]:

(1)

(2)

(3)

其中門控函數(shù)為:

somadendriteIDIDLISISLIKINagcIDS

圖1 兩房室錐體神經(jīng)元模型
Figure 1 Two-compartment neural model

這里方程(1)和(3)分別描述了胞體膜電壓VS和樹突膜電壓VD的動力學(xué)行為,其中胞體房室的電流包含了胞體的突觸輸入電流IS、樹突流向胞體的內(nèi)部電流IDS、外向鈉離子電流INa、外向鉀離子電流IK和泄漏電流ISL; 樹突房室的電流則相對簡單,僅包含3項,分別為樹突的突觸輸入電流ID、樹突流向胞體的內(nèi)部電流IDS和泄漏電流IDL。各離子電流表達式為:INa=gNam(VS)(VS-ENa),IK=gKw(VS-EK),ISL=gSL(VS-ESL),IDS=gc(VD-VS)。ENa和EK分別為鈉離子和鉀離子的逆電位;ESL和EDL分別為胞體和樹突膜上泄漏電流的靜息膜電位;gNa、gK、gSL和gDL分別代表各通道的最大電導(dǎo);gc表示兩房室連接強度;C表示膜電容;IS和ID分別為胞體和樹突的突觸輸入電流;p和1-p分別表示胞體和樹突所占的面積比例。方程(2)為鉀離子通道打開概率w的表達式,φ表示溫度影響因子。值得注意的是,這個模型只能產(chǎn)生靜息和連續(xù)峰放電這兩種狀態(tài)[5]。為了描述錐體神經(jīng)元的簇發(fā)放模式,將方程(1)中的IS改寫為線性負反饋的動力學(xué)方程

(4)

這里ε是時間尺度因子,取其為很小的正數(shù)以保證IS的慢變性,因此胞體突觸輸入電流IS的變化要比其他變量慢很多。故整個系統(tǒng)(1)～(4)可分為快子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng),快子系統(tǒng)由方程(1)～(3)構(gòu)成,其中取IS作為慢變量。本文主要考慮兩房室連接電導(dǎo)gc對錐體神經(jīng)元放電模式的影響。其他參數(shù)取值為:ε=0.03,gNa=50,gK=15,gSL=2,gDL=2,p=0.331,ENa=50,EK=-100,ESL=-70,EDL=-70,Φ=0.23,C=2,v0=-22,v1=1.2,v2=18,v3=10,v4=6。

2 結(jié)果與分析

為了研究上述兩房室神經(jīng)元模型的動力學(xué)行為,我們在平面(IS,gc)上考慮快子系統(tǒng)(1)～(3)的余維-2分岔圖2。其中余維-1分岔曲線包括平衡點的兩條鞍結(jié)分岔曲線(f1，f2),subHopf分岔曲線(h),同宿軌分岔曲線(hc),以及倍極限環(huán)分岔曲線(lc)。余維-2分岔點除了Bogdanov-Takens分岔點BT (fold分岔曲線f2和同宿軌分岔曲線hc相切的點)外， 還有fold分岔曲線f2和極限環(huán)鞍結(jié)分岔曲線lc的交點A,同宿軌分岔曲線hc和subHopf分岔曲線h的交點B 以及這兩條曲線相切的點C。 下面我們結(jié)合圖2,來說明隨著耦合強度gc的增加,全系統(tǒng)可以產(chǎn)生3種不同的簇模式,分別為 “subHopf/subHopf” 型簇振蕩(type 1)、“suHopf/homoclinic”型簇振蕩(type 2)、"fold/homoclinic" 型簇振蕩(type 3),并且指出2個余維-2分岔點A和B在這3種簇模式轉(zhuǎn)遷中所起的作用。

14121086420-2gctype3type2type1100500-50-100-150ISBT(a)hchlcf1f2(b)(c)

圖2 (IS,gc)平面上的雙參數(shù)分岔曲線圖

Figure 2 Bifurcation curves on(IS，gc)-parametric plane for the fast subsystem(1)-(3)

2.1 "subHopf/subHopf" 型簇振蕩

當(dāng)控制參數(shù)gc的取值小于余維-2分岔點B的縱坐標(biāo)時,例如gc=1,系統(tǒng)產(chǎn)生簇放電模式,如圖3(a)所示。圖3(b)是相應(yīng)的快慢動力學(xué)分析。數(shù)值計算表明平衡點的分岔曲線是一條S形曲線。其中,S形曲線的上支分別是由穩(wěn)定焦點(實線)和不穩(wěn)定焦點(虛線)組成; 中支是由鞍點(虛線)組成; 而下支是由穩(wěn)定結(jié)點(實線)組成。在圖1中,我們沿著直線gc=1從左到右即慢變量gc增加的方向移動,可以看出,快子系統(tǒng)依次經(jīng)過平衡點的鞍結(jié)分岔曲線f1、subHopf分岔曲線h、同宿軌分岔hc,最后是鞍結(jié)分岔曲線f2,相應(yīng)的在圖2(b)中分別表示為F1、H、HC 和F2. 快子系統(tǒng)經(jīng)由subHopf分岔H產(chǎn)生一個不穩(wěn)定的極限環(huán)并經(jīng)由同宿軌分岔HC而消失。

500-50-100Vs100150200250050tHHCF1F2500-50-150Is(a)(b)

圖3 (a)當(dāng)gc=1時,“subHopf/subHopf” 型簇放電模式;(b) 快慢動力學(xué)分岔分析

Figure 3 (a) Bursting pattern of "Hopf/Hopf" type withgc=1 and(b) the fast-slow dynamics of the fast subsystem

我們將全系統(tǒng)的軌線疊加在快子系統(tǒng)的分岔圖上來解釋這種簇模式產(chǎn)生的機理。軌線沿著S形曲線的下支向右移動經(jīng)由平衡點的鞍結(jié)分岔F2躍遷至上支的穩(wěn)定焦點上,因此靜息態(tài)轉(zhuǎn)遷到放電狀態(tài)的分岔是點H處的subHopf分岔。由于穩(wěn)定焦點的吸引性,軌線圍繞S形曲線的上支運動，并收斂到上支的穩(wěn)定焦點。之后,軌線穿過subHopf分岔點H到達S形曲線上支的不穩(wěn)定焦點。由不穩(wěn)定焦點的特性,軌線先沿著不穩(wěn)定上支運動,并最終回到S形曲線的下支。因此放電狀態(tài)轉(zhuǎn)遷到靜息狀態(tài)的分岔也是點H處的subHopf分岔,根據(jù)簇模式的分類,這種簇振蕩為“subHopf/subHopf”型簇振蕩[7]。

2.2 "suHopf/homoclinic" 型簇振蕩

當(dāng)控制參數(shù)gc位于2個余維-2分岔點A和B的縱坐標(biāo)之間時,從圖2可以看出,現(xiàn)在快子系統(tǒng)經(jīng)過了極限環(huán)的鞍結(jié)分岔曲線lc,因此快子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化,所以系統(tǒng)會產(chǎn)生不同的放電模式。我們以gc=3為例進行說明,圖4(a)和圖4(b)為時間序列圖和相應(yīng)的快慢動力學(xué)分析。

40200-20-40-60-80100150200250050t500-50-150Is100HCHF1F2LP(b)(a)Vs

圖4 (a)當(dāng)gc=3時,“sub Hopf/homoclinic” 型簇放電模式;(b) 快慢動力學(xué)分岔分析

Figure 4 (a) Bursting pattern of "Hopf/homoclinic" type withgc=3 and(b) the fast-slow dynamics of the fast subsystem

可以看出,靜息態(tài)同樣經(jīng)由subHopf分岔H轉(zhuǎn)遷到放電狀態(tài),這一點和前面簇模式產(chǎn)生的機理相同。注意到現(xiàn)在上支的subHopf分岔H產(chǎn)生的不穩(wěn)定極限環(huán)經(jīng)過極限環(huán)的鞍結(jié)分岔LC轉(zhuǎn)為穩(wěn)定的極限環(huán),繼而穩(wěn)定極限環(huán)碰到S形分岔曲線的中支,從而產(chǎn)生同宿軌分岔HC。但由于慢變效應(yīng)的作用[8],系統(tǒng)軌線并不是立即跳躍到S形曲線下支,而是先繞著穩(wěn)定極限環(huán)運動,再經(jīng)由同宿軌分岔HC返回到靜息態(tài),因此這種簇振蕩為 “subHopf/homoclinic”型簇振蕩[7]。我們注意到正是余維-2分岔點B誘導(dǎo)這種簇模式的產(chǎn)生。

HCHLCF1F2100150200250050t500-50-150Is10040200-20-40-60-80(b)(a)Vs

圖5 (a)當(dāng)gc=5時,“fold/homoclinic” 型簇放電模式; (b) 快慢動力學(xué)分岔分析

Figure 5 (a) Bursting pattern of "fold/homoclinic" type withgc=1 and(b) the fast-slow dynamics of the fast subsystem

2.3 "fold/homoclinic" 型簇振蕩

當(dāng)控制參數(shù)gc的取值大于余維-2分岔點A的縱坐標(biāo)時,例如gc=5時,錐體神經(jīng)元產(chǎn)生圖5(a)所示的簇放電模式,進一步,我們通過圖5(b)的快慢動力學(xué)分析來研究這種簇模式的類型和動力學(xué)性質(zhì)。和圖4(b)相比,快子系統(tǒng)先經(jīng)過極限環(huán)的鞍結(jié)分岔LC,然后再經(jīng)過平衡點的鞍結(jié)分岔F2。因此當(dāng)系統(tǒng)軌線沿著S形曲線的下支向右運動經(jīng)過平衡點的鞍結(jié)分岔F2向上跳躍時,由于這時穩(wěn)定極限環(huán)已經(jīng)產(chǎn)生,所以軌線跳躍到穩(wěn)定極限環(huán)而不是穩(wěn)定焦點,故靜息態(tài)到放電狀態(tài)的分岔是點F2處的鞍結(jié)分岔。軌線繞著穩(wěn)定極限環(huán)運動,最后經(jīng)由同宿軌分岔而轉(zhuǎn)遷到S形曲線的下支,這意味著簇振蕩放電狀態(tài)的結(jié)束。這種簇振蕩為“fold/homoclinic” 型簇振蕩[7],也稱為方波簇振蕩。這里余維-2分岔點A在由 “subHopf/Homoclinic” 型簇振蕩轉(zhuǎn)遷到 “fold/homoclinic” 型簇振蕩中發(fā)揮了關(guān)鍵作用。

3 結(jié)論

本文針對具有電流反饋的兩房室錐體神經(jīng)元模型,深入探討了外界激勵和兩房室連接電導(dǎo)對簇模式的影響。我們利用快子系統(tǒng)的余維-2分岔分析揭示了系統(tǒng)可以表現(xiàn)出3種截然不同的簇模式,分別是:“subHopf/subHopf” 型、“subHopf/homoclinic” 型和 “fold/homoclinic” 型簇模式,并且解釋了這些簇模式之間轉(zhuǎn)遷的動力學(xué)機理。分析系統(tǒng)不同的簇振蕩模式是重要的,因為不同的簇模式反應(yīng)不同生物信息的相應(yīng)編碼。結(jié)果表明兩房室之間連接強度的變化可以導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生復(fù)雜的簇模式行為。數(shù)值結(jié)果為進一步理解錐體神經(jīng)元電位發(fā)放模式和信息編碼提供了幫助。

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(責(zé)任編輯：王昌棟)

Bifurcation analysis of the two-compartment pyramidal neuron model

MENG Pan,HUANG Rongbo,DONG Jianwei

(SchoolofBasicCourses,GuangdongPharmaceuticalUniversity,Guangzhou510006,China)

Objective To investigate the bifurcation phenomena of a two-compartment pyramidal neuron model with current feedback control,and examine the effect of the coupling strength on the firing pattern. Methods Based on the two-parameter bifurcation analysis and fast-slow dynamics,the generation and transition mechanism of bursting was explored. Results Numerical simulation revealed that,according to the codimension-2 bifurcation points,the bursting pattern could be divided into three types,including "subHopf/subHopf" type,"subHopf/homoclinic" type and "fold/homoclinic" type. Conclusion Both of the outside stimulus and the coupling conductance may play an important role in neuron activities.

pyramidal neuron; current feedback; bursting; fast-slow analysis; bifurcation

2016-05-12

國家自然科學(xué)基金項目(11402057); 廣東省普通高校青年創(chuàng)新人才項目(2014KQNCX137)

孟盼(1981—),女,博士,講師,主要從事神經(jīng)動力學(xué)研究,Email:mengpan200e@163.com。

時間：2016-09-20 15:32

http://www.cnki.net/kcms/detail/44.1413.R.20160920.1532.001.html

R338.1

A

1006-8783(2016)05-0654-04

10.16809/j.cnki.1006-8783.2016051202