☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué)　蔡映紅

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一題一課：從基礎(chǔ)知識(shí)走向數(shù)學(xué)思想——以“函數(shù)視角下的一元二次方程”專(zhuān)題復(fù)習(xí)為例

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué)蔡映紅

臨近中考，教師教和學(xué)生學(xué)的時(shí)間都非常緊.要想在短期內(nèi)提升學(xué)生的認(rèn)知水平，教師就必須從“茫茫題海”中精挑細(xì)選，選擇出合適的題目作為例題原型，通過(guò)適度改編呈現(xiàn)出符合學(xué)生認(rèn)知需求和認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)活動(dòng).在二輪復(fù)習(xí)中，筆者所在的九年級(jí)備課組就進(jìn)行了這樣的嘗試.我們采用“一題一課”的形式選擇和設(shè)計(jì)例題，以一道綜合性較強(qiáng)的例題承載多種基礎(chǔ)知識(shí)，教學(xué)過(guò)程就是由基礎(chǔ)知識(shí)的梳理開(kāi)始，并逐步過(guò)渡到數(shù)學(xué)思想方法的歸納提升.在“一題一課”實(shí)施過(guò)程中，取得了一定的成效，當(dāng)然也存在著這樣那樣的問(wèn)題.現(xiàn)結(jié)合“函數(shù)視角下的一元二次方程”專(zhuān)題復(fù)習(xí)課的例題教學(xué)談?wù)劰P者的做法及思考，希望對(duì)您有所幫助.

一、例題分析

例題關(guān)于x的一元二次方程mx2-（4m+1）x+3m+3= 0的兩實(shí)根分別為x1，x2，n=x1-x2-2，設(shè)A（1，a），B（b，2）兩點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)P（m，n）所形成的曲線上，求直線AB的解析式.

簡(jiǎn)析：本題以一元二次方程為載體，將代數(shù)式化簡(jiǎn)與待定系數(shù)法融入其中，考查了一元二次方程的解法（根與系數(shù)的關(guān)系）、代數(shù)式的化簡(jiǎn)、待定系數(shù)法、二元一次方程（組）的解法等知識(shí)點(diǎn)，涉及分類(lèi)討論、模型、化歸等數(shù)學(xué)思想，這些知識(shí)都是初中學(xué)段的核心知識(shí).這些知識(shí)點(diǎn)的組合，自然合理，是學(xué)生認(rèn)知的自然延伸.解題時(shí)，應(yīng)緊扣一元二次方程的基礎(chǔ)知識(shí)和代數(shù)式的恒等變形，充分應(yīng)用分類(lèi)討論思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想，力求將函數(shù)問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題.本題的條件環(huán)環(huán)相扣，緊密鏈接，抓住了函數(shù)問(wèn)題與代數(shù)知識(shí)的聯(lián)系，有效拓展了學(xué)生的思維空間，提高對(duì)知識(shí)的遷移與應(yīng)用能力，對(duì)日常教學(xué)有很好的指導(dǎo)與引領(lǐng)作用.

二、教學(xué)簡(jiǎn)錄及分析

1.審題指導(dǎo)

教師呈現(xiàn)例題，讓學(xué)生認(rèn)真讀題，將重要的條件畫(huà)下來(lái)，并思考這些條件在解題中有什么作用.

（學(xué)生讀題，并在試題上做標(biāo)記）

學(xué)生1：我標(biāo)記的是“一元二次方程mx2-（4m+1）x+ 3m+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2”.

教師：是的，這個(gè)一元二次方程就是這道試題的背景，在這個(gè)背景之上又生成了哪些條件呢？

學(xué)生2：兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2；n=x1-x2-2.

學(xué)生3：動(dòng)點(diǎn)P（m，n）形成的曲線；點(diǎn)A（1，a），B（b，2）在曲線上.

教師：要我們求什么呢？

學(xué)生（齊）：直線AB的解析式.（教師板書(shū)）

簡(jiǎn)析：直接從題目中抽取條件和結(jié)論是學(xué)生審題的第一步，也是最關(guān)鍵的一步.教師讓學(xué)生初讀例題，并適當(dāng)標(biāo)記，意在培養(yǎng)學(xué)生獲取題目信息的能力和習(xí)慣.

2.思路分析

教師：題目中是否有隱性條件呢？

學(xué)生4：點(diǎn)P（m，n）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成了曲線，所以，縱坐標(biāo)n和橫坐標(biāo)m之間具備函數(shù)關(guān)系.

教師：抓住哪些條件可以讓它“現(xiàn)身”呢？

學(xué)生5：一元二次方程mx2-（4m+1）x+3m+3=0和n= x1-x2-2.（板書(shū)）

教師：怎么做？

學(xué)生6：我想直接解這個(gè)方程，求出x1，x2，再代入到n=x1-x2-2中就行了.

教師：怎么解這個(gè)方程呢？

學(xué)生7：用求根公式求出x1，x2.

教師：有其他求法嗎？

學(xué)生8：因式分解法.

教師：非常棒！告訴老師你的答案.

學(xué)生9：老師，根據(jù)條件“n=x1-x2-2”，完全可以不解這個(gè)方程，用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

教師：好的，你說(shuō)說(shuō)看！

教師：看來(lái)利用根與系數(shù)的關(guān)系，也可以將n與m關(guān)聯(lián)起來(lái).題目中還有其他隱含條件嗎？

學(xué)生10：“A（1，a），B（b，2）兩點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)P（m，n）所形成的曲線上”，告訴我們“當(dāng)m=1時(shí)，n=a；當(dāng)m=b時(shí)，n=2”.

教師：這對(duì)我們解題有用嗎？

學(xué)生11：根據(jù)這個(gè)條件我們可以求出a、b的值，這樣就得到了點(diǎn)A、B的坐標(biāo)了！

教師：根據(jù)剛剛的分析，該從哪里下手呢？

學(xué)生12：點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（板書(shū)）.

教師：怎么求這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)呢？

學(xué)生13：抓住“當(dāng)m=1時(shí)，n=a；當(dāng)m=b時(shí)，n=2”這個(gè)隱含條件，利用我們得出的n與m的函數(shù)關(guān)系式，就行了?。ń處煱鍟?shū)：n與m的函數(shù)關(guān)系式）

教師：很好，這樣一來(lái)，又回到了我們剛才的思路上來(lái)了.你們得出這道試題的解題思路了嗎？

（畫(huà)出箭頭，完成圖1中的板書(shū)）

圖1

教師：接下來(lái)，就請(qǐng)同學(xué)們按照剛剛探究出的解題思路，完成這道試題的解答.

簡(jiǎn)析：分析問(wèn)題是解決問(wèn)題的前提.教師從例題的隱性條件分析入手，圍繞條件和結(jié)論展開(kāi)綜合分析，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的基本途徑.通過(guò)若干個(gè)知識(shí)的簡(jiǎn)單串聯(lián)，最終形成了完整的知識(shí)應(yīng)用和問(wèn)題解決的鏈接.

3.解法講評(píng)

15分鐘后，教師結(jié)合學(xué)生的部分過(guò)程進(jìn)行解法講評(píng).

投影一名學(xué)生的部分解題過(guò)程（下稱(chēng)解法1），如圖2.

圖2

教師：這里為何不按照平常的“x1=…，x2=…”寫(xiě)解呢？

學(xué)生14：說(shuō)不清誰(shuí)是x1，誰(shuí)是x2.

教師：那該怎么辦呢？

學(xué)生15：對(duì)這兩個(gè)解分類(lèi)討論！

教師：很好！怎么分？

教師：說(shuō)得真好！在這兩種情形下，我們?cè)撛趺唇饽?？（投影一名學(xué)生給出的完整、規(guī)范的過(guò)程，并進(jìn)行簡(jiǎn)單點(diǎn)評(píng)）

教師：還有其他解法嗎？

（投影學(xué)生的另外兩種解法，這里只呈現(xiàn)不同解法部分的解題過(guò)程）

簡(jiǎn)析：解法講評(píng)是復(fù)習(xí)教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，在學(xué)生自主解答結(jié)束后，教師提出“為什么要分類(lèi)”，“怎么分”，“怎么解”，“還有其他解法嗎”等一系列問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生漸進(jìn)呈現(xiàn)、積極展示，多樣的解題過(guò)程不僅豐富了學(xué)生的求解思路，而且對(duì)學(xué)生的解法的優(yōu)選與優(yōu)化也是非常有利的.

4.總結(jié)提升

教師：在剛才的求解中我們用到了哪些知識(shí)？

學(xué)生16：求AB的解析式用的是“待定系數(shù)法”，求x1，x2用的是因式分解法.

學(xué)生17：解這個(gè)方程我用的是公式法.

學(xué)生18：我沒(méi)有解方程，直接用根與系數(shù)的關(guān)系將n=x1-x2-2轉(zhuǎn)化成只含有n、m的式子.

教師：看來(lái)，這道題目給出的方程是解題繞不開(kāi)的“坎”，將方程中的條件轉(zhuǎn)化到n=x1-x2-2中去，是我們解題的關(guān)鍵.這種轉(zhuǎn)化思想在本題中得到了很好的應(yīng)用，除此之外，本題中還用到了哪些數(shù)學(xué)思想呢？

學(xué)生19：分類(lèi)討論.

教師：對(duì)！與轉(zhuǎn)化一樣，分類(lèi)討論思想是初中的核心數(shù)學(xué)思想，在問(wèn)題解決中有著非常廣泛的應(yīng)用.

學(xué)生20：還用到了函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想.

教師：對(duì)！我們從題中可以抽象出“n與m是一種函數(shù)關(guān)系”，點(diǎn)P（m，n）所形成的曲線正是這個(gè)函數(shù)的圖像.

教師：非常棒！從這樣一道小題中，我們挖掘出如此豐富的“思想內(nèi)涵”，看來(lái)，我們的探索與交流是值得的！

簡(jiǎn)析：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)留給學(xué)生最后的財(cái)富，是與學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)生活息息相關(guān)的數(shù)學(xué)核心知識(shí).因此，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的最重要的內(nèi)容之一.為了讓學(xué)生知曉這些核心知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，教者引導(dǎo)學(xué)生回顧解題與交流過(guò)程，不僅梳理了用到的基礎(chǔ)知識(shí)，還將所涉及的數(shù)學(xué)思想一并明晰.在例題教學(xué)的末端，這樣的歸納總結(jié)是十分必要的.

三、三點(diǎn)思考

1.精選細(xì)磨，關(guān)注例題的質(zhì)量

從上面的例題教學(xué)不難看出，“一題一課”對(duì)例題的要求還是很高的.首先，例題所蘊(yùn)含的知識(shí)要是數(shù)學(xué)的核心知識(shí)（主干知識(shí)）；其次，知識(shí)的含量應(yīng)該比較大，或者知識(shí)的延展性應(yīng)該較強(qiáng)，能進(jìn)行必要的拓展；還有，例題所包含的知識(shí)種類(lèi)也應(yīng)是多樣的，既要有基礎(chǔ)知識(shí)，又要有基本技能和基本數(shù)學(xué)思想.所以，我們應(yīng)學(xué)會(huì)精挑細(xì)選，學(xué)會(huì)從眾多的考題、經(jīng)典試題中挑選出符合上述要求的題目出來(lái).當(dāng)然，對(duì)所選題目進(jìn)行必要的打磨還是不可缺少的.例題打磨的主要任務(wù)是將選擇的題目與課時(shí)目標(biāo)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，剔除無(wú)關(guān)的考點(diǎn)，增加核心考點(diǎn)，從而保證最終呈現(xiàn)出的例題具有很高的“含金量”.

2.合理設(shè)計(jì)，提升教學(xué)的效度

想要上好一節(jié)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，不僅要選擇與打磨例題，還應(yīng)對(duì)例題的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行精心設(shè)計(jì).“一題一課”不能因?yàn)槔}少而讓某一應(yīng)有環(huán)節(jié)缺失，為了達(dá)成“做一題，得一法，會(huì)一類(lèi)，通一片”的目標(biāo)，在中考二輪復(fù)習(xí)課上，我們一般以一道例題為載體，開(kāi)展一次詳實(shí)分析，組織一次獨(dú)立練習(xí)，進(jìn)行一次有效講評(píng)，完成一次深度小結(jié).整個(gè)教學(xué)過(guò)程，學(xué)生應(yīng)是活動(dòng)的主體，教師應(yīng)以問(wèn)題（組）引領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)探索與交流，努力將能力的形成建構(gòu)在知識(shí)的梳理之上，通過(guò)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化推動(dòng)學(xué)生問(wèn)題解決能力的提升.所以，在形成教學(xué)例題后，應(yīng)對(duì)教學(xué)例題進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，找出例題教學(xué)的最佳“切入點(diǎn)”，形成知能提升的適合“爆發(fā)點(diǎn)”，以實(shí)現(xiàn)例題教學(xué)效益的最大化.

3.指向核心，確保復(fù)習(xí)的方向

數(shù)學(xué)核心知識(shí)是學(xué)生問(wèn)題解決應(yīng)用最多的知識(shí)，也是教師在課堂教學(xué)中應(yīng)高度關(guān)注的知識(shí).這些知識(shí)不只是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，還包括很多的隱性知識(shí)，比如一些重要的數(shù)學(xué)思想，以及那些來(lái)自于學(xué)生生活與學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這些都是潛移默化中影響著學(xué)生成長(zhǎng)的知識(shí).在課堂上，這些知識(shí)的出鏡率應(yīng)該是最高的，無(wú)論是學(xué)生的探索，還是全班的交流，抑或是教師的點(diǎn)評(píng)，都應(yīng)以這些知識(shí)為話題，讓它們真正走上前臺(tái)，成為教學(xué)的主角.只有這樣，我們才能讓核心知識(shí)的價(jià)值落在實(shí)處，也只有這樣，才能保證我們的復(fù)習(xí)方向準(zhǔn)確，成效顯著.