☉江蘇省如東縣豐利中學(xué)　桑圣美

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在“遺留問題”牽引下探索新知——以“三角形中位線”新授課教學(xué)為例

☉江蘇省如東縣豐利中學(xué)桑圣美

近兩年《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）刊發(fā)了很多關(guān)于專家教師李庾南老師課例賞析的研究文章，通過老師們對(duì)李老師課例的完整再現(xiàn)與跟進(jìn)賞析，使得我們以讀刊這種方式親近了專家教師的課堂，收益甚大.特別在李老師諸多課例的課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我們注意到李老師多是以一種貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)引入新課，而少用生活現(xiàn)實(shí)來(lái)引入新課.這也啟發(fā)我們對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)引入新課的思考和實(shí)踐，近期筆者有機(jī)會(huì)在一次教研活動(dòng)中執(zhí)教“三角形中位線”一課，就選擇了數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)作為一種情境導(dǎo)入，也取得了較好的教學(xué)效果，本文記錄這次研討活動(dòng)的過程，首先，課前對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析，然后，對(duì)教學(xué)流程進(jìn)行概述，最后，從整體上提出三點(diǎn)思考，提供研討.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

我們知道，平面圖形中，三角形是最簡(jiǎn)單的，圓是最完美的.于是，平面幾何中研究三角形有奠基作用.而得到三角形的性質(zhì)之后，更重要的是讓學(xué)生積累研究幾何圖形的一個(gè)范式——研究其他幾何對(duì)象都可以循著這樣的思路展開，同時(shí)還得到了一個(gè)“工具”，因?yàn)槲覀兺鶗?huì)利用三角形的性質(zhì)去分析其他幾何圖形的性質(zhì).比如，以三角形的要素（三條邊、三個(gè)內(nèi)角）、相關(guān)要素（高、中線、角平分線、外角等）及幾何量（邊長(zhǎng)、角度、面積等）之間的相互關(guān)系為基本問題，從“形狀、大小和位置關(guān)系”等角度展開研究.

那么本文要探討的三角形中位線在初中教材中多是安排在平行四邊形一章之中學(xué)習(xí)，為什么在前面學(xué)習(xí)三角形時(shí)沒有順便學(xué)習(xí)呢？再往回溯源，在圖形初步一章中，曾有幾何習(xí)題安排學(xué)生畫出任意四邊形的四邊中點(diǎn)，并度量得到的“中點(diǎn)四邊形”四邊的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，可當(dāng)時(shí)只是停留在操作、度量、猜想階段，還沒有給出推理.正是基于上述認(rèn)識(shí)，我們選擇從七年級(jí)那個(gè)“中點(diǎn)四邊形”的操作度量問題引入新課，將問題轉(zhuǎn)化到研究三角形中位線，并成功解決中點(diǎn)四邊形這個(gè)“遺留問題”，并進(jìn)一步嘗試進(jìn)攻另一個(gè)“遺留問題”：三角形三邊中線交于一點(diǎn)！整節(jié)課就在這兩個(gè)難題的牽引下有序推進(jìn)、展開教學(xué).

二、教學(xué)流程概述

教學(xué)環(huán)節(jié)1.回顧“遺留問題1”，引出新知

遺留問題1：如圖1，取四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)為E、F、G、H，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE.稱四邊形EFGH為“中點(diǎn)四邊形”.

圖1

圖2

通過度量“中點(diǎn)四邊形”的四邊的長(zhǎng)，量出∠1、∠2、∠3、∠4的度數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)意圖：這是七年級(jí)上冊(cè)圖形初步時(shí)復(fù)習(xí)題中一道經(jīng)典習(xí)題，它提示了一個(gè)奇異性質(zhì)：不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形.我們已學(xué)到了平行四邊形這一章，現(xiàn)在是不是能解決這個(gè)問題呢？（學(xué)生獨(dú)立思考2分鐘后，估計(jì)還是不能有效突破）

教學(xué)環(huán)節(jié)2.探究三角形中位線性質(zhì)，即時(shí)運(yùn)用

圖3

圖4

給出三角形中位線定理的文字語(yǔ)言、符號(hào)表達(dá)，便于學(xué)生推證.接著安排學(xué)生完成“遺留問題1”的證明，并展示學(xué)生的解答.

練習(xí)：求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.

預(yù)設(shè)意圖：通過這個(gè)文字命題證明的練習(xí)，需要學(xué)生畫圖、寫已知、求證.反饋學(xué)生對(duì)中位線的認(rèn)識(shí)，對(duì)中位線性質(zhì)定理的即時(shí)運(yùn)用.

教學(xué)環(huán)節(jié)3.展現(xiàn)“遺留問題2”，破解難題

本課之初，我們回顧了七年級(jí)畫圖度量時(shí)發(fā)現(xiàn)的中點(diǎn)四邊形的奇異性質(zhì)，通過轉(zhuǎn)化為三角形中位線性質(zhì)成功解決了這個(gè)“遺留問題”，其實(shí)幾何學(xué)習(xí)之路上，還有很多遺留問題，比如，三角形的三條中線交于一點(diǎn)，就是又一個(gè)奇異性質(zhì)，我們也一直沒有給出有力的證明.現(xiàn)在就讓我們?cè)俳釉賲?，一起破解這個(gè)難題吧.

遺留問題2：證明三角形三條中線交于一點(diǎn).

（學(xué)生獨(dú)立思考2分鐘后，已完成草圖分析，但估計(jì)不會(huì)有進(jìn)展）

預(yù)設(shè)啟發(fā)：大家都證明過三角形三條角平分線交于一點(diǎn)吧，當(dāng)時(shí)是如何證明的呢？（預(yù)設(shè)學(xué)生解答：先作兩條角平分線交于一點(diǎn)，再證這個(gè)點(diǎn)也在第三條角平分線上）我們是不是也可以順著這樣思考，先作兩條中線交于一點(diǎn)，然后設(shè)法證明第三條中線也會(huì)交于這一點(diǎn)呢？如圖5，設(shè)△ABC的中線AD、BE交于點(diǎn)Q，度量一下QD、AQ的長(zhǎng)；再度量一下EQ、BQ的長(zhǎng)，看看它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（預(yù)設(shè)AQ=2DQ，BQ=2EQ）如何證明呢？

圖5

圖6

預(yù)設(shè)：根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，至少有一半的學(xué)生理解上述思路有困難，這里適當(dāng)安排優(yōu)秀學(xué)生復(fù)述思路，為暫時(shí)沒有跟上理解的學(xué)生提供理解的時(shí)間.

講解：我們?yōu)榱俗C明三條中線交于一點(diǎn)，卻舍近求遠(yuǎn)，證出了兩條中線交點(diǎn)的一個(gè)性質(zhì)，這是為什么？其實(shí)我們已很接近問題的最終解決了！如圖6，同理，我們是否也能得到CQ′=2FQ′，BQ′=2EQ′.（同學(xué)們確認(rèn)后）現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考：點(diǎn)Q和Q′是同一個(gè)點(diǎn)嗎？（讓所有學(xué)生靜靜的思考，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不同的學(xué)生會(huì)有時(shí)差，慢慢等，安靜的等，此時(shí)無(wú)聲勝有聲）

過渡：補(bǔ)全圖形（如圖7），現(xiàn)在大家都確認(rèn)了Q、Q′是同一個(gè)點(diǎn)，我們也就解決了“重心性質(zhì)定理”，即三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.該點(diǎn)叫做三角形的重心.

圖7

教學(xué)環(huán)節(jié)4.課堂小結(jié)與反饋練習(xí)

課堂小結(jié)：本課我們主要在解決“遺留問題”的牽引下，證明了三角形中位線，你是如何理解三角形中位線性質(zhì)的？舉例說(shuō)說(shuō).三角形中位線與中線有何區(qū)別與聯(lián)系？舉例說(shuō)說(shuō).

反饋練習(xí)：如圖8，在△ABC中，中線BE、CD交于Q點(diǎn)，連接DE.

圖8

（1）當(dāng)BC=8cm時(shí)，DE=_____cm.

（2）當(dāng)CD=9cm時(shí)，DQ=_____cm.

（3）作射線AQ交BC于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)M.

①線段AF是△ABC的中線嗎？（直接回答“是”或“不是”）

②若BC=8cm，求DM的長(zhǎng).

三、教學(xué)立意的整體闡釋

1.在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上重構(gòu)教材

如上文中我們給出的教學(xué)內(nèi)容分析一樣，三角形中位線為什么放置在平行四邊形一章學(xué)習(xí)，這是值得每個(gè)教師深入思考的，不僅是證明方法需要用到平行四邊形，重要的是當(dāng)中位線性質(zhì)定理獲證之后，之前七年級(jí)上冊(cè)出現(xiàn)過的“遺留問題1”（中點(diǎn)四邊形）就得到有力的解釋；而三角形三邊中線交于一點(diǎn)（重心定理）也可以得到解決，這些關(guān)聯(lián)在一起的重要性質(zhì)（或說(shuō)奇異性質(zhì)）都會(huì)因?yàn)槿切沃形痪€性質(zhì)的解決而攻克.正是基于上述認(rèn)識(shí)和理解，我們決定重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，踐行“用教材教”（鐘啟泉語(yǔ)），而不是“教教材”.

2.難題教學(xué)時(shí)需要教師主導(dǎo)啟發(fā)

看了上文的課例后，也許有人會(huì)說(shuō)，這是灌輸式教學(xué)吧，一節(jié)課這么多難題和容量怎么可能實(shí)現(xiàn)呢？坦率地講，根據(jù)我們多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，如果讓學(xué)生獨(dú)立探索本文課例中提及的三角形中位線性質(zhì)定理、兩個(gè)“遺留問題”，可能整節(jié)課都在消耗時(shí)間，絕大多數(shù)學(xué)生一節(jié)課也不太可能探究出一個(gè)性質(zhì)的證明，而教學(xué)是要追求效率的，弗賴登塔爾也說(shuō)過，教師需要給學(xué)生提供“有指導(dǎo)”的再創(chuàng)造，而不是把初始問題、原生態(tài)問題拋出來(lái)，消耗學(xué)生寶貴的課堂時(shí)間.所以，本課中對(duì)于難題破解之初，一般只是安排學(xué)生2分鐘左右熟悉問題背景，草圖分析問題結(jié)構(gòu)之后，就幫助學(xué)生講解思路，啟發(fā)推證方向，在思路貫通之后安排優(yōu)秀學(xué)生復(fù)述證法路徑，為理解滯后的學(xué)生贏得理解的時(shí)間.教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，這樣有層次地“幫助一部分人先弄懂”，再讓這部分“先懂者”幫助“后懂者”是有現(xiàn)實(shí)意義的.

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