江蘇省南通市通州區(qū)二窎小學(xué) 葛 軍

分層建構(gòu)：讓“數(shù)學(xué)理解”真正發(fā)生

江蘇省南通市通州區(qū)二窎小學(xué) 葛 軍

“數(shù)學(xué)理解”是兒童對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的自主建構(gòu)，對(duì)知識(shí)本質(zhì)和聯(lián)系等的認(rèn)識(shí)?！皵?shù)學(xué)理解”有“工具性理解”、“關(guān)系性理解”和“創(chuàng)新性理解”三個(gè)層面。數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師要運(yùn)用各種方式，幫助兒童形成“數(shù)學(xué)理解”，引導(dǎo)兒童的“數(shù)學(xué)理解”步步深入、拾級(jí)而上。

數(shù)學(xué)教學(xué)；工具性理解；關(guān)系性理解；創(chuàng)新性理解

在兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“數(shù)學(xué)理解”無疑是首要的。英國(guó)數(shù)學(xué)教育家斯根暜認(rèn)為：“數(shù)學(xué)理解”有“工具性理解”（怎么做？）、“關(guān)系性理解”（為什么這樣做？）和“創(chuàng)新性理解”（還可以怎么做？）三個(gè)層面?；诖?，在兒童數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要搭建平臺(tái)，促成兒童對(duì)數(shù)學(xué)的“工具性理解”，助推兒童對(duì)數(shù)學(xué)的“關(guān)系性理解”，引導(dǎo)兒童形成數(shù)學(xué)的“創(chuàng)新性理解”。讓兒童的“數(shù)學(xué)理解”步步深入、拾級(jí)而上。

一、工具性理解：搭建平臺(tái)

“工具性理解”是“數(shù)學(xué)理解”的初級(jí)階段，主要是對(duì)數(shù)學(xué)概念的了解，如“圓的半徑是什么？”“怎么通分”“怎么約分”等。“工具性理解”對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)的“陳述性問題”，主要解決“是什么？”和“怎么做”等的數(shù)學(xué)技能和應(yīng)用問題。

1.用“操作演示”展示知識(shí)

“操作演示”是數(shù)學(xué)理解的“腳手架”，能夠幫助兒童直觀感知到數(shù)學(xué)概念、公式的內(nèi)涵，讓學(xué)生形成一種“視覺思維”。例如教學(xué)《圓錐的體積》，筆者通過讓學(xué)生演示“用等底等高的圓錐裝滿水倒入等底等高的圓柱，倒三次”，形成直觀的“倒的次數(shù)”的印象，讓學(xué)生獲得對(duì)“圓錐公式”的理解。如此，學(xué)生在計(jì)算圓錐體積時(shí)，總是想到鮮活的數(shù)學(xué)演示實(shí)驗(yàn)，計(jì)算圓錐體積時(shí)總是先計(jì)算“等底等高”的圓柱的體積，成功規(guī)避了兒童計(jì)算時(shí)容易遺忘“÷3”的特點(diǎn)。

2.用“生活經(jīng)驗(yàn)”支撐知識(shí)

“生活經(jīng)驗(yàn)”是數(shù)學(xué)理解的“橋梁”，能夠幫助學(xué)生解疑釋難。例如，教學(xué)“乘加和乘減混合運(yùn)算”，學(xué)生對(duì)計(jì)算順序時(shí)有混淆。為此，筆者教學(xué)時(shí)讓學(xué)生多次“以事理說數(shù)理”，通過學(xué)生生活中的購(gòu)物經(jīng)驗(yàn)，詮釋說理。如“6×2+3×5”，有學(xué)生說買3支圓珠筆，每支5元，再買2支鋼筆，每支6元，一共多少元？正是因?yàn)橛辛松罱?jīng)驗(yàn)的介入，孩子們對(duì)抽象的乘加和乘減混合計(jì)算的運(yùn)算順序的理解有了“抓手”。不僅如此，學(xué)生對(duì)“乘法是連續(xù)加上相同的數(shù)”、“除法是連續(xù)減去相同的數(shù)”的算法本質(zhì)也有了初步的認(rèn)知。

3.用“直觀圖形”分析知識(shí)

在學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的過程中，有時(shí)需要借助“直觀圖”（含線段圖、示意圖等）進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，讓學(xué)生正確理解題意。例如教學(xué)“1/2+1/4+……1/64”時(shí)，有學(xué)生從簡(jiǎn)單情形入手，探索規(guī)律；有學(xué)生采用“數(shù)形結(jié)合”的方法，用一個(gè)正方形表示“1”，然后平均分成2份，在其中的1份里再平均分成2份，依次類推，并涂上陰影。學(xué)生直觀看到：要求“1/2+1/4+……1/64”就是求陰影部分的大小，可以用“整個(gè)正方形當(dāng)”減去“空白部分”，也就是“1—1/64”。借助直觀圖，讓學(xué)生獲得直觀思考。

二、關(guān)系性理解：內(nèi)化意義

“關(guān)系性理解”是“數(shù)學(xué)理解”的中級(jí)階段，主要是讓學(xué)生對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的誕生歷程有著清晰的認(rèn)知。如果說“工具性理解”是“知其然”，那么“關(guān)系性理解”就是“知其所以然”。如“圓周率、圓的面積公式是怎樣誕生？”“通分、約分的根據(jù)是什么？怎樣理解？”等?！瓣P(guān)系性理解”對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)的“程序性問題”，主要解決“為什么”的問題。

1.展現(xiàn)過程，關(guān)注知識(shí)本質(zhì)

每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都有其深刻的數(shù)學(xué)本質(zhì)，有其深遠(yuǎn)的源頭。關(guān)注數(shù)學(xué)的知識(shí)本質(zhì)就是關(guān)注知識(shí)內(nèi)在的形成規(guī)律。要注重啟發(fā)學(xué)生，增設(shè)孵化、生長(zhǎng)兒童數(shù)學(xué)思維、想象的機(jī)會(huì)。例如教學(xué)《用方向和距離確定位置》，筆者用序列化的教學(xué)設(shè)計(jì)依次展開：①多媒體展示一艘中國(guó)海船在南沙島燈塔（參照物）附近（不能確定準(zhǔn)確位置）；②一艘中國(guó)海船距離南沙島燈塔500米處，即以燈塔為中心，500米為半徑（距離）的圓上（不能確定準(zhǔn)確位置）；③一艘中國(guó)海船在南沙島燈塔北偏東30°方向500米處（準(zhǔn)確定位）。至此，學(xué)生深刻理解了確定位置的“三要素”和“原理”。

2.集裝知識(shí)，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)

單個(gè)的知識(shí)點(diǎn)只有融入到“知識(shí)結(jié)構(gòu)”中才能更加凸顯其意義。教學(xué)中，唯有對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行“串聯(lián)”或“并聯(lián)”，才能讓知識(shí)融會(huì)貫通。例如，教學(xué)“比的基本性質(zhì)”時(shí)，筆者首先讓學(xué)生進(jìn)行知識(shí)回顧：從“商不變的規(guī)律”到“小數(shù)的性質(zhì)”，從“小數(shù)的性質(zhì)”再到“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”等。如此催動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想：在比中，有著怎樣的性質(zhì)？比的基本性質(zhì)應(yīng)該是怎樣的？“比的基本性質(zhì)”有什么作用？如此，將“比的基本性質(zhì)”納入到知識(shí)的橫向和縱向聯(lián)系之中，學(xué)生獲得了意義的全面而深刻的理解。

三、創(chuàng)新性理解：建構(gòu)創(chuàng)造

“創(chuàng)新性理解”是“數(shù)學(xué)理解”的高級(jí)階段，主要是學(xué)生能夠主動(dòng)地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行生發(fā)，把握知識(shí)的流向。如果說“工具性理解”解決“是什么、怎么樣”的問題，“關(guān)系性理解”是解決“為什么會(huì)這樣”的問題，那么“創(chuàng)新性理解”就是解決“應(yīng)該可以怎么理解”、“還可以怎樣”的問題。

1.激活思維，讓知識(shí)獲得自主建構(gòu)

數(shù)學(xué)教學(xué)要把握知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)、生成點(diǎn)和生發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)兒童對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行“預(yù)測(cè)”、“猜想”、“驗(yàn)證”，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。例如，教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”時(shí)，筆者首先讓學(xué)生猜想：“圓的周長(zhǎng)”與什么有關(guān)？（半徑、直徑）；“圓的周長(zhǎng)”與半徑、直徑有著怎樣的關(guān)系？（3倍多一些、4倍少一些等）；用什么方法驗(yàn)證？（滾圓法、繞圓法等）。在這里，兒童不是被動(dòng)地接受知識(shí)，而是主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)。

2.啟迪創(chuàng)造，讓知識(shí)獲得自然生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)理解不僅是一個(gè)深入思維的過程，還是一個(gè)自主創(chuàng)造的過程。要引導(dǎo)學(xué)生突破思維障礙和束縛，主動(dòng)地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行生發(fā)、創(chuàng)造。例如教學(xué)“用陰影表示長(zhǎng)方形面積的1/2”，筆者啟迪學(xué)生探究，引領(lǐng)學(xué)生眾籌、眾創(chuàng)，得到了許多精致化的方法。①用對(duì)角線將長(zhǎng)方形平均分；②用中線將長(zhǎng)方形平均分；③連接長(zhǎng)方形長(zhǎng)與對(duì)邊任意一點(diǎn)構(gòu)成三角形；④過長(zhǎng)方形中心任意畫一條直線；⑤長(zhǎng)或?qū)捚骄殖膳紨?shù)份；⑥順次連接長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的中點(diǎn)。這些獨(dú)特的方法彰顯著兒童的創(chuàng)造智慧。

數(shù)學(xué)教學(xué)不能停留于“形式化定義”，不能讓兒童對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式等進(jìn)行“死記硬背”、“照葫蘆畫瓢”，而應(yīng)當(dāng)運(yùn)用各種方式促成兒童積極的“數(shù)學(xué)理解”。只有在“數(shù)學(xué)理解”的基礎(chǔ)上，兒童才能認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和聯(lián)系，才能主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)、靈活地建構(gòu)數(shù)學(xué)、自主地創(chuàng)造數(shù)學(xué)，讓我們“為理解而教”！

[1]陳治平.談促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)“理解”的策略[J].江蘇教育（小學(xué)教學(xué)），2013（11）.

[2]過小偉.感悟智深：追求“真正意義上的理解”[J].江蘇教育研究，2016（6B）.

[3]黃紅成.在動(dòng)手實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)理解[J].教學(xué)與管理（小學(xué)版），2015（7）.