江西省南昌十七中學(xué) 許義恒

試論三角函數(shù)解題技巧

江西省南昌十七中學(xué) 許義恒

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)之一，同時(shí)也為高等數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)。掌握三角函數(shù)的解題技巧，有助于提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。本文列舉經(jīng)典例題，講解實(shí)用的解題技巧。

初等數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；解題技巧

函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)很重要的地位，很多問題都是圍繞函數(shù)來解答的，由于函數(shù)的抽象性［1］，解題的難度也是較大的。以三角函數(shù)為例，其運(yùn)算關(guān)系復(fù)雜，解答時(shí)較難入手，運(yùn)算過程中很容易出錯(cuò)。這主要是因?yàn)?，學(xué)生沒有掌握答題技巧，不能分析和解答三角函數(shù)題目，這很容易打擊學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的積極性。因此，教師在講解三角函數(shù)知識(shí)的同時(shí)，還應(yīng)該通過例題的講解，向?qū)W生傳授解題技巧，從而提高學(xué)生解答三角函數(shù)題目的能力，一定程度上提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

一、巧引參數(shù)，提高效率

中學(xué)數(shù)學(xué)中三角函數(shù)占很重要的地位，在數(shù)學(xué)考試中，三角函數(shù)在總分?jǐn)?shù)中占很大比重，掌握三角函數(shù)的知識(shí)和解題技巧，可以很好地提高數(shù)學(xué)成績(jī)。根據(jù)本人的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，講解巧引參數(shù)來解答三角函數(shù)問題。

例題1 求證sin8θ+cos8θ≥1/8。

解析 從題目所給的關(guān)系式可以推斷，本題考查sin2θ+cos2θ=1平方關(guān)系式，并且涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，學(xué)生可以很容易地發(fā)現(xiàn)sin2θ、1/2、cos2θ三者其實(shí)是等差數(shù)列。設(shè)sin2θ=1/2―d、cos2θ=1/2+d，并且-1/2≤d≤1/2，將兩式代入原式中，展開各式并合并同類項(xiàng)后，就可以很容易證得結(jié)論。

當(dāng)然這道題目也可以用常規(guī)方法解答，但過程較復(fù)雜，解答過程很容易出錯(cuò)，不利于提高解題的效率和準(zhǔn)確性。通過巧引參數(shù)，能使題目的解答變得更加簡(jiǎn)單快捷，而且能夠保證解題的準(zhǔn)確性。但是在學(xué)生不了解解題技巧的情況下，很容易被題目的復(fù)雜程度蒙騙，而不知道該如何下手解決。學(xué)生掌握解題技巧后，遇到同類型題目時(shí)就能夠輕松應(yīng)對(duì)，準(zhǔn)確解答。

二、升冪降冪，化繁為簡(jiǎn)

在解答三角函數(shù)題目時(shí)，還經(jīng)常會(huì)用到升冪降冪的方法，這一技巧也是很有效的。應(yīng)用此方法，能夠很有效地化簡(jiǎn)題目，學(xué)生能夠很快地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，題目的結(jié)果也就一目了然。升冪降冪解題技巧在使用前，要先掌握2cos2α―1=1―2sin2α=cos2α、sin2α+cos2α=1等公式，因?yàn)檫@些公式能夠有效升冪降冪，從而化簡(jiǎn)原式，學(xué)生就能正確求證求解。

例題2 化簡(jiǎn)（1-cos4α-sin4α）/（1-cos6α-sin6α）。

解析 本題既可以升冪，也可以降冪，而且都是通過運(yùn)用公式sin2α+cos2α=1，升冪就是對(duì)公式的逆用，降冪就是正用。當(dāng)我們運(yùn)用公式將原式做升冪或降冪處理的時(shí)候，就會(huì)得到下面兩個(gè)截然不同的式子，即：

升冪：原式=［（cos2α+sin2α）2―cos4α―sin4α］/［（cos2α+sin2α）2-cos6α-sin6α］。

降冪：原式=［1―（cos4α+sin4α）］/［1―（cos6α+sin6α）］。

然后，將它們一步步推導(dǎo)，便很容易得到結(jié)果，得到后結(jié)果都是2/3。

通過對(duì)例題的分析可以發(fā)現(xiàn)，升冪和降冪本質(zhì)上就是對(duì)一些公式的正用和逆用［2］。在使用這一技巧時(shí)，能夠有效化簡(jiǎn)原式，使學(xué)生能夠迅速解答這類題目。因此，在掌握三角函數(shù)公式的同時(shí)，要學(xué)會(huì)相關(guān)的技巧，不僅有利于公式的運(yùn)用，還能更有效地解答題目。

三、化弦為切，簡(jiǎn)化習(xí)題

化弦為切是解答三角函數(shù)題目時(shí)經(jīng)常用到的解題技巧之一，這種技巧的使用很方便而且高效。所謂化弦為切，就是利用弦函數(shù)與切函數(shù)之間的關(guān)系式，如sinα/cosα=tanα，將原式變成只含有切函數(shù)的形式，從而只對(duì)切函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。這時(shí)，三角函數(shù)題目就變成代數(shù)運(yùn)算了，簡(jiǎn)單明了。

例題3 已知tanα=2，求（4sinα-2cosα）/（5cosα+3sinα）的值。

解析 首先觀察題目，題目給出了正切函數(shù)的值，讓求解的原式中含有正弦余弦函數(shù)，這就提示要用到化弦為切的技巧。而且由題意可知cosα≠0，將原式的分子分母同除以cosα，就可以得到只含有正切函數(shù)的式子，將正切函數(shù)的值代入即可求得原式的值，即：

原式 =［（4sinα-2cosα）/cosα］/［（5cosα+3sinα）/cosα］=（4tanα-2）/（5+2tanα）=6/11。

在這道題目里，我們選擇了合適的解題技巧，化弦為切，很迅速很準(zhǔn)確地求得結(jié)果。這就提醒我們，在能用解題技巧時(shí)，盡量不要使用常規(guī)方法，避免浪費(fèi)時(shí)間，而且容易在復(fù)雜的推導(dǎo)過程中出錯(cuò)。使用解題技巧，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，從而提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

總之，努力學(xué)習(xí)，堅(jiān)持不懈地提高知識(shí)水平是值得鼓勵(lì)的，但也要掌握有效的解題技巧。對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也是如此，學(xué)生要記住基本定義、基本公式和基本規(guī)律等，也要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，掌握巧妙的解題技巧。目前，中學(xué)生所要學(xué)習(xí)的科目非常多，他們沒有更多的時(shí)間去鉆研數(shù)學(xué)解題技巧。因此，這便需要我們數(shù)學(xué)教師在平日的課堂教學(xué)中加強(qiáng)解題技巧的培養(yǎng)，從而讓他們?cè)诿鎸?duì)各類數(shù)學(xué)習(xí)題的時(shí)候無往而不勝［3］。

［1］朱健忠.例析三角函數(shù)的解題技巧［J］.理科考試研究，2014，（21）：14.

［2］葛貽文.如何有效提高三角函數(shù)解題技巧的課堂教學(xué)［J］.理科考試，2014（15）：30-31.

［3］朱思文.淺談高中三角函數(shù)解題技巧［J］.高中數(shù)理化，2014（16）：8.