楊敏欣

（福建省惠安第五中學(xué)）

淺談面積法在幾何證明中的應(yīng)用

楊敏欣

（福建省惠安第五中學(xué)）

在初中幾何題中，經(jīng)常會碰到一些和垂線段有關(guān)的問題，這就要求學(xué)生要懂得利用特殊位置法猜測垂線段之間的數(shù)量關(guān)系，善于構(gòu)造三角形并利用三角形面積之間的數(shù)量關(guān)系證明結(jié)論。

面積法；垂線段；等邊三角形；幾何證明

探究內(nèi)容：

①探究直角三角形三邊與斜邊上的高的數(shù)量關(guān)系。

②如圖2，等腰△ABC中，AB=AC，P是底邊BC上一動點(diǎn)P到兩腰的距離分別為PE、PF，PE+PF是一個(gè)定值嗎？該定值會等于誰？證明你的猜想。

如果P點(diǎn)在BC或CB的延長線上，你又能得到什么結(jié)論?

把等腰三角形改成等腰梯形，還有同樣的結(jié)論嗎？

③如圖3，在矩形ABCD中，P是AB上一動點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，PE+PF是一個(gè)定值嗎？本探究題和探究②有聯(lián)系嗎？

④如圖4，等邊△ABC中，P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P到三邊的距離分別為PD、PE、PF，PD+PE+PF是定值嗎？該定值會等于誰？證明你的猜想。當(dāng)P點(diǎn)在等邊三角形ABC外部時(shí),上述的和還會是定值嗎？

圖1

圖2

圖3

圖4

如果P點(diǎn)在△ABC外，你又能得到什么結(jié)論？

探究①：如圖1，設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，AD=h，由三角形面積可得S△ABC=bc=ah，∴h=。

探究②：（1）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段BC上，設(shè)h為△ABC中BC邊上的高。

圖2 -1

因而可得PE+PF的和是一個(gè)定值。

（2）如圖2-2，當(dāng)P點(diǎn)在線段CB的延長線上，設(shè)h為△ABC中BC邊上的高，連接AP

因而PF-PE的差是一個(gè)定值。

同理可證，當(dāng)P點(diǎn)在BC的延長線上，PE-PF的差也是一個(gè)定值，為

圖2 -2

圖2 -3

當(dāng)把等腰三角形改為等腰梯形時(shí)，

（1）如圖2-3，當(dāng)動點(diǎn)P在BC線段上運(yùn)動，連接AP和DP，設(shè)h為等腰梯形ABCD的高，

（2）如圖2-4所示，當(dāng)動點(diǎn)P在BC線段的延長線上運(yùn)動時(shí)，連接AP和DP

圖2 -4

同理可證，P點(diǎn)在CB的延長線上，PF-PE的差也是一個(gè)定值，PE-PF=

結(jié)論：當(dāng)把等腰三角形改為等腰梯形時(shí)，動點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時(shí)，PE+PF的和是一個(gè)定值，為；當(dāng)動點(diǎn)P在BC或 CB的延長線上為定值。

圖3

探究④：（1）如圖4-1，當(dāng)P點(diǎn)在三角形ABC內(nèi)部時(shí)，連接AP和BP，CP

故PE+PF+PD的和為定值。

圖4 -1

圖4 -2

（2）如圖4-2，當(dāng)P點(diǎn)在三角形ABC外部時(shí)，連接AP和BP，CP

故PE+PF-PD的值為定值。

［1］朱德祥，朱維宗.初等幾何研究［M］.高等教育出版社，2003.

［2］余昌紅.淺談等面積法在幾何題中的應(yīng)用［J］.新課程導(dǎo)學(xué)，2011（13）.

·編輯 謝尾合