陳 杰,李 亮,宋 健

(清華大學(xué)，汽車安全與節(jié)能國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100084)

2016050

基于LTV-MPC的車輛穩(wěn)定性控制研究*

陳 杰,李 亮,宋 健

(清華大學(xué)，汽車安全與節(jié)能國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100084)

針對(duì)含有附著力約束和液壓執(zhí)行機(jī)構(gòu)約束的車輛穩(wěn)定性控制問(wèn)題，本文中提出了一種基于非線性車輛模型的線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制(LTV-MPC)方法。該方法對(duì)非線性車輛模型進(jìn)行局部線性化，結(jié)合實(shí)時(shí)參數(shù)估計(jì)得到的縱向制動(dòng)力輸入限制，將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問(wèn)題，并得到優(yōu)化解，從而解決有約束條件下的主動(dòng)制動(dòng)壓力分配問(wèn)題。另外，文中還討論了MPC控制器中控制目標(biāo)的選取問(wèn)題，分析了控制參數(shù)選取對(duì)于控制效果和運(yùn)算效率的影響。通過(guò)穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)仿真驗(yàn)證了控制器的可行性和有效性。

車輛動(dòng)力學(xué)；模型預(yù)測(cè)控制；穩(wěn)定性控制

前言

車輛穩(wěn)定性控制(ESC)系統(tǒng)能夠提升車輛在非線性工況下的穩(wěn)定性，大幅度降低交通事故發(fā)生率[1]?；诓顒?dòng)制動(dòng)方式的ESC控制方法在線性和非線性工況下都能比較有效地對(duì)車輛施加橫擺力偶矩[2]，是目前被普遍采用的一種方案。ESC系統(tǒng)控制方法和主動(dòng)制動(dòng)力分配策略是車輛穩(wěn)定性控制中的重要課題。

針對(duì)ESC系統(tǒng)的控制策略，許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)的研究。早期的一些研究提出了基于邏輯門(mén)限的ESC控制方法[3]，該方法利用固定的約束條件保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但控制輸入較為粗暴，且邏輯門(mén)限的設(shè)定需要豐富的實(shí)車試驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)以及復(fù)雜的標(biāo)定工作。基于二次調(diào)節(jié)器(LQR)形式的最優(yōu)控制方法也在ESC控制中得到了較好的應(yīng)用[4-5],該方法理論上可以得到優(yōu)化問(wèn)題的全局最優(yōu)解，但由于控制器模型采用2自由度線性模型，模型失配會(huì)導(dǎo)致求得的解并不能達(dá)到最優(yōu)控制的理想效果。另外基于車輛2自由度模型的最優(yōu)控制問(wèn)題也只能近似地轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)QR問(wèn)題進(jìn)行求解，兩者的差別在低非線性度工況下很小，但在高非線性度的極限工況下較大，也導(dǎo)致控制效果與理論上有一定的差距。另外還有滑膜控制[6]、相平面法[7]等各種方法也都在ESC中得到了不同程度的應(yīng)用。

模型預(yù)測(cè)控制(MPC)是一種在工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用的先進(jìn)控制方法。該方法采用滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化的方法預(yù)測(cè)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)并求取使目標(biāo)函數(shù)最小的控制輸入。模型預(yù)測(cè)控制相比于LQR最優(yōu)控制雖然不能求得全局最優(yōu)解，但由于每個(gè)周期都基于系統(tǒng)參數(shù)的觀測(cè)量進(jìn)行預(yù)測(cè)和求解，更加適用于無(wú)法得到精確模型的實(shí)際應(yīng)用，而且也可以得到問(wèn)題的次優(yōu)解。模型預(yù)測(cè)控制的主要缺點(diǎn)在于控制器運(yùn)算量較大，在高頻控制問(wèn)題中實(shí)時(shí)性較難保證，故多應(yīng)用于低頻的工業(yè)控制如造紙、煉油等領(lǐng)域中。但隨著車用芯片運(yùn)算能力的提高和對(duì)控制問(wèn)題的合理簡(jiǎn)化，模型預(yù)測(cè)控制在車輛控制領(lǐng)域也逐漸得到了應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]中設(shè)計(jì)了用于車輛自動(dòng)駕駛控制的模型預(yù)測(cè)控制器，但該問(wèn)題的車輛行駛路徑是預(yù)先設(shè)定的，與ESC控制有所區(qū)別。文獻(xiàn)[9]中設(shè)計(jì)了基于模型預(yù)測(cè)控制的主動(dòng)避撞分層控制方法，但它僅限于上層橫擺力矩控制器的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[10]中將模型預(yù)測(cè)控制運(yùn)用于主動(dòng)轉(zhuǎn)向問(wèn)題中，取得了較好的效果。文獻(xiàn)[11]中首次研究了基于模型預(yù)測(cè)控制的差動(dòng)制動(dòng)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[12]中對(duì)模型預(yù)測(cè)控制在車輛控制領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行了較為全面的討論。

本文中建立了線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)ESC控制器，得到帶有約束的ESC問(wèn)題優(yōu)化求解方法。討論了考慮車輛動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的橫擺角速度和車身側(cè)偏角目標(biāo)值的選取方法。分析了MPC控制器參數(shù)對(duì)于控制效果的影響。對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行了穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)的仿真驗(yàn)證并與傳統(tǒng)的LQR控制器進(jìn)行對(duì)比，得到了較好的控制效果。

1 車輛動(dòng)力學(xué)模型

模型預(yù)測(cè)控制器對(duì)于模型的準(zhǔn)確性有一定的要求，如果模型失配嚴(yán)重，預(yù)測(cè)得到的系統(tǒng)狀態(tài)將會(huì)與實(shí)際狀態(tài)有較大的偏離，從而影響控制效果。采用線性輪胎模型的2自由度的車輛模型沒(méi)有考慮到車輛輪胎的非線性特性，而橫擺力矩控制起作用的大部分工況中車輛輪胎都處于非線性區(qū)域，故模型預(yù)測(cè)控制器中的預(yù)測(cè)模型需要采用較為準(zhǔn)確的非線性形式。將車輛質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度作為系統(tǒng)變量，車輛側(cè)向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中：m為整車質(zhì)量；vx為車輛縱向速度；δ為前輪轉(zhuǎn)角；ωz為車輛橫擺角速度；Iz為車輛繞垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；w為輪距；a為質(zhì)心距前軸的距離；b為質(zhì)心距后軸的距離；Fxij,Fyij(ij=11，12，21和22，分別為左前，右前，左后和右后)為輪胎縱向力和側(cè)向力。式中的輪胎力利用魔術(shù)公式(Magic Formula)形式的輪胎模型進(jìn)行計(jì)算[13]：

(2)

其中：

Cx=b0；Cy=a0

Dx=b1Fz2+b2Fz；Dy=a1Fz2+a2Fz

Ex=b6Fz+b7Fz+b8；Ey=a5Fz+a6

式中ai(i=0,…,6)和bj(j=0,…,8)為通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得的參數(shù)，具體取值如表1所示。

表1 輪胎魔術(shù)公式模型參數(shù)

式(2)所示的輪胎模型表示的是單一方向的輪胎力，即輪胎側(cè)偏角為0和輪胎滑移率為0時(shí)的輪胎力，在既存在滑移率又存在側(cè)偏角的聯(lián)合滑移工況還需要進(jìn)行一定的修正，按照文獻(xiàn)[13]中推薦的方法，對(duì)聯(lián)合滑移工況進(jìn)行修正：

(3)

式中：λ為滑移率；α為輪胎側(cè)偏角。

在仿真試驗(yàn)中假設(shè)車輛縱向速度、車輪轉(zhuǎn)速、車輛側(cè)向加速度和橫擺角速度為可測(cè)量的量；車身側(cè)偏角和路面附著系數(shù)須通過(guò)估算得到；而車輪的側(cè)偏角和垂直載荷則須利用測(cè)量和估算的變量計(jì)算得到：

(4)

(5)

由于上述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中包含形式復(fù)雜的輪胎模型，導(dǎo)致將此模型用于控制器時(shí)無(wú)法寫(xiě)成矩陣形式的狀態(tài)方程，必須采用數(shù)值方法進(jìn)行控制器求解。非線性模型預(yù)測(cè)控制的數(shù)值求解需要運(yùn)用序列二次規(guī)劃法和粒子群算法等復(fù)雜的數(shù)值求解技術(shù)，這將大大增加控制器的復(fù)雜程度并降低控制求解速度。因此，本文中采用局部線性化的方法將非線性模型預(yù)測(cè)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性時(shí)變參數(shù)的模型預(yù)測(cè)控制問(wèn)題。

假設(shè)當(dāng)前測(cè)量和觀測(cè)得到的車輛狀態(tài)為ε0，輪胎側(cè)偏角為α0ij，將輪胎側(cè)向力線性化為

(6)

將式(6)帶入式(1)得到線性化的系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(7)

式中：x為系統(tǒng)變量，x=[βωz]T；Ac為狀態(tài)矩陣;u為控制輸入，u=[Fb11Fb12Fb21Fb22]T，即4個(gè)車輪的制動(dòng)力；Bcu為控制矩陣；e1為輪胎縱向力與輪胎制動(dòng)力之差，視為可測(cè)干擾輸入,Nc1為其對(duì)應(yīng)的干擾輸入矩陣，Nc1=Bcu；e2為前輪轉(zhuǎn)角，也視為可測(cè)干擾輸入，Nc2為其對(duì)應(yīng)的干擾輸入矩陣。

2 模型預(yù)測(cè)控制器

本文中采用的控制策略如圖1所示，該控制器包含路面附著系數(shù)估計(jì)、側(cè)偏角估計(jì)、垂直載荷估計(jì)、輪胎力估算等觀測(cè)模塊，目標(biāo)值計(jì)算模塊實(shí)時(shí)給出系統(tǒng)變量目標(biāo)值，控制約束計(jì)算模塊則實(shí)時(shí)計(jì)算制動(dòng)力和制動(dòng)力增量的上限。MPC控制器直接給出各輪主動(dòng)制動(dòng)力，經(jīng)過(guò)滑移率控制器判斷輪胎的滑轉(zhuǎn)或抱死程度后得到主動(dòng)制動(dòng)壓力作用于車輛。

圖1 整體控制策略

2.1 模型的離散化

在實(shí)際應(yīng)用中，控制器以一定的周期運(yùn)行，所以首先將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模型轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間系統(tǒng)的模型來(lái)構(gòu)建控制器。將系統(tǒng)的離散方程寫(xiě)為

(8)

其中： Δx(k)=x(k)-x(k-1)

Δu(k)=u(k)-u(k-1)

Δe1(k)=e1(k)-e1(k-1)

Δe2(k)=e2(k)-e2(k-1)

式中yc為系統(tǒng)輸出。

與式(7)連續(xù)模型對(duì)比，各矩陣的關(guān)系為

(9)

式中：Ts為控制器周期；eAct為連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

2.2 線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)

模型預(yù)測(cè)控制的基本思想是，根據(jù)當(dāng)前觀測(cè)到的系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測(cè)未來(lái)一定時(shí)間內(nèi)的系統(tǒng)狀態(tài)并求解在此時(shí)間域內(nèi)使控制目標(biāo)最小的控制輸入。本文中的模型預(yù)測(cè)控制器選擇的預(yù)測(cè)時(shí)域p=2，控制時(shí)域m=2，并做如下兩個(gè)假設(shè)：

(1) 控制時(shí)域之外，控制量保持不變，即

Δu(k+i)=0,i=m,m+1,…,p-1

(10)

(2) 可測(cè)干擾在當(dāng)前時(shí)刻之后不變，即

Δe1(k+i)=Δe2(k+i)=0,i=1,2,…,p-1

(11)

根據(jù)式(8)可以預(yù)測(cè)未來(lái)p步的系統(tǒng)輸出為

Yp= SxΔX(k)+IYd(k)+SuΔU(k)+

Sd1Δe1(k)+Sd2ΔE2(k)

(12)

式中Yp為在k時(shí)刻預(yù)測(cè)的未來(lái)p=2個(gè)時(shí)刻的系統(tǒng)輸出。控制目標(biāo)函數(shù)選為

J=‖Gy(Yp(k)-R(k+1))‖2+‖GuΔU(k)‖2

(13)

式中：Gy=diag{gy1,gy2}為控制輸出的加權(quán)矩陣；Gu=diag{gu1,gu2}為控制輸入的加權(quán)矩陣；R(k+1)=[r(k+1)r(k+2)]T為未來(lái)p=2個(gè)周期的控制輸出期望值，r(k)=[βref(k)ωref(k)]T；ΔU(k)=[Δu(k) Δu(k+1)]T是控制輸入增量序列，也是控制優(yōu)化問(wèn)題的獨(dú)立變量。求解的問(wèn)題是：在滿足式(8)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程和式(14)約束的條件下尋找使式(13)目標(biāo)函數(shù)最小的控制輸入ΔU(k)。

(14)

式(14)中包含了對(duì)四輪制動(dòng)力的約束和四輪制動(dòng)力增量的約束。由于在車輛運(yùn)動(dòng)過(guò)程中輪胎力會(huì)隨車輛狀態(tài)發(fā)生變化，故制動(dòng)力和制動(dòng)力增量的約束必須根據(jù)車輛運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算。制動(dòng)力主要受到路面附著力的約束，施加于車輪的制動(dòng)力應(yīng)該保持在附著力范圍之內(nèi)以防止車輪抱死。文獻(xiàn)[14]中曾經(jīng)指出，當(dāng)輪胎側(cè)向力達(dá)到附著力極限時(shí)，輪胎在縱向還存在可觀的縱向力余量可以施加主動(dòng)制動(dòng)。從輪胎力的附著橢圓上也可以看出輪胎的縱向力和側(cè)向力極限軌跡并非是一個(gè)圓，而是一個(gè)橢圓，縱向力的極限大于側(cè)向力極限[13]。因此，可以將輪胎縱向制動(dòng)力極限設(shè)定為如下形式：

(15)

式中ρ取0.8。

由于液壓執(zhí)行機(jī)構(gòu)的限制，每個(gè)周期控制增量也有一定的限制，根據(jù)增減壓試驗(yàn)標(biāo)定可以確定每個(gè)周期主動(dòng)制動(dòng)的增減壓速度極限，從而確定Δumax。

如圖1所示，在每個(gè)控制周期中，觀測(cè)器根據(jù)車輛傳感器及觀測(cè)器得到的路面附著系數(shù)、車輪滑移率、車身側(cè)偏角、車輪垂直載荷等信息利用輪胎模型計(jì)算得到車輪側(cè)向力，然后根據(jù)式(15)和標(biāo)定的增減壓限值得到制動(dòng)力和制動(dòng)力增量的上下限值。由式(8)和式(14)的線性形式，可將式(13)目標(biāo)函數(shù)和式(14)約束方程做適當(dāng)變形即可將該問(wèn)題化為線性二次規(guī)劃(LQP)問(wèn)題進(jìn)行求解，限于篇幅推導(dǎo)過(guò)程從略。

2.3 滑移率控制器設(shè)計(jì)

由于上層模型預(yù)測(cè)控制直接得到了主動(dòng)制動(dòng)力，經(jīng)過(guò)比例換算即可得到制動(dòng)壓力，故下層控制器只須對(duì)車輪的滑移率進(jìn)行一定的限制即可。雖然有式(14)所示的控制輸入約束保證控制器施加的制動(dòng)力不會(huì)過(guò)大，但是由于路面附著系數(shù)估算、載荷轉(zhuǎn)移估算等環(huán)節(jié)可能存在誤差，還需要滑移率控制器對(duì)車輪的滑移率進(jìn)行進(jìn)一步的控制，保證避免出現(xiàn)車輪抱死或完全滑轉(zhuǎn)的情況?；坡士刂破鞯目刂七壿嬋鐖D2所示。

圖2 滑移率控制器邏輯

2.4 控制目標(biāo)的確定

(1) 目標(biāo)橫擺角速度

目標(biāo)橫擺角速度體現(xiàn)了駕駛員對(duì)于車輛橫擺角速度對(duì)轉(zhuǎn)角輸入的響應(yīng)的預(yù)期。由于車輛大部分時(shí)間工作在線性響應(yīng)區(qū)域，駕駛員的經(jīng)驗(yàn)也來(lái)源于此，所以ESC控制器中一般將橫擺角速度的目標(biāo)值設(shè)為2自由度自行車模型的橫擺角速度響應(yīng)值[15]。

(16)

路面附著力限制了車輛可以達(dá)到的側(cè)向加速度上限，車輛的側(cè)向加速度可以表示為

(17)

式中的第1項(xiàng)通常較小，按照文獻(xiàn)[16]中的結(jié)論，第2項(xiàng)應(yīng)該占到側(cè)向加速度極限的85%，從而可以將橫擺角速度極限表示為|ω|max=0.85μg/vx。經(jīng)過(guò)此上限限制，橫擺角速度目標(biāo)值修正為

(18)

式中sat(x)為截止函數(shù)。

由于車輛存在慣性，橫擺角速度對(duì)于轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角的響應(yīng)存在一定的過(guò)渡過(guò)程，這一過(guò)渡過(guò)程也包含在駕駛員的期望當(dāng)中，如果按照式(18)的方式設(shè)計(jì)橫擺角速度目標(biāo)值，勢(shì)必存在過(guò)渡過(guò)程中的過(guò)度干預(yù)和之后的超調(diào)，故須在橫擺角速度目標(biāo)值上增加延遲環(huán)節(jié)，本文中采用一個(gè)1階滯后環(huán)節(jié)來(lái)近似這個(gè)過(guò)渡過(guò)程：

(19)

在過(guò)渡過(guò)程中，橫擺角速度的響應(yīng)還存在一定的超調(diào)，少量的超調(diào)符合駕駛員的預(yù)期，而且只要車身側(cè)偏角在一定范圍內(nèi)，也不會(huì)引起車輛失穩(wěn)。如果僅按照式(19)的方式計(jì)算橫擺角速度目標(biāo)值，當(dāng)橫擺角速度發(fā)生少量超調(diào)時(shí)也會(huì)引起不必要的控制。故對(duì)ωref2進(jìn)行進(jìn)一步的調(diào)整，適度引入橫擺角速度的超調(diào)量，得到最終的目標(biāo)橫擺角速度為

(20)

(2) 目標(biāo)車身側(cè)偏角

在ESC控制的研究中有兩種常見(jiàn)的目標(biāo)車身側(cè)偏角設(shè)置方法：一種是，許多研究認(rèn)為駕駛員始終希望面向車輛速度方向，故將目標(biāo)車身側(cè)偏角設(shè)為0[17]，這種方法符合駕駛員的期望，側(cè)偏角為0也是車輛的穩(wěn)定狀態(tài)，但在實(shí)際車輛中很難實(shí)現(xiàn)，特別是在低速大轉(zhuǎn)向和高速大轉(zhuǎn)角的情況下，將目標(biāo)車身側(cè)偏角設(shè)為0容易引起不必要的頻繁控制；另外一種是，有些研究為了避免這樣的問(wèn)題，將2自由度車輛模型的穩(wěn)態(tài)側(cè)偏角響應(yīng)作為目標(biāo)車身側(cè)偏角，即認(rèn)為2自由度車輛模型的響應(yīng)特性符合駕駛員的期望[18]，這種方法取得的目標(biāo)側(cè)偏角比較符合車輛運(yùn)動(dòng)的實(shí)際情況。本文中采用第2種方法確定目標(biāo)車身側(cè)偏角。

按照2自由度車輛模型可以得到車輛的穩(wěn)態(tài)側(cè)偏角響應(yīng)為

(21)

與橫擺角速度類似，目標(biāo)車身側(cè)偏角也需要加入動(dòng)態(tài)修正。由2自由度車輛模型可以推導(dǎo)出車身側(cè)偏角的響應(yīng)為一個(gè)2階滯后系統(tǒng)，即

(22)

為了避免不必要的頻繁控制，需要給車身側(cè)偏角設(shè)置一個(gè)死區(qū)，當(dāng)車身側(cè)偏角偏差的絕對(duì)值小于死區(qū)邊界時(shí)，認(rèn)為車身側(cè)偏角已經(jīng)可以接受并逐漸退出控制。死區(qū)邊界設(shè)計(jì)為

(23)

2.5 關(guān)鍵參數(shù)的估計(jì)

(1) 附著系數(shù)的估計(jì)

路面附著系數(shù)關(guān)系到魔術(shù)公式中輪胎力和目標(biāo)車輛狀態(tài)的計(jì)算，故需要進(jìn)行相關(guān)估算。本文中采用雙非線性度補(bǔ)償?shù)姆椒ㄟM(jìn)行附著系數(shù)估算。首先利用側(cè)向加速度信息確定附著系數(shù)，然后根據(jù)橫擺角速度偏差和側(cè)向速度微分確定兩個(gè)車輛非線性度表征量進(jìn)行附著系數(shù)的修正。具體估算方法參見(jiàn)文獻(xiàn)[19]。

(2) 車身側(cè)偏角的估計(jì)

車身側(cè)偏角為車輛狀態(tài)變量，需要進(jìn)行估計(jì)作為反饋量輸入控制器。本文中采用擴(kuò)展的卡爾曼濾波方法進(jìn)行車身側(cè)偏角的估算，估算方法詳見(jiàn)文獻(xiàn)[20]。

(3) 縱向輪胎力的估算

控制器中的式(8)預(yù)測(cè)模型中用到了輪胎的縱向力，需要對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。輪胎的縱向滑移率定義為

(24)

式中：ω為車輪角速度；R為車輪半徑；vx為車輪縱向速度。輪速由輪速傳感器直接得到，縱向速度由車速和車輛橫擺角速度計(jì)算得到。在估算得到車輪側(cè)偏角和滑移率之后由式(2)魔術(shù)公式和式(3)計(jì)算得到車輪縱向力。

3 仿真驗(yàn)證

采用Carsim與Simulink聯(lián)合仿真的方法對(duì)所提出的控制方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。Carsim中的車輛模型為一中級(jí)轎車，車輛參數(shù)根據(jù)實(shí)車試驗(yàn)參數(shù)標(biāo)定得到。仿真分別針對(duì)階躍轉(zhuǎn)向試驗(yàn)和FMVSS126試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。仿真中LTV-MPC控制器參數(shù)的選取如表2所示。

表2 LTV-MPC控制器參數(shù)

在本次試驗(yàn)中，除了本文中提出的模型預(yù)測(cè)控制器，另外采用較為常見(jiàn)的LQR控制器作為對(duì)比。LQR控制器的建立過(guò)程簡(jiǎn)述如下。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程仍為式(7)所示的形式，最優(yōu)性能指標(biāo)選為

(25)

式中：xd=[βref,ωref]T為控制目標(biāo)，計(jì)算方法與2.4節(jié)中介紹的方法相同。

故Hamilton函數(shù)為

γT(Acx+Bcuu+Nc1e1+Nc2e2)

(26)

控制輸入由下列方程求得：

u=-R-1BTγ

(27)

(28)

仿真中LQR控制器的參數(shù)取為

qx1=500；qx2=40；R=0.001×I4×4

3.1 階躍轉(zhuǎn)向試驗(yàn)

階躍轉(zhuǎn)向試驗(yàn)中，車輛首先以恒定速度80km/h直線行駛，然后輸入180°轉(zhuǎn)向盤(pán)階躍轉(zhuǎn)角信號(hào)。階躍轉(zhuǎn)向試驗(yàn)可以反映閉環(huán)控制系統(tǒng)的基本動(dòng)態(tài)特性和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出特性。

LTV-MPC控制器和LQR控制器的階躍轉(zhuǎn)向試驗(yàn)的仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。由圖3(a)可見(jiàn)，橫擺角速度在一次超調(diào)之后很快收斂到目標(biāo)值附近，車身側(cè)偏角的穩(wěn)態(tài)值并不是0，而是收斂在-0.04rad附近，與車身側(cè)偏角的目標(biāo)值較為吻合。由圖4(a)的控制輸入曲線可見(jiàn)，本次試驗(yàn)中壓力干預(yù)只在第一次超調(diào)時(shí)出現(xiàn)，之后由于車輛狀態(tài)和目標(biāo)值的誤差很小，控制器沒(méi)有進(jìn)行控制，這也說(shuō)明了上文所述的目標(biāo)值的選取較為合理。可見(jiàn)制動(dòng)力均限制在式(14)所算出的控制約束之內(nèi)。從圖3(b)中可以看出，LQR控制器控制的車輛橫擺角速度與目標(biāo)值誤差較小，但車身側(cè)偏角的誤差較大。從圖4(b)中可以看出，雖然控制力均在約束范圍內(nèi)，但LQR控制器對(duì)右側(cè)車輪持續(xù)施加了較大的制動(dòng)力。持續(xù)的制動(dòng)對(duì)于車身縱向速度的影響也是駕駛員所不希望的。

3.2 FMVSS126試驗(yàn)

FMVSS126法規(guī)為美國(guó)交通安全部在2007年頒布的ESC性能標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試方法。該法規(guī)要求車輛在80km/h的初始速度下進(jìn)行正弦轉(zhuǎn)向遲滯試驗(yàn)，并對(duì)橫擺角速度和側(cè)向位移做了相關(guān)要求[21]。本試驗(yàn)車的A值為27.9°。仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

按照FMVSS126試驗(yàn)法規(guī)的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)本次試驗(yàn)結(jié)果如表3所示，兩種控制器的試驗(yàn)結(jié)果均達(dá)到了法規(guī)要求。

圖5(a)所示車輛的橫擺角速度和車身側(cè)偏角較好地跟蹤了目標(biāo)值。由圖5(b)可見(jiàn)，LQR控制器控制的車輛雖然也保證了車輛的穩(wěn)定性，但是橫擺角速度有較大波動(dòng)，車身側(cè)偏角的偏差也較大。對(duì)比圖6中的控制輸入可以看到，LTV-MPC控制器的控制輸入較為平緩，避免了長(zhǎng)時(shí)間持續(xù)制動(dòng)，而LQR控制器的控制輸入為長(zhǎng)時(shí)間持續(xù)制動(dòng)，這也導(dǎo)致了LQR控制的車輛側(cè)向位移較小，轉(zhuǎn)向跟隨能力不如LTV-MPC控制的車輛好。

圖3 LTV-MPC和LQR控制器階躍轉(zhuǎn)向試驗(yàn)

圖4 LTV-MPC和LQR控制器階躍轉(zhuǎn)向試驗(yàn)控制輸入與控制約束

圖5 LTV-MPC和LQR控制器6A幅值轉(zhuǎn)角FMVSS126試驗(yàn)

圖6 LTV-MPC和LQR控制器6A幅值轉(zhuǎn)角FMVSS126試驗(yàn)控制輸入與控制約束

標(biāo)準(zhǔn)法規(guī)要求LTV-MPCLQRωz(t=2.93)/ωzmax<0.350.00483.48×10-4ωz(t=3.68)/ωzmax<0.25.88×10-40.0019Y(t=1.07)/m>1.832.532.076

在模型預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)中，權(quán)重系數(shù)的選取對(duì)控制效果的影響很大，不合適的權(quán)重系數(shù)甚至可能導(dǎo)致系統(tǒng)喪失穩(wěn)定性。本文中在以上的FMVSS126試驗(yàn)中分別選取不同的權(quán)重系數(shù)，對(duì)比仿真結(jié)果，說(shuō)明權(quán)重系數(shù)對(duì)于控制器效果的影響。在對(duì)比中，除了上文控制器選取的gy1=500，gy2=40外，還選取了gy1=500，gy2=4和gy1=500，gy2=400兩組權(quán)重系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，試驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同權(quán)重系數(shù)FMVSS126試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

由圖可見(jiàn)：當(dāng)橫擺角速度偏差的權(quán)重系數(shù)從40增加到400，車身側(cè)偏角的幅值有所增加，但對(duì)橫擺角速度偏差的控制效果變化較??；當(dāng)橫擺角速度偏差的權(quán)重從40變?yōu)?后，控制器對(duì)車身側(cè)偏角偏差的控制遠(yuǎn)強(qiáng)于對(duì)橫擺角速度偏差的控制。由于橫擺角速度偏差先于車身側(cè)偏角偏差出現(xiàn)，而控制器對(duì)于橫擺角速度偏差不夠敏感，導(dǎo)致開(kāi)始階段控制嚴(yán)重不足。當(dāng)車身側(cè)偏角偏差快速增大后車輛已經(jīng)發(fā)生側(cè)滑，制動(dòng)控制已經(jīng)不能使車輛保持穩(wěn)定。對(duì)比發(fā)現(xiàn)取gy1≈10gy2比較合理。

圖8 不同預(yù)測(cè)時(shí)域126試驗(yàn)車身側(cè)偏角對(duì)比

根據(jù)模型預(yù)測(cè)控制的原理，控制器僅在預(yù)測(cè)時(shí)域范圍內(nèi)求解最優(yōu)解，并將最優(yōu)解的第一個(gè)分量作用于系統(tǒng)，故理論上得到的是一個(gè)局部最優(yōu)解。根據(jù)預(yù)測(cè)時(shí)域的大小不同，求解最優(yōu)解的范圍也不同。為了分析預(yù)測(cè)時(shí)域?qū)τ诳刂破鞯挠绊?，進(jìn)行了不同預(yù)測(cè)時(shí)域控制器的對(duì)比試驗(yàn)。試驗(yàn)中，分別取p=m=2，p=m=5，p=m=10，即預(yù)測(cè)時(shí)域等于控制時(shí)域，且分別為2，5和10個(gè)周期，試驗(yàn)條件同上述的6A幅值轉(zhuǎn)角的FMVSS126試驗(yàn)，結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯?，提高預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域雖然能在一定程度上改善控制效果，但3組曲線的區(qū)別很小。這主要是因?yàn)樵贓SC控制中控制周期較短，預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域的變化對(duì)于控制器的求解影響不很明顯。在系統(tǒng)周期較長(zhǎng)的過(guò)程控制問(wèn)題中預(yù)測(cè)時(shí)域的作用才會(huì)比較明顯地體現(xiàn)出來(lái)。預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域的增加會(huì)明顯增加計(jì)算量，降低控制器運(yùn)行效率。以上3組仿真試驗(yàn)的運(yùn)行時(shí)間分別為3.21，6.39和47.11s，故從運(yùn)行效率和控制效果兩方面綜合來(lái)看，采用2周期預(yù)測(cè)2周期控制的控制器是一個(gè)較好的選擇。

4 結(jié)論

本文中將線性時(shí)變參數(shù)模型預(yù)測(cè)控制運(yùn)用于ESC主動(dòng)制動(dòng)控制中，建立了基于差動(dòng)制動(dòng)的LTV-MPC ESC控制器，文中詳細(xì)推導(dǎo)了該控制器的設(shè)計(jì)和求解過(guò)程。該控制器既考慮到車輛模型的非線性特性，又盡可能降低了控制器的運(yùn)算量，通過(guò)對(duì)輪胎模型進(jìn)行局部線性化的方法將非線性車輛運(yùn)動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性模型預(yù)測(cè)控制問(wèn)題，保留了模型預(yù)測(cè)控制適于處理包含約束的多變量?jī)?yōu)化問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)。

通過(guò)仿真試驗(yàn)，對(duì)比了該控制器和傳統(tǒng)的LQR控制器的控制效果，驗(yàn)證了該控制器的可行性，該控制器在階躍轉(zhuǎn)向試驗(yàn)和FMVSS126法規(guī)試驗(yàn)中都得到了較好的控制效果。通過(guò)對(duì)比分析對(duì)控制器的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。

目前該控制方法距離實(shí)車試驗(yàn)還有一定的距離，下一步的工作是對(duì)控制器的求解過(guò)程進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化，降低控制器計(jì)算量，以達(dá)到目前車用MCU對(duì)于計(jì)算量的要求。另外需要研究觀測(cè)量誤差對(duì)于控制器的影響。

[1] MANNING W J, CROLLA D A. A Review of Yaw Rate and Sideslip Controllers for Passenger Vehicles[J]. Transactions of the Institute of Measurement and Control,2007,29(2):117-135.

[2] ABE M, KANO Y, SUZUKI K, et al. Side-slip Control to Stabilize Vehicle Lateral Motion by Direct Yaw Moment[J]. JSAE Review,2001,22(4):413-419.

[3] 王德平,郭孔輝,宗長(zhǎng)富.車輛動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性控制的理論研究[J].汽車工程,2000,32(1).

[4] ESMAILZADEH E, GOODARZI A, VOSSOUGHI G R. Optimal Yaw Moment Control Law for Improved Vehicle Handling[J]. Mechatronics,2003,13(7):659-675.

[5] PARK K, HEO S J, BAEK I. Controller Design for Improving Lateral Vehicle Dynamic Stability[J]. JSAE Review,2001,22(4):481-486.

[6] GHIKE C, SHIM T, ASGARI J. Integrated Control of Wheel Drive-Brake Torque for Vehicle-handling Enhancement[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part D: Journal of Automobile Engineering,2009,223(4):439-457.

[7] CHUNG T, Yi K. Design and Evaluation of Side Slip Angle-based Vehicle Stability Control Scheme on a Virtual Test Track[J]. Control Systems Technology, IEEE Transactions on,2006,14(2):224-234.

[8] FALCONE P, BORRELLI F, ASGARI J, et al. Predictive Active Steering Control for Autonomous Vehicle Systems[J]. Control Systems Technology, IEEE Transactions on,2007,15(3):566-580.

[9] CHANG S, GORDON T J. A Flexible Hierarchical Model-based Control Methodology for Vehicle Active Safety Systems[J]. Vehicle System Dynamics,2008,46(S1):63-75.

[10] KATRINIOK A, ABEL D. LTV-MPC Approach for Lateral Vehicle Guidance by Front Steering at the Limits of Vehicle Dynamics[C]. Decision and Control and European Control Conference (CDC-ECC),2011 50th IEEE Conference on. IEEE,2011:6828-6833.

[11] BARBARISI O, PALMIERI G, SCALA S, et al. LTV-MPC for Yaw Rate Control and Side Slip Control with Dynamically Constrained Differential Braking[J]. European Journal of Control,2009,15(3):468-479.

[12] RE Luigi Del, GLIELMO Luigi, GUARDIOLA Carlos. Automotive Model Predictive Control: Models, Methods and Applications[M]. London: Springer,2010.

[13] PACEJKA H. Tire and Vehicle Dynamics[M]. Amsterdam: Elsevier,2005.

[14] ABE M. Vehicle Dynamics and Control for Improving Handling and Active Safety: from Four-wheel Steering to Direct Yaw Moment Control[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part K: Journal of Multi-body Dynamics,1999,213(2):87-101.

[15] VAN Zanten A T, ERHARDT R, PFAFF G, et al. Control Aspects of the Bosch-VDC[C]. AVEC.1996,96:573-608.

[16] RAJAMANI R. Vehicle Dynamics and Control[M]. Springer,2011.

[17] ZHENG S, TANG H, HAN Z, et al. Controller Design for Vehicle Stability Enhancement[J]. Control Engineering Practice,2006,14(12):1413-1421.

[18] MOKHIAMAR O, ABE M. Simultaneous Optimal Distribution of Lateral and Longitudinal Tire Forces for the Model Following Control[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control,2004,126(4):753-763.

[19] 李亮,朱宏軍,陳杰,等.用于汽車穩(wěn)定性控制的路面附著識(shí)別算法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2014,50(2):132-138.

[20] LI L, JIA G, RAN X, et al. A Variable Structure Extended Kalman Filter for Vehicle Sideslip Angle Estimation on a Low Friction Road[J]. Vehicle System Dynamics,2014,52(2):280-308.

[21] NHTSA-200727662. Federal Motor Vehicle Safety Standards; Electronic Stability Control Systems; Controls and Displays[S]. USA. Department of Transportation National Highway Traffic Safety Administration,2007.

A Study on Vehicle Stability Control Based on LTV-MPC

Chen Jie, Li Liang & Song Jian

TsinghuaUniversity,StateKeyLaboratoryofAutomotiveSafetyandEnergy,Beijing100084

In view of the problem of the stability control of vehicle with the constraints of adhesive force and hydraulic actuators, a linear time-varying model predictive control (LTV-MPC) method based on nonlinear vehicle model is proposed in this paper. In the method, the nonlinear vehicle model is locally linearized, and with the braking force input limit obtained by realtime parameter estimation, the MPC problem is transformed into a quadralic programming problem to get the optimal solutions, with the issue of active braking pressure distribution with constraints resolved. In addition, the selection of control objective in MPC controller is discussed, and the effects of control parameter selection on control results and operation efficiency are analyzed. The results of both steady and trasient simulations verify the feasibility and effectiveness of MPC controller.

vehicle dynamics; model predictive control; stability control

*國(guó)家自然科學(xué)基金(51275557)和國(guó)家自然科學(xué)基金優(yōu)秀青年基金(51422505)資助。

原稿收到日期為2014年10月11日，修改稿收到日期為2014年12月28日。