宋煜陽

在人教版教材編排體系中，“點(diǎn)到直線的距離”這個(gè)概念的地位發(fā)生了一定變化。實(shí)驗(yàn)版教材，“點(diǎn)到直線的距離”是依附于“畫垂線”教學(xué)內(nèi)容編排的，只是順勢給出了概念的定義，教學(xué)中多數(shù)教師也只是組織學(xué)生讀一讀定義一帶而過。修訂版教材，該概念單獨(dú)設(shè)立例題進(jìn)行教學(xué)，既給出定義又研究相關(guān)性質(zhì)。教材編排位置的改變與教學(xué)內(nèi)容的擴(kuò)充，凸顯了“點(diǎn)到直線的距離”在圖形與幾何概念體系中應(yīng)有的核心地位。

從概念序列來看，“點(diǎn)到直線的距離”是學(xué)習(xí)平行四邊形和三角形的高的重要基礎(chǔ)，是這些平面圖形“高”的上位概念。另外，“點(diǎn)到直線的距離”下定義為“從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫做點(diǎn)到直線的距離”，從概念的表現(xiàn)形式來看它是一個(gè)較為典型的發(fā)生式定義概念。為此，這個(gè)概念無論是從概念的內(nèi)容體系還是定義方式，都具有重要的研究意義。

發(fā)生式定義是一種常見的特殊的屬加種差定義方式，它是把概念對(duì)象放在一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程中，以概念的發(fā)生或形成的本質(zhì)屬性作為種差的定義。具體到“點(diǎn)到直線的距離”這個(gè)概念，就需要先由直線外一點(diǎn)和直線上的點(diǎn)構(gòu)成多條線段，抽取出最短的那條即垂直線段，然后測量出它的長度才能得到點(diǎn)到直線的距離。學(xué)生要理解這個(gè)概念，就必須明確“點(diǎn)到直線的距離”是一個(gè)量數(shù)，是對(duì)一條特殊（垂直）線段測量的結(jié)果，是集畫、量多步操作判斷為一體的活動(dòng)。不難看出，對(duì)概念形成過程的刻畫，既是概念本身得出的需要，又是概念教學(xué)的基本視角。那么，如何在教學(xué)中刻畫這一過程呢？這組同課異構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)給出了以下三方面的認(rèn)識(shí)與思考。

一、注重聯(lián)系，刻畫屬種概念間生發(fā)構(gòu)造的過程

發(fā)生式定義概念沒有直接說明種差，而是用揭示概念發(fā)生的來源方式和形成過程作為它的屬差內(nèi)涵，也就必然離不開從上位概念入手，利用概念間的聯(lián)系構(gòu)造出下位概念。

垂直線段是點(diǎn)到直線的距離核心要素之一，它的屬概念是線段，種差是垂線段的性質(zhì)——垂直線段最短。而這條種差是通過直線外一點(diǎn)（線段的一個(gè)端點(diǎn)）和直線上的點(diǎn)（線段的另一個(gè)端點(diǎn)）構(gòu)成的線段中尋求特殊性（位置垂直、長度最短）的動(dòng)態(tài)生發(fā)的過程。教學(xué)中，兩篇設(shè)計(jì)就充分關(guān)注屬概念線段的特點(diǎn)。設(shè)計(jì)一借助羊村修小路情境，給出“找線段”的抽象活動(dòng)，通過“小路的一端在點(diǎn)O，另一端應(yīng)該在哪？你會(huì)怎么修小路？還可以怎么修？”等問題對(duì)線段兩個(gè)端點(diǎn)位置進(jìn)行指認(rèn)；設(shè)計(jì)二直接給出A和直線m，通過“從點(diǎn)A出發(fā)到直線m你能畫出幾條線段?端點(diǎn)在哪里？”問題討論，并組織學(xué)生畫線段再指認(rèn)端點(diǎn)位置。兩節(jié)課在引入環(huán)節(jié)都圍繞線段的兩個(gè)端點(diǎn)位置進(jìn)行了討論，在“從哪個(gè)點(diǎn)出發(fā)到哪個(gè)點(diǎn)結(jié)束”的動(dòng)態(tài)發(fā)生過程描述中強(qiáng)化了線段有限長的本質(zhì)特點(diǎn)。

從操作技能來說，點(diǎn)到直線的距離是上一課時(shí)畫垂線的鞏固與運(yùn)用。由于畫垂線學(xué)習(xí)中，困難最大的是直線不在水平位置。很顯然，兩篇設(shè)計(jì)都充分關(guān)注到了這一難點(diǎn)問題。設(shè)計(jì)一直接將例題中水平方向調(diào)整為斜方向的直線，直面難點(diǎn)，提升了畫垂線段的能力與性質(zhì)探究空間；設(shè)計(jì)二從水平方向畫線段入手，較快揭示了垂直線段概念，但并沒有一帶而過，特意安排了“哪條線段是直線BE的垂直線段？”的觀察討論、操作驗(yàn)證。這些都體現(xiàn)了設(shè)計(jì)者對(duì)概念間聯(lián)系的系統(tǒng)思考。

在垂直線段最短性質(zhì)教學(xué)中，兩篇設(shè)計(jì)都安插了“垂直線段一定是最短的嗎？可以怎樣驗(yàn)證？”“你認(rèn)為哪條線段長度最短？怎么證明？”等問題的探討，充分經(jīng)歷了猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，拉長了這條性質(zhì)的感知過程，較好凸顯了種差特點(diǎn)。在發(fā)生式定義概念中，屬概念與種差特點(diǎn)越明細(xì)，越有利于概念間聯(lián)系的生發(fā)，越有利于下位概念的構(gòu)造。

二、注重辨析，刻畫概念程序要義理解的過程

發(fā)生式定義概念，如果單從得到這個(gè)概念，形成過程刻畫的越具體越有利于學(xué)習(xí)者對(duì)概念的感知，相應(yīng)概念生發(fā)的分解環(huán)節(jié)就多、描述的句子就長；但如果要合成并理解運(yùn)作這個(gè)概念，程序信息、操作要義越簡明越有利于學(xué)習(xí)者對(duì)概念的把握。因此，在教學(xué)中要緊扣概念本質(zhì)屬性，提煉程序步驟和操作要義，盡可能在概念辨析中達(dá)到概念核心要素精確化和概念運(yùn)作程序簡化的目標(biāo)。

教學(xué)實(shí)踐顯示，學(xué)生對(duì)“距離”這個(gè)概念容易等同于垂直線段，忽略長度的屬性。從根源上分析，是學(xué)生對(duì)發(fā)生式概念的運(yùn)作程序不清晰造成的，要進(jìn)一步理解概念務(wù)必加強(qiáng)概念程序要義的刻畫。為此，兩篇教學(xué)設(shè)計(jì)中都安排了判斷辨析、操作步驟梳理等活動(dòng)來落實(shí)概念程序要義刻畫的過程。如設(shè)計(jì)一中安排了根據(jù)圖示圍繞AH，AF，AE三條線段能否看作距離進(jìn)行辨析，強(qiáng)調(diào)了點(diǎn)到直線的距離是由“垂直線段”、“長度”兩個(gè)要素構(gòu)成的，緊接著組織討論“如何找到正確的距離”，從中梳理出“一畫、二量”的操作步驟。又如設(shè)計(jì)二中安排了“點(diǎn)A到線段DE的距離”判斷選擇，在明確垂直線段的起點(diǎn)不是點(diǎn)A，最后通過交流明確2厘米也是距離，只不過是另外一點(diǎn)到線段DE的距離，強(qiáng)調(diào)了“指定的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的直線”這一概念先決要素。這樣，通過“距離”概念的辨析和“得到距離”操作步驟的梳理，及時(shí)強(qiáng)化了“距離是垂直線段的長度”過程性表象建立，有利于幫助學(xué)生形成動(dòng)態(tài)化的概念。

三、注重內(nèi)化，刻畫概念壓縮應(yīng)用的過程

在發(fā)生式定義概念獲得過程中，盡可能展現(xiàn)概念發(fā)生整個(gè)過程，而在概念應(yīng)用環(huán)節(jié)則要盡可能壓縮過程，在不同情境中提取出概念的核心要素，這也是考查學(xué)生概念內(nèi)化程度的重要手段。如果學(xué)生在較為復(fù)雜的情境中能夠較快地抽象出“距離”概念，說明學(xué)生較好地內(nèi)化了概念。

兩篇設(shè)計(jì)中設(shè)置的復(fù)雜情境主要有兩種情形。一種情形是在圖形中提高了對(duì)“距離”辨識(shí)的要求，集中體現(xiàn)在給出一個(gè)直角三角形讓學(xué)生尋找圖形的“距離”這個(gè)情境：設(shè)計(jì)一給出直角三角形ABC邊長分別為 5cm、12cm、13cm，設(shè)計(jì)二給出直角三角形ABC邊長分別為 3cm、4cm、5cm，通過“點(diǎn)A到線段BC的距離是（ ）厘米，點(diǎn)C到線段（）的距離是12厘米”的開放練習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩條直角邊長度都可以視作相應(yīng)的點(diǎn)到直線的距離，把先前平面圖形一條“距離”提升到兩條，有效推進(jìn)了學(xué)生對(duì)概念的壓縮內(nèi)化進(jìn)程。另一種情形是生活問題的解決，教學(xué)中都安排了“怎樣測量跳遠(yuǎn)的距離”感受距離在生活中的實(shí)際應(yīng)用，從抽象的層面促進(jìn)了概念的內(nèi)化理解。

總之，兩篇設(shè)計(jì)能夠抓住發(fā)生式定義概念特點(diǎn)，在充分刻畫概念構(gòu)造生發(fā)過程的同時(shí)，重視了概念內(nèi)化理解應(yīng)用的落實(shí)，為發(fā)生式定義概念教學(xué)提供了較好的思路。