黃　超，張劍云，朱家兵，張正言

(1.解放軍電子工程學院，安徽 合肥 230037；2.中國電子科技集團公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088)

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黃超1，張劍云1，朱家兵2，張正言1

(1.解放軍電子工程學院，安徽 合肥 230037；2.中國電子科技集團公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088)

摘要:針對傳統(tǒng)波達方向估計算法對相干信號失效的問題，提出了基于加權-改進多信號分類法(MUSIC)的波達方向估計算法。該算法首先對接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進行重構，進而構造出新的噪聲子空間，再根據(jù)特征值大小對噪聲子空間特征向量進行加權，完成對相干信號的波達方向估計。仿真分析表明，算法成功地完成了對相干信號的波達方向估計。

關鍵詞:相干信號；矩陣重構；加權-改進；波達方向估計

0引言

波達方向(Direction of Arrivals，DOA)估計是陣列信號處理中的一項關鍵技術，常被應用于雷達、通信、聲吶和地震勘探等領域[1]。在DOA估計算法中，多信號分類算法是最經典的算法之一，它一般通過譜峰搜索來檢測信號的DOA。該算法對不相干或相干程度較小的信號具有較高的的空間分辨率，但隨著信號相干程度的增加，空間分辨率就會逐漸下降，直至完全失效[2-3]。

而在信號多徑傳播或存在欺騙干擾的情況下，信號之間常常是完全相干的，MUSIC算法完全失效。為了完成相干信號的DOA估計，就必須對相干信號進行解相干處理。解相干算法主要分為兩類：一是降維處理，二是非降維處理。降維處理解相干主要包含空間平滑類算法[4-5]。其中，雙向空間平滑(Forward and Backward Spatial Smoothing，F(xiàn)BSS)算法綜合性能較好，但它在解相干的過程中犧牲了陣列孔徑，而且計算較為復雜。非降維處理主要通過將數(shù)據(jù)接收矩陣構造成Toeplitz矩陣[6-7]來實現(xiàn)解相干。

針對MUSIC算法對相干信號失效的問題，文獻[8-9]提出了改進的MUSIC(Modified Multiple Signal Classifi-cation，MMUSIC)算法，MMUSIC算法通過對接收信號協(xié)方差矩陣作預處理，使重構后的協(xié)方差矩陣滿足Toeplitz特性，并且協(xié)方差矩陣分解后得到的信號子空間與噪聲子空間能夠正交，從而降低了噪聲的影響。但當信噪比很低、信號入射角度間隔很小且相關時，MMUSIC算法就不能準確地區(qū)分信號，DOA估計性能降低。針對這個問題，本文對該算法做進一步改進，提出了加權-改進MUSIC(Weighted-modified Multiple Signal Classifi-cation，WMMUSIC)算法。

1MUSIC算法及其改進算法

1.1信號模型

假設有N個窄帶遠場信號入射到M元均勻直線陣列，入射角度為θi(i=1,2…,N)，信號波長為λ，陣元間距d=λ/2，則陣列接收信號矢量為：

X(t)=As(t)+n(t)

(1)

其中，X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T是陣列輸出矢量，A是陣列流型矢量，s(t)是入射信號矢量，n(t)是陣列噪聲矢量，假設n(t)是均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲。

s(t)=[s1(t),s2(t),…,sN(t)]T

(2)

n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T

(3)

A=[a(θ1),a(θ2),…a(θN)]

(4)

a(θi)=[1,exp(φ),…exp((M-1)φ)]T

(5)

1.2MUSIC算法

MUSIC算法是最經典的超分辨DOA估計算法之一，它首先構造接收數(shù)據(jù)的自相關陣，然后對該自相關陣做特征分解并構造相應的特征子空間，最后通過特征子空間確定信號的到達方向。接收數(shù)據(jù)X(t)=As(t)+n(t)，則它的協(xié)方差矩陣

RX=E[X(t)X(t)H]=ARsAH+σ2I

(6)

假設待估計信號之間相互獨立，Rs=E[s(t)s(t)H]為滿秩矩陣，RX的秩為待估計信號的個數(shù)N，對RX進行特征分解：

(7)

信號子空間也可以由A張成，即span[Es]=span[A]。由于span[En]⊥span[Es]，可知span[En]⊥span[A]，可推出AHEn=0，即A的N個導向矢量與噪聲子空間的特征向量正交。利用該正交關系可構造MUSIC空間譜估計為：

(8)

MUSIC算法在理想條件下具有良好的性能，但在信號相干時算法的性能會受到嚴重影響。當信號源完全相干時，陣列接收的數(shù)據(jù)協(xié)方差秩為1，這將會導致信號子空間的維數(shù)小于信號源數(shù)，導致相干源的導向矢量與噪聲子空間不完全正交，從而無法正確估計信號源方向。所以解相干的核心問題是如何通過一系列處理或變換使得信號協(xié)方差矩陣的秩得到有效恢復，從而正確估計信號源的方向。

1.3MMUSIC算法

空間平滑類算法能夠解決相干信號源的問題，但是，由于將接收陣列分成了多個子陣，減小了陣列孔徑，使得陣列的分辨率降低；同時也減小了可估計信源的數(shù)目，增加了算法的運算復雜度。對此，一些學者提出了MMUSIC算法，其實質是FBSS算法中的一種特殊清況，能夠對相干信號進行DOA估計。該方法以陣列自身為子陣，使得平滑后陣列的孔徑保持不變，保證了陣列的分辨率；同時由于該方法只有一個子陣，運算量相對于雙向空間平滑算法有一定的降低。MMUSIC算法的基本原理如下：

陣列接收數(shù)據(jù)為X(t)=As(t)+n(t)，令

Y(t)=JX*(t)

(9)

其中，X*(t)是X(t)的復共扼，J是M×M階交換矩陣，JHJ=1。

(10)

(11)

用R替代RX進行特征值分解，獲得新的特征值和特征向量，并依此構造出新的噪聲子空間Vn。則MMUSIC算法的空間譜估計函數(shù)為：

(12)

2.1算法原理及流程

在MMUSIC算法中，通過對接收數(shù)據(jù)X(t)進行數(shù)學變換得到Y(t)，然后分別求出X(t)和Y(t)的自協(xié)方差矩陣，最后用求出的兩個自協(xié)方差矩陣的均值來代替原先接收數(shù)據(jù)X(t)的協(xié)方差矩陣進行特征值分解。在該方法中，僅僅利用了X(t)和Y(t)的自協(xié)方差矩陣信息，而并沒有考慮X(t)和Y(t)的互協(xié)方差矩陣信息。本文基于MMUSIC算法，充分利用X(t)和Y(t)的自協(xié)方差矩陣和互協(xié)方差矩陣信息，構造新的增廣矩陣；然后對新的接收數(shù)據(jù)矩陣進行奇異值分解得到相應的噪聲子空間，并與傳統(tǒng)的MUSIC算法分解得到的噪聲子空間按特征值大小進行比較，選擇較大特征值對應的特征向量來構造新的噪聲子空間；并針對噪聲子空間中特征向量不完全一致的情況，根據(jù)特征值大小對特征向量進行加權，提出一種加權-改進MUSIC (WMMUSIC)算法。WMMUSIC算法的基本步驟如下：

1)構造增廣接收數(shù)據(jù)矩陣

令Y(t)=JX*(t)，則

(13)

充分利用互協(xié)方差信息，構造增廣矩陣，令Rnew=[RXRYRXYRYX]。

2)構造新的噪聲子空間和加權值

對Rnew進行奇異值分解

[U,S,V]=svd(Rnew)

(14)

其中，特征值矩陣S=diag(λs1,λs2,…λsM)，特征值按從大到小排列，特征向量矩陣U=[u1,u2,…uM]。由式(7)知RX=EΛEH，將S和Λ中的特征值作比較，選擇對應位置較大的特征值構造新的特征值矩陣Snew=diag(λnew1，λnew2，…，λnewM)，同時選擇新特征值對應的特征向量構造新的特征向量矩陣Unew，則可得到新的噪聲子空間為：

UNnew=Unew(N+1:M)

(15)

針對新的噪聲子空間構造加權值W。

(16)

3)譜峰搜索

基于WMMUSIC算法的空間譜估計函數(shù)為：

(17)

2.2算法的運算量分析

FBSS算法的運算量:1)若選取子陣長度為m，則數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣估計的運算量為2×O(L(M-m+1)m2)，L為快拍數(shù)；2)對協(xié)方差矩陣進行奇異值分解，其運算量為O(m3)；則總的運算量為2×O(L(M-m+1)m2)+O(m3)。

WMMUSIC算法的計算過程與MMUSIC算法相當，協(xié)方差矩陣估計時構造了增廣矩陣Rnew=[RXRYRXYRYX]，估計RX、RY的運算量為O(L(M2+2M))，RXY與RYX互為共軛轉置，估計RXY與RYX的運算量為O(LM2)，則算法總運算量為O(2LM2+2LM+M3)。

3仿真分析

為了分析WMMUSIC算法的DOA估計性能，采用陣元數(shù)為8的均勻直線陣進行仿真實驗。陣元間距取為d=λ/2，入射信號為窄帶遠場信號，噪聲為均值為0，方差為1的復加性白噪聲。

實驗1驗證WMMUSIC算法DOA估計的有效性

假設兩個窄帶遠場全相干信號，它們的入射角度分別為-10°和0°，信噪比為SNR=10 dB，快拍數(shù)為512，DOA估計結果如圖1所示。兩個窄帶遠場不相干信號，它們的入射角度分別為-10°和0°，其余條件相同，DOA估計結果如圖2所示。三個窄帶遠場信號，其中前兩個信號全相干，第三個信號是非相干信號，入射方向分別為-30°、0°和25°，其余條件相同，DOA估計結果如圖3所示。

圖1至圖3證明了本文WMMUSIC算法對相干信號、獨立信號以及兩者的混合信號均能進行DOA估計。

實驗2 WMMUSIC算法對相干信號的DOA估計性能分析

假設兩組全相干信號，一組的入射角度分別為-10°和0°，信噪比為SNR=10 dB，快拍數(shù)為512；另一組的入射角度為5°和0°，信噪比為SNR=5 dB。兩組實驗中加WMMUSIC算法、MMUSIC算法的DOA估計仿真結果如圖4、圖5所示。

圖1　相干信號DOA估計Fig.1　Coherent signals DOA estimation

圖2　獨立信號DOA估計Fig.2　Incoherent signals DOA estimation

圖3　混合信號DOA估計Fig.3　Mixed signals DOA estimation

圖4　DOA估計比較(SNR=10 dB,角度間隔為10°)Fig.4　The comparison of DOA estimation

圖5　DOA估計比較(SNR=5 dB,角度間隔為5°)Fig.5　The comparison of DOA estimation

圖6　RMSE與信噪比之間的關系Fig.6　The relationshipbetween RMSE with SNR

由圖4、圖5可看出，當信噪比為SNR=10dB，信號角度間隔為10°時，本文的WMMUSIC算法和MMUSIC算法均具有良好的DOA估計效果，但本文算法譜峰更加尖銳，分辨率更高。當信噪比和信號角度間隔分別降低至5dB和5°時，MMUSIC算法已經不能進行有效分辨，但本文算法依然可以準確地區(qū)分出兩個相干信號。

由圖6可看出，在快拍數(shù)一定的情況下，隨著信噪比的增大，三種DOA估計算法的RMSE逐漸減小，估計精度增高。在信噪比較低時，WMMUSIC算法的RMSE比MMUSIC算法略低，遠好于FBSS算法。這說明本文的WMMUSIC算法在低信噪比時擁有更高的DOA估計精度。

由圖7可看出，在取低信噪比SNR=-10dB的情況下，隨著快拍數(shù)的增大，三種DOA估計算法的RMSE逐漸減小，估計精度增高。當快拍數(shù)較小時，WMMUSIC算法的RMSE低于MMUSIC算法和FBSS算法。說明在快拍數(shù)較小時，本文的WMMUSIC算法DOA估計精度優(yōu)于其他兩種方法。

實驗3WMMUSIC算法的運算量分析

假設陣元數(shù)M=8，快拍數(shù)在1到512之間變化，算法運算量的變化如圖8所示。假設快拍數(shù)為L=512，陣元數(shù)在8到20之間改變，仿真結果如圖9所示。設定雙向空間平滑算法的子陣長度為M-3。

對比圖8、圖9可知，陣元數(shù)對運算量的影響要大于快拍數(shù)對運算量的影響，這是因為快拍數(shù)只能決定協(xié)方差矩陣估計的運算量。當陣元數(shù)逐漸增大時，算法運算量顯著增加，本文WMMUSIC算法的運算量略高于MMUSIC算法，但遠小于FBSS算法的運算量。

圖7　RMSE與快拍數(shù)之間的關系Fig.7　The relationship between RMSE with snapshots

圖8　運算量與快拍數(shù)的關系Fig.8　The relationship between computation withsnapshots

圖9　運算量與陣元數(shù)的關系Fig.9　The relationship between computation with array elements

4結論

本文提出了基于加權-改進MUSIC算法的相干信號DOA估計算法。該算法在MMUSIC算法的基礎上，充分利用互協(xié)方差信息，通過構造增廣矩陣得到新的協(xié)方差矩陣；然后對新的接收數(shù)據(jù)矩陣進行奇異值分解得到相應的噪聲子空間，并與傳統(tǒng)的MUSIC算法分解得到的噪聲子空間按特征值大小進行比較，選擇較大特征值對應的特征向量來構造新的噪聲子空間；最后根據(jù)特征值大小對噪聲子空間特征向量進行加權，完成對信號的DOA估計。仿真分析表明，該算法沒有孔徑損失，能夠在低信噪比情況下分辨出間隔較小的相干信號；在低信噪比和低快拍數(shù)的情況下，DOA估計精度優(yōu)于FBSS算法和MMUSIC算法；算法運算量遠低于FBSS算法，但略高于MMUSIC算法。下一步將在降低算法的運算量、提升算法在信號角度間隔較小時的DOA估計性能方面展開進一步研究。

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DOA Estimation of Coherent Signals Based on Weighted-modified MUSIC Algorithm

HUANG Chao1, ZHANG Jianyun1, ZHU Jiabing2, ZHANG zhengyan1

(1.Electronic Engineering Institute, Hefei 230037, China；2.No.38 Research Institute of CETC, Hefei 230088, China)

Abstract:Because classical DOA(Direction of Arrival) estimation algorithms often fail to deal with coherent signals, a new DOA estimation algorithm based on weighted-modified MUSIC(Multiple Signal Classifi-cation) algorithm was proposed in this paper. In this algorithm, the data covariance matrix was reconstructed at first, and new noise subspace was constructed then. Finally the eigenvectors of noise subspace were weighted based on the size of the gain value, and the DOA estimation of coherent signals was completed. Computer simulation indicated the algorithm estimated the DOA of coherent signals successfully.

Key words:coherent signals； matrix reconstruction；weighted-modified；DOA estimation

中圖分類號:TN957.51

文獻標志碼:A

文章編號：1008-1194(2016)01-0042-05

作者簡介:黃超(1991—)，男，安徽舒城人，碩士研究生，研究方向：雷達信號處理、陣列信號處理。E-mail：18226658179@163.com

基金項目:中國博士后科學基金(2014M552606)；安徽省自然科學基金項目資助(1408085MF111)

*收稿日期:2015-08-05