成思源

[摘要]在高中物理中，測量重力加速度常常采用單擺法，此法要求單擺的初始擺角小于5度。當(dāng)擺角大于5度后的擺動(dòng)周期如何呢？有不少研究者對(duì)此問題作了分析探討。在此借助Mathematica軟件，用橢圓積分法，研究無阻尼狀態(tài)下單擺的大擺角運(yùn)動(dòng)，并計(jì)算得出不同擺角下單擺運(yùn)動(dòng)的周期。

[關(guān)鍵詞]Mathematica 橢圓積分 大擺角運(yùn)動(dòng) 周期

[中圖分類號(hào)]G633.7 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)] 16746058（2016）050052

一、引言

擺動(dòng)是最基本的物理現(xiàn)象，單擺是高中物理的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)，可用來展現(xiàn)多種力學(xué)現(xiàn)象。對(duì)于單擺，教材通過推導(dǎo)得出擺角小于5度時(shí)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律近似為簡諧振動(dòng)，并直接給出其周期公式T0=2πl(wèi)/g，這里l是擺長，g是重力加速度。但是當(dāng)擺角大于5度時(shí)，其周期為多少？能不能通過什么方法計(jì)算出來？這個(gè)問題有不少人想過，但大多數(shù)都束手無策，原因有以下兩點(diǎn)：（1）實(shí)際單擺在做大擺角運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于各種阻力作用，其擺角減小較快，因此很難用實(shí)驗(yàn)的方法準(zhǔn)確測量較大擺角下的周期；（2）大擺角單擺的運(yùn)動(dòng)方程為非線性微分方程，很難用高中數(shù)學(xué)求其周期，但是周期可以用數(shù)學(xué)中的橢圓積分來表示。橢圓積分是數(shù)學(xué)中的一個(gè)特殊函數(shù)，對(duì)高中學(xué)生來說極為陌生。Mathematica軟件中有專門的內(nèi)部數(shù)學(xué)函數(shù)可以計(jì)算橢圓積分。本文嘗試用Mathematica軟件得出不同擺角下的周期值。

二、較大擺角下單擺周期的推導(dǎo)

眾所周知，單擺在擺動(dòng)過程中，必須滿足能量守恒。為了討論方便，本文以擺球下擺到最低點(diǎn)時(shí)，擺球重力等于擺球運(yùn)動(dòng)所需向心力情況下的擺角為討論的最大擺角，由此有：mg=mv2/l；由機(jī)械能守恒有：mgl（1-cosα）=mv2/2。從上面兩式可得單擺的“最大”擺角為60度。

以擺角α（角度°）為橫坐標(biāo)，以約化周期T/T0為縱坐標(biāo)，畫出圖像如下圖所示。人教版物理選修3-5標(biāo)注中給出“用高等數(shù)學(xué)進(jìn)行計(jì)算：偏角為15度時(shí)與公式相差0.5%，23度時(shí)相差1%，”與本方法所得的結(jié)論完全吻合。

[參考文獻(xiàn)]

梅宇航，董平.基于MATLAB的單擺初始擺角的討論[J].中學(xué)物理，2009（6）：21-24.

（責(zé)任編輯 易志毅）