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不可忽視的非等價轉(zhuǎn)化解題

甘志國

(北京市豐臺區(qū)二中，100071)

等價轉(zhuǎn)化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想.在解題中的作用往往體現(xiàn)在化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉,并且通過等價轉(zhuǎn)化得到的結(jié)果是不需要檢驗的.

但在數(shù)學(xué)解題中,有很多情形不易、不宜、甚至是不可能進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化(比如,解超越方程、解超越不等式、由遞推式數(shù)列通項公式等等),這時只有“退而求其次”,可以考慮用非等價轉(zhuǎn)化的方法來解題.常見的方法有“先必要后充分”和“先充分后必要”.

下面通過例題的解答來闡述這兩種解題方法.

一、先必要后充分

分析若用等價轉(zhuǎn)化來求解,就要對f(-x)=-f(x)等價變形,再由恒等關(guān)系式求出正常數(shù)a的取值范圍.其中的運(yùn)算量較大且復(fù)雜.

用“先必要后充分”的方法，只要注意奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,由f(x)的定義域是(-∞,log2a)∪(log2a,+∞),立即得到f(x)為奇函數(shù)的必要條件是log2a=0,a=1.

驗證后易知當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以所求a的取值范圍是{1}.

可得a1+a2+…+an>a1a2…an,即

①

接下來如用等價轉(zhuǎn)化則不易求出其解集，這里可先用不等式適當(dāng)放縮找出①成立的必要條件，再驗證極端情形求出n的最大值.

由①可得

n≤12.

易驗證n=12時① 成立(即212-1>11成立),所以，滿足題設(shè)的最大正整數(shù)n的值為12.

例3(2012年全國高考題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.

解(1)減區(qū)間是(-∞,lna),增區(qū)間是(lna,+∞).

(2)由題設(shè)可得xex-kex+k+1>0(x>0)恒成立.

接下來,若再進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化(比如分離常數(shù)后求相應(yīng)函數(shù)的最值),可能不易解決(因為求最值時需要求導(dǎo)函數(shù)的零點,很可能求不出來).但我們可以運(yùn)用“先必要后充分”的方法來求解.

下面驗證k=2時成立:

設(shè)g(x)=xex-2ex+3(x>0),則

g′(x)=(x-1)ex(x>0).

易見g(x)min=g(1)=3-e>0.

所以，所求k的最大值是2.

例4設(shè)f(x)=a2lnx-x2+ax(a>0).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求使e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立的實數(shù)a的取值范圍(其中e為自然對數(shù)的底).

解(1)可得

當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表所示:

x(0,a)a(a,+∞)f'(x)+0-f(x)↗極大值↘

所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,a),減區(qū)間是(a,+∞).

(2)若對題設(shè)“e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立”進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,則須求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值和最小值,就須對參數(shù)a進(jìn)行分類討論,解法會很復(fù)雜.

但我們可以運(yùn)用“先必要后充分”的方法來求解.

由題設(shè),可得f(1)=a-1≥e-1,a≥e.

再由函數(shù)f(x)在[1,e]上遞增,所以

e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立

?a=e,

所以，所求實數(shù)a的取值范圍是{e}.

例5(2013年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(1)求a,b,c,d的值;

(2)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

解(1)a=4,b=c=d=2(過程略).

(2)若對題設(shè)“當(dāng)x≥-2時,f(x)≤kg(x)恒成立”進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,則需分離常數(shù)并分類討論,求相應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值,過程會較復(fù)雜.

但我們可以運(yùn)用“先必要后充分”的方法來求解.

由(1)知

f(x)=x2+4x+2,g(x)=(2x+2)ex.

由x=-2時f(x)≤kg(x)成立,得k≤e2；由x=0時f(x)≤kg(x)成立,可得k≥1.

所以，題設(shè)即為“x≥-2時h(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2≥0(1≤k≤e2)恒成立”.

因h′(x)=2(x+2)(kex-1),令h′(x)=0,得x=-lnk(1≤k≤e2).

進(jìn)而還可得:函數(shù)h(x)(x≥-2)的最小值h(-lnk)=(2-lnk)lnk≥0,所以所求k的取值范圍是[1,e2].

二、 “先充分后必要”

下面談?wù)動脤?dǎo)數(shù)求解一類參數(shù)取值范圍問題的好方法——“先充分后必要”.

例6(2006年全國高考題)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1).若對所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求實數(shù)a的取值范圍.

解設(shè)g(x)=f(x)-ax=(x+1)ln(x+1)-ax(x≥0),原題設(shè)即g(x)≥g(0)=0(x≥0)恒成立.

當(dāng)g(x)(x≥0)是增函數(shù)即g′(x)≥0(x≥0)恒成立時滿足題設(shè).

因g′(x)=ln(x+1)+1-a(x≥0),且g′(x)(x≥0)是增函數(shù),所以當(dāng)g′(0)=1-a≥0，即a≤1時滿足題設(shè).

當(dāng)a>1時,得g′(x)的零點為ea-1-1,且當(dāng)x∈(0,ea-1-1)時,g′(x)<0,即g′(x)在(0,ea-1-1)上是減函數(shù),得g(x)

所以，所求a的取值范圍是(-∞,1].

評注例6這種題型——“用導(dǎo)數(shù)求解一類參數(shù)取值范圍問題”在高考題中很常見,其解答方法——“先充分后必要”也是一種容易掌握的好方法;而用“常規(guī)”的等價轉(zhuǎn)化即分離常數(shù)法后再求相應(yīng)函數(shù)的最值卻難以求解.

下面再舉兩例談?wù)勥@種題型及其解法.

題設(shè)即g(x)>g(0)=0(0

當(dāng)g(x)(00恒成立，也即k≤2時滿足題設(shè).

綜上，所求k的最大值為2.

例8(2010年全國高考題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2,若當(dāng)x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.

解題設(shè)即f(x)≥f(0)=0(x≥0)恒成立.

所以，當(dāng)f(x)(x≥0)是增函數(shù)，即f′(x)≥0(x≥0)恒成立時滿足題設(shè).

因f′(x)=ex-1-2ax，f′(0)=0,

所以，當(dāng)f′(x)(x≥0)是增函數(shù)，即f″(x)≥0(x≥0)恒成立時滿足題設(shè).