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“極限化”策略在選擇題中的應(yīng)用

陳瑞清林新建

(福建省莆田第六中學(xué)，351111)(福建省漳州第一中學(xué)，363000)

“極限化”是重要的數(shù)學(xué)解題策略之一,是“有限與無限思想”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用．

有限與無限相比,有限顯得具體,無限顯得抽象,對有限的研究往往先于對無限的研究；反之,當(dāng)積累了解決無限問題的經(jīng)驗之后,可以將有限問題轉(zhuǎn)化成無限問題來解決．

這種無限化有限、有限化無限的解決數(shù)學(xué)問題的策略就是極限化策略,它可以幫助我們快速探明問題的解決方向,輕松得到問題的答案．

以下就它在課標卷選擇題中的應(yīng)用舉例賞析,以饗讀者．

解本題是一道考查基礎(chǔ)知識和基本方法的好題,求解方法多,但都不如運用極限化策略求解簡單快捷.

例2(2010年全國高考題)已知函數(shù)

若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是()

(A)(1,10)(B)(5，6)

(C)(10,12)(D)(20,24)

解同樣,本題運用極限化策略求解輕松快捷,唾手可得.

令a<1且a→1,b>1且b→1,則f(a)=f(b)→0,從而由f(c)→0，得

結(jié)合選項即知正確答案為C．

例3(2013年全國高考題)已知函數(shù)

若|f(x)|≤ax,則a的取值范圍是()

(A)(-∞,0](B)(-∞,1]

(C)[-2,1](D)[-2,0]

解本題依常規(guī)方法求解很難,若結(jié)合圖形運用極限化策略求解，則輕松快捷.

當(dāng)x→-∞時,因a不能趨向于-∞,故可排除選項A、B;

例4(2013年全國高考題)已知點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將ΔABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是()

解本題運用常規(guī)方法求解極為繁瑣,運用極限化策略求解簡單快捷.

其實,歷年的全國卷試題都注重對極限思想與極限化策略的考查,以下再舉幾例．

例5(2001年全國高考題)一間民房的屋頂有如圖1三種不同的蓋法:① 單向傾斜;② 雙向傾斜;③ 四向傾斜,記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3．

若屋頂斜面與水平面所成的角都是α,則()

(A)P3>P2>P1

(B)P3>P2=P1

(C)P3=P2>P1

(D)P3=P2=P1

解本題運用常規(guī)方法求解較為繁瑣,而運用極限化策略瞬間可得.

令α→0,則Pi→P0(i=1,2,3),故正確選項為D．

例6(2002年高考全國卷試題)已知0

(A)loga(xy)<0

(B)0

(C)1

(D)loga(xy)>2

解本題運用常規(guī)方法求解也不難,但遠不如運用極限化策略求解來得輕松快捷.

令y→x→0+,則xy→0+,loga(xy)→+∞,結(jié)合選項即知正確答案為D．

例7(2003年全國高考題)已知長方形的四個頂點A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1)．一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后,依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4(入射角等于反射角)．設(shè)P4的坐標為(x4,0)．若1

以上例子凸顯了極限化策略的解題威力,教學(xué)或平時學(xué)習(xí)時應(yīng)加強滲透和應(yīng)用．