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挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)游刃數(shù)學(xué)解題
——從高三數(shù)學(xué)習(xí)題評(píng)講課說(shuō)起

秦志偉

(江蘇省天一中學(xué)，214101)

高三復(fù)習(xí)階段,免不了有很多的數(shù)學(xué)習(xí)題評(píng)講課．習(xí)題評(píng)講課上,教師首先要解決本班學(xué)生在這些習(xí)題上出現(xiàn)的主要問(wèn)題,其次要通過(guò)這些習(xí)題,對(duì)零碎的知識(shí)點(diǎn)加以梳理和整合,以期學(xué)生的學(xué)科知識(shí)能趨于系統(tǒng)化．隨著復(fù)習(xí)的深入,學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握日趨牢固,對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)化理解日趨完善,在此階段,筆者認(rèn)為,教師的教學(xué)側(cè)重點(diǎn)可以傾向于數(shù)學(xué)問(wèn)題的優(yōu)化解決、問(wèn)題的本質(zhì)探尋和問(wèn)題的多角度解決．這樣做,一方面能持續(xù)引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,另一方面能引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行探究，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)．

筆者結(jié)合本人高三教學(xué)習(xí)題評(píng)講課上的幾個(gè)案例,以期說(shuō)明數(shù)學(xué)問(wèn)題的更好解決有賴于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)探尋．

一、數(shù)學(xué)解題有賴于充分理解數(shù)學(xué)概念

生2:我的思路跟生1差不多,只是我是建系之后用坐標(biāo)算的．

教師此時(shí)結(jié)束討論,對(duì)三個(gè)學(xué)生都加以肯定,尤其肯定生3的做法,繼而強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)尤其要注重對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解．

我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)題目本身不難,但是它有評(píng)講的價(jià)值,因?yàn)榻柚谶@個(gè)題目我們的教學(xué)能達(dá)成多個(gè)目的．首先,復(fù)習(xí)了向量問(wèn)題的兩種基本的解決思路——基底法和坐標(biāo)法;其次,利用向量數(shù)量積的定義能大大優(yōu)化算法;最后,通過(guò)這個(gè)具體的例子,讓學(xué)生意識(shí)到充分理解數(shù)學(xué)概念,有利于挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

上習(xí)題課前,教師首先應(yīng)評(píng)估題目的價(jià)值,評(píng)估的依據(jù)不是正確率也不是難度,而是這個(gè)題目能給學(xué)生帶來(lái)什么樣的啟示．題目,僅僅是一個(gè)載體,它應(yīng)承載著搭建系統(tǒng)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、啟迪學(xué)生更有效的思考和傳遞教師的良好倡導(dǎo)等使命．教師利用題目,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念加以充分理解就是一個(gè)不錯(cuò)的導(dǎo)向．?dāng)?shù)學(xué),本身就是一門(mén)注重概念的學(xué)科,數(shù)學(xué)的建構(gòu)完全依賴于一個(gè)一個(gè)明確的概念．所以,對(duì)數(shù)學(xué)概念的充分理解往往能從本質(zhì)上抓住解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵所在．

二、數(shù)學(xué)解題有賴于深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

課上兩位同學(xué)在黑板上展示了各自的解法:

生4:設(shè){an}的公差為d,由題意，知

(*)

教師讓其余學(xué)生對(duì)黑板上的兩種解法進(jìn)行評(píng)價(jià)，學(xué)生一致認(rèn)為生5的整體換元法簡(jiǎn)潔．教師不失時(shí)機(jī)的指出數(shù)列基本量的相對(duì)性保證了這種整體換元的可行性，學(xué)生表示很認(rèn)同．

這個(gè)問(wèn)題的解決,整體化思想的使用固然巧妙,但深層次的原因則是基底化思想的使用．確定一個(gè)等差數(shù)列需要兩個(gè)量,可以是基本量也可以是其他量,等差數(shù)列的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為用兩個(gè)基本量來(lái)表示,也可以轉(zhuǎn)化為用其他兩個(gè)量來(lái)表示(案例2中用了a1,a10這兩個(gè)量)．利用這種相對(duì)性,生5的方法就不難想到了，這種思想與向量基底的不唯一性是相通的,我們姑且將其叫做基底化思想．

習(xí)題課上讓不同的學(xué)生展示不同的解法,通過(guò)對(duì)解法的比較,學(xué)生能深刻感受到問(wèn)題的解決是如何被優(yōu)化的,以及優(yōu)化的深層原因正是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的深刻領(lǐng)悟．?dāng)?shù)學(xué),是一門(mén)注重理性思維的學(xué)科,其中的數(shù)學(xué)思想方法更是理性思維的精華所在,而數(shù)學(xué)的本質(zhì)也往往與這些思想方法相結(jié)合,所以,很多情況下深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想與發(fā)掘數(shù)學(xué)本質(zhì)是一致的．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不可能一蹴而就,它應(yīng)該始終貫穿于數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.尤其在習(xí)題課上,教師更應(yīng)該不失時(shí)機(jī)的利用具體的習(xí)題,讓學(xué)生切實(shí)感受到運(yùn)用思想挖掘本質(zhì)的過(guò)程．

三、數(shù)學(xué)解題有賴于積極轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)視角

這個(gè)習(xí)題是上一節(jié)課的思考題,教師用實(shí)物投影的方式展示了兩位學(xué)生的解法．

y2-4y+1≤0，

教師對(duì)兩種解法均給予高度肯定,并追問(wèn)求雙變量函數(shù)的最值還有哪些常用處理手段,由此引出這節(jié)習(xí)題課的一個(gè)主題．

這個(gè)案例是習(xí)題課上就一個(gè)主題討論前的引例.之所以選擇它,一方面是作為作業(yè)的反饋,肯定了學(xué)生的變現(xiàn),另一方面這兩種方

法都有一個(gè)共同點(diǎn),即實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)變量a,θ的分離,這樣就有便于我們逐個(gè)變量分析、研究．更深層次的目的,是為了引發(fā)學(xué)生就雙變量函數(shù)最值問(wèn)題的解決方法的討論．

我們常常要求學(xué)生解題要靈活,學(xué)生的靈活性不僅依賴于其全面的知識(shí)體系，更依賴于其發(fā)散的思維．習(xí)題評(píng)講課就可以借助典型題目,通過(guò)一題多解,以期概括一類問(wèn)題的解決方法并啟迪學(xué)生發(fā)散的思維．對(duì)數(shù)學(xué)的理解本身就有不同的方式,比如一條直線,我們既可以從形上來(lái)認(rèn)識(shí)它,也可以通過(guò)它的方程來(lái)研究它;比如一個(gè)代數(shù)式,我們既可以賦予其一定的幾何意義,也可以通過(guò)函數(shù)來(lái)研究它．問(wèn)題的本質(zhì)只有一個(gè),但我們可以用不同的方式來(lái)理解本質(zhì),這樣就會(huì)形成不同的解決方法．經(jīng)常有針對(duì)性的在習(xí)題評(píng)講課上設(shè)計(jì)一題多解,可以幫助學(xué)生從不同的角度理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),從而找到最優(yōu)化的方法,同時(shí)也啟迪其發(fā)散思維．

數(shù)學(xué)問(wèn)題的完美解決有賴于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的挖掘,而數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘又有賴于對(duì)數(shù)學(xué)概念的充分理解、對(duì)思想方法的深刻領(lǐng)悟以及積極地轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)視角．教師充分利用習(xí)題評(píng)講課,通過(guò)一個(gè)個(gè)具體例子,采取不同的教學(xué)方式,如討論、展示或比較等,與學(xué)生一起經(jīng)歷挖掘本質(zhì)的過(guò)程．如此,能使高三習(xí)題評(píng)講課真正走上高效之路;如此,既能在高三階段持續(xù)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,也能啟迪更深刻和更發(fā)散的思維．