黃寧　李素云

【摘要】電工學(xué)教材中對于復(fù)雜混聯(lián)電路的等效電阻計(jì)算介紹不多，導(dǎo)致學(xué)生求解時(shí)十分困難，甚至出現(xiàn)無從下筆，針對這種情況，總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，歸納出幾種較直觀和容易理解與掌握的求解方法，介紹各種方法的計(jì)算步驟，并指出這些方法的各自特點(diǎn)和相應(yīng)的適用場合，上述幾種方法有助于學(xué)生快速提高解題能力，可進(jìn)一步提高教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】混聯(lián)電路 等效電阻 末端遞推法 描點(diǎn)法

【Abstract】 There is little introduction for calculating the equivalent resistance of hybrid circuit in electrotechnics textbook， which causes to difficultly solve and did not know where to start. In view of this situation， the teaching experience was summarized， several more intuitive and easily grasped methods were summed up， calculative steps of these methods were introduced， and respective characteristics and corresponding application of these methods were pointed out. Above several methods can help students quickly increase ability of solving problems， and further improve the teaching effect.

【Key words】hybrid circuit； equivalent resistance； terminal recurrence method； depicting points method

【基金項(xiàng)目】廣西高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目 （2013JGA243）。

【中圖分類號】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）01-0231-02

電工學(xué)是機(jī)械設(shè)計(jì)制造及自動化本科專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課之一，為后續(xù)電類、控制類課程準(zhǔn)備必要的電路方面知識。在電路分析中，不僅僅是混聯(lián)電路需要計(jì)算等效電阻，后續(xù)的戴維寧定理和諾頓定理，以及一階線性電路狀態(tài)分析的三要素法都需要求解等效電阻?，F(xiàn)有的教材中對于復(fù)雜混聯(lián)電路的等效電阻計(jì)算描述不多，常用的方法是將電路按串、并聯(lián)逐層化簡后求解等效電阻[1-4]，需要繪制很多的電路圖，既耗時(shí)又費(fèi)力。文獻(xiàn)[5，6]僅從單方面計(jì)算等效電阻，應(yīng)用范圍不廣；文獻(xiàn)[7-10]分別給出了計(jì)算等效電阻的不同方法，但方法不直觀、簡潔，使用較繁瑣。此外，由于實(shí)際電路并不是簡單的串、并聯(lián)聯(lián)接，而是呈現(xiàn)多樣化，往往不能輕易看出各電阻之間的聯(lián)接形式，致使學(xué)生解題時(shí)無從下筆，因此在分析、求解等效電阻的方法上需有所不同。為此，根據(jù)以往的教學(xué)積累，總結(jié)歸納出一些容易理解和掌握的計(jì)算方法，幫助學(xué)生準(zhǔn)確地解答復(fù)雜混聯(lián)電路的等效電阻問題。

1.等效電阻

一個(gè)電阻可替代幾個(gè)連接電阻所起的作用，這個(gè)電阻稱之為幾個(gè)電阻的等效電阻。電路中無論電阻個(gè)數(shù)多少、聯(lián)接方式各異，都可用一個(gè)電阻來等效代替，不影響原電路兩端的電壓和流過電流的大小變化。串聯(lián)電路的等效電阻等于各串聯(lián)電阻之和，如兩個(gè)電阻串聯(lián)，則等效電阻R=R1+R2，電阻越多，等效電阻越大；并聯(lián)電路的等效電阻的倒數(shù)等于各支路電阻的倒數(shù)之和，如兩個(gè)電阻并聯(lián)，則1/R=1/R1+1/R2，電阻越多，等效電阻越小，且小于其中的任意電阻；混聯(lián)電路是串、并聯(lián)電路的組合，計(jì)算等效電阻時(shí)需要根據(jù)電阻的不同聯(lián)接形式，運(yùn)用不同的方法進(jìn)行。

2.無源網(wǎng)絡(luò)等效電阻計(jì)算

任何電路都可以看成是兩個(gè)端點(diǎn)輸出的二端網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)有無電源（電壓源或電流源）可分為有源二端網(wǎng)絡(luò)和無源二端網(wǎng)絡(luò)。電阻混聯(lián)電路屬于無源二端網(wǎng)絡(luò)。

2.1末端遞推法

當(dāng)電阻聯(lián)接形式出現(xiàn)如圖1所示，這種電路具有明顯的多層次結(jié)構(gòu)，電阻之間聯(lián)接關(guān)系較容易確定，可采用以下的步驟計(jì)算等效電阻：

①將總體計(jì)算思路分為逐層的局部等效電阻計(jì)算和整體等效電阻計(jì)算。

②計(jì)算中從最末端開始，依次往前遞推，根據(jù)串、并聯(lián)等效電阻計(jì)算公式分別求出每層的等效電阻。

③逐步對電路分層化簡后得出總等效電阻。

根據(jù)末端遞推法的計(jì)算步驟，可寫出圖1中最末層的等效電阻R11=R8//（R5+R6+R9），中間層等效電阻R22=R7//（R3+R4+R11），最后總等效電阻R0=R1+R2+R22。這種方法用于層次分明的電路，計(jì)算工作量較大。

2.2 電橋平衡法

對于電橋電路求解時(shí)，如果滿足電橋平衡條件，即相對的電橋臂電阻乘積相等（圖2中為R1R5=R2R4），則計(jì)算大為簡化。計(jì)算過程可按以下進(jìn)行：先把圖2中的cd支路進(jìn)行斷開或短接處理（因?yàn)閮牲c(diǎn)電位相等Vc=Vd），之后再按串、并聯(lián)分別計(jì)算。圖2中的等效電阻Rab=（R1+R4）//（R2+R5），或Rab=R1//R2+R4//R5。若電路中有多個(gè)電橋電路，根據(jù)平衡條件運(yùn)用此法進(jìn)行計(jì)算，其過程將變得非常簡單，但僅限于電橋平衡電路。

2.3 電路對稱簡化法

在一個(gè)復(fù)雜的電路中，當(dāng)電路結(jié)構(gòu)具有對稱性，則可利用電路的對稱性簡化電路圖，簡化計(jì)算過程，快速計(jì)算出等效電阻，它是一種巧妙的解題方法。

圖3所示電路具有左右、上下完全對稱，根據(jù)對稱簡化法，求解時(shí)取電路的四分之一，結(jié)合電橋平衡法，可方便地得到該部分的等效電阻Rae=1+1//1=1.5？贅；簡化后電路變成兩條兩個(gè)等效電阻串聯(lián)支路，之后進(jìn)行并聯(lián)聯(lián)接，總等效電阻Rab=（1.5+1.5）//（1.5+1.5）=1.5？贅。這種方法使用范圍較小，主要針對具有對稱結(jié)構(gòu)的電阻網(wǎng)絡(luò)。

2.4星形聯(lián)接與三角形聯(lián)接等效互換法

在電路中出現(xiàn)電阻既非串聯(lián)，又非并聯(lián)形式，可用星形（Y形）與三角形（△形）等效變換進(jìn)行簡化來計(jì)算等效電阻。圖4中左側(cè)表示為三角形聯(lián)接，電阻的串、并聯(lián)關(guān)系不易識別，計(jì)算總等效電阻比較麻煩，將它變成右邊的圖后，電阻之間的串、并聯(lián)聯(lián)接非常清晰，容易得到等效電阻Rab=Ra+（Rc+R5）//（Rd+R4），其中Ra、Rc、Rd為三角形轉(zhuǎn)換成星形的等效電阻，可由公式直接得到。

2.5 描點(diǎn)法

當(dāng)電路中電阻之間聯(lián)接關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，一種可靠的方法是在圖中導(dǎo)線相交之處分別用不同的點(diǎn)描述，通過對原電路進(jìn)行有效組合與重畫，將之變成易識別的聯(lián)接形式，之后求解等效電阻。圖5中等效電阻計(jì)算過程如下：

①分別找出電路中的相交點(diǎn)，并用不同的字母標(biāo)注，如圖所示；

②電路中導(dǎo)線直接聯(lián)接的點(diǎn)，用同一字母表示；

③按照從左到右的順序在一條直線上畫出各點(diǎn)，依次在每兩點(diǎn)之間填入相應(yīng)的電阻，對原電路進(jìn)行重畫；

④ 利用串、并聯(lián)公式計(jì)算等效電阻Rab=[R1//R2+（R3//R4+R6）//R5]//R7。

這種方法可用于任何復(fù)雜電阻電路等效電阻計(jì)算，能有效求解難度較大的題目，同時(shí)也能清晰地看出電阻之間的聯(lián)接關(guān)系，它是一種快速、實(shí)用的計(jì)算方法，思路單一，易于掌握，對初學(xué)者來說非常適宜。

3.有源網(wǎng)絡(luò)等效電阻計(jì)算

3.1無源法

利用戴維寧定理和諾頓定理分析電路時(shí)，其等效電阻的計(jì)算可采用無源化處理，即把理想電壓源短路、理想電流源開路，再根據(jù)電路結(jié)構(gòu)選擇上述無源網(wǎng)絡(luò)等效電阻計(jì)算方法進(jìn)行。

3.2 開路、短路法

將有源二端網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載去掉，形成開路狀態(tài)，計(jì)算此時(shí)的開路電壓U；再將負(fù)載短接，形成短路狀態(tài)，計(jì)算短路電流I；最后利用公式Req=U/I求得。

3.3 測量法

如圖6所示，用電壓表先測出負(fù)載R兩端的帶載電壓U；再斷開負(fù)載R支路，測量空載電壓U0，則有源網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Req=（U0/U-1）R。這種方法通常用于實(shí)驗(yàn)測試。

4.結(jié)束語

上述一些方法是多年教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)上積累而得，言簡意賅，通俗易懂，學(xué)生容易掌握，運(yùn)用這些方法能有效地解決復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的等效電阻問題。但在實(shí)際等效電阻求解中，需根據(jù)電阻聯(lián)接的不同形式，選擇合適的計(jì)算方法，才能快速、準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)果。當(dāng)然，熟練地運(yùn)用這些方法并非一朝一夕就能完成的，需要花一定的時(shí)間，通過不斷的訓(xùn)練來鞏固和提高，使同學(xué)們在練習(xí)實(shí)踐中理解透徹，完全掌握等計(jì)算效電阻的各種方法和技巧。

上述計(jì)算等效電阻的方法同樣適用于交流電路的等效阻抗求解。

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作者簡介：

黃寧（1974-），男，湖南永州人，博士，講師。