楊永俠，王 妍，郭 亮

(西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，西安710021)

廣義S變換域低照度圖像時頻分析及濾波

楊永俠，王 妍，郭 亮

(西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，西安710021)

為降低二維廣義S變換的計算復(fù)雜度和內(nèi)存占用度，基于二維廣義S變換時頻分析原理，提出了一種改進(jìn)快速離散正交S變換算法(FDOST).采用FDOST算法對低照度圖像進(jìn)行S變換，分析了高斯噪聲和原始圖像在廣義S變換域的時頻分布，給出了區(qū)分原始圖像和高斯噪聲的方法以及基于改進(jìn)廣義S變換低照度圖像時頻濾波法.對合成含噪圖像和實際低照度圖像進(jìn)行去噪仿真，結(jié)果表明：基于改進(jìn)廣義S變換FDOST濾波方法可去除圖像中的高斯噪聲，去噪后圖像信噪比較去噪前提升了6%，最大化保留了原始圖像信息.

廣義S變換；時頻分析；低照度圖像；高斯噪聲

數(shù)字技術(shù)的快速發(fā)展，使得數(shù)字圖像在人類的生產(chǎn)和活動中，占據(jù)越來越重要的地位，比如視頻監(jiān)控系統(tǒng)、超聲醫(yī)學(xué)診斷和地理信息系統(tǒng)等都要用到數(shù)字圖像，由于獲取圖像時受到外在環(huán)境、各種噪聲的影響使其不能獲得理想的圖像.因此在提取圖像有用信息、對圖像進(jìn)行模式識別等處理之前，常常要先對圖像進(jìn)行降噪處理.通常包括空間域和變換域兩類圖像降噪方法.空間域法基于原圖像，對數(shù)據(jù)直接進(jìn)行運算，計算像素的灰度值.目前有均值濾波、中值濾波等方法.變換域法基于圖像變換域進(jìn)行計算，通過對變換后的系數(shù)進(jìn)行處理，進(jìn)而進(jìn)行反變換以達(dá)到圖像去噪目的.目前多采用傅里葉變換和小波變換.廣義S變換作為一種較新的時頻變換分析方法，是介于短時傅里葉變換(Short-Time Fourier Transform,STFT)和小波變換(Wavelet Transformation,WT)之間的信號分析和處理方法，適用于處理非平穩(wěn)信號，其時頻譜分辨率受頻率影響，呈現(xiàn)多尺度聚焦性，且時頻譜與傅里葉譜直接相關(guān)，頻率的絕對相位不變，容許性條件為基本變換函數(shù)的非必要條件，消除了短時傅里葉變換和小波變換的譜分析缺陷[1-6]，并且時頻分辨率可變.文獻(xiàn)[1-3]進(jìn)行了二維S變換及其在圖像處理中的研究，結(jié)果表明S變換內(nèi)存需求量大，計算復(fù)雜，削弱了圖像實時處理效率，限制了其在視頻實時監(jiān)控領(lǐng)域的應(yīng)用.為了保證處理效率，其僅處理小圖像或者小面積感興趣區(qū)域.文獻(xiàn)[4]利用S變換進(jìn)行時頻濾波,結(jié)果表明S變換時頻濾波消除了傳統(tǒng)濾波方法濾波因子不隨時間、頻率變化而自動調(diào)節(jié)的局限.其時頻窗形狀和時窗寬度與頻率有關(guān).時頻譜在低頻段，頻率分辨率高于高頻段;在高頻段，時間分辨率高于低頻段.為了將S變換應(yīng)用于圖像降噪，本文在二維廣義S變換的基礎(chǔ)上引入快速離散正交S變換算法(Fast Discrete Orthonormal Stockwell Transform,FDOST)，降低計算復(fù)雜度，設(shè)計FDOST改進(jìn)算法的運算實現(xiàn)過程，通過仿真實驗設(shè)計高斯濾波窗口，應(yīng)用于低照度圖像的降噪中.

1 二維廣義S變換

基于一維廣義S變換，二維廣義S變換將一維時域信號和頻域信號映射于二維時頻平面,得到在空間域和頻率域的時頻譜，且時頻譜在空間域和頻率域的分辨率均優(yōu)于其他時頻分析方法[6].將S變換從一維空間推廣到二維空間,進(jìn)而在圖像處理中加以采用.S變換的時頻分辨率優(yōu)于其他圖像時頻分析方法,且圖像時頻呈現(xiàn)能力在圖像降噪領(lǐng)域優(yōu)勢明顯.

1.1 二維廣義S變換基本原理

由于一維廣義S變換可以由一維傅里葉變換推導(dǎo)出，因此二維廣義S變換可由二維傅里葉變換逐步推導(dǎo)出[7].與一維廣義S變換的實現(xiàn)相似，可將一維廣義高斯窗函數(shù)h(t,σ)擴展到二維廣義高斯窗函數(shù)h(tx,ty,σx,σy)，t為時間因子，σ為尺度因子，tx、ty為二維廣義高斯窗時間因子，在二維廣義窗函數(shù)中引入調(diào)節(jié)參數(shù)μ,p1和η,p2，分別來改變尺度因子σx和σy，得到二維廣義S變換.

令

(1)

式中：u為σx代換參數(shù)；v為σy代換參數(shù).

將二維圖像記為f(x,y)，其二維廣義S變換為

e-i2π(ux′+vy′)dx′dy′

(2)

式中：x，y為二維圖像像元坐標(biāo)；x′,y′為二維圖像像元廣義S變換代換坐標(biāo).

由一維廣義S變換和傅里葉變換的關(guān)系可推出二維廣義變換S(x,y,u,v)與二維傅里葉變換F(u,v)的關(guān)系[8]，其表達(dá)式具體為

(3)

1.2 二維廣義S變換的閾值圖像去噪

廣義S變換是小波變換的相位校正，因此，小波變換的一些理論也適用于廣義S變換.小波變換在圖像降噪中有著很好的效果，可把小波變換降噪原理引入到二維廣義S變換中[9].廣義S變換結(jié)合小波軟硬閾值去噪，區(qū)分有效信號和噪聲對應(yīng)的系數(shù)，從而得到基于二維廣義S變換的閾值圖像濾波方法.

含噪信號經(jīng)過廣義S變換后，有用信號主要集中在幅值比較大的廣義S變換系數(shù)中，而噪聲信號主要集中在幅值比較小的廣義S變換系數(shù)中.由于得到的廣義S變換的系數(shù)均為復(fù)數(shù)形式，這些系數(shù)可在復(fù)數(shù)域中進(jìn)行處理，即設(shè)一個半徑為T的圓形區(qū)域，將模值落在圓內(nèi)的廣義S變換的系數(shù)置零，將沒有落在圓內(nèi)的廣義S變換系數(shù)按照軟閾值去噪或硬閾值去噪方法進(jìn)行處理.

基于二維廣義S變換的閾值圖像去噪方法的實現(xiàn)過程如下：

1) 對二維圖像進(jìn)行二維的廣義S變換，得到廣義S變換系數(shù)S(i,j,m,n).

2) 對二維廣義S變換系數(shù)S(i,j,m,n)運用閾值去噪的方法進(jìn)行去噪處理.選取合適閾值T，將S變換系數(shù)絕對值abs(S(i,j,m,n))小于閾值T的廣義S變換系數(shù)S(i,j,m,n)置零，將其余的二維廣義S變換的系數(shù)完全保留下來(硬閾值法)或進(jìn)行修改后保留下來(軟閾值法).對于硬閾值法，即

S(i,j,m,n)=

(4)

對于軟閾值法，即

S(i,j,m,n)=

(5)

式(4)和式(5)中的閾值T采用閾值濾波統(tǒng)一閾值，即

(6)

式中：σ為零均值高斯白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差；N為二維圖像的像素點數(shù)；a為閾值系數(shù)，且為常數(shù).

3) 對由步驟二得到的二維廣義S變換系數(shù)進(jìn)行求和運算，通過二維廣義S逆變換即可得到去噪后的圖像.

2 快速離散正交S變換

由于二維廣義S變換的系數(shù)是四維的，計算復(fù)雜度為O(M2N2lgMN)，M、N均為計算復(fù)雜度參數(shù)[10]，這表明S變換算法計算過程內(nèi)存需求量大，計算過程復(fù)雜，不適于對大圖像進(jìn)行圖像深度處理，難以硬件實現(xiàn).為消除S變換這一局限，R.G.Stockwell提出了離散正交S變換 (Discrete Orthonormal Stockwell Transform,DOST)算法，該算法將時頻域劃分成N個區(qū)域，對任一區(qū)域用系數(shù)來表示.

2.1 快速離散正交S變換

DOST的計算復(fù)雜度為O(MNMN),引入快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT),可快速計算DOST系數(shù).以下是快速離散正交S變換的推導(dǎo)過程.

DOST算法的計算公式為

S[υ,β,τ]=〈D[k][υ,β,τ],h[k]〉=

exp(-iπτ)h[k]

(7)

式中：S[υ,β,τ]為離散正交S變換；D[k][υ,β,τ]為離散正交變換；h[k]為離散脈沖響應(yīng)；υ、β、τ均為快速離散正交S變換參數(shù)；f、k為離散坐標(biāo)；i為虛數(shù)單位.

更換求和次序可得

(8)

式(7)可表示為

(9)

其中H[f]為傅里葉系數(shù)序列.

對f的值的求和依據(jù)某一確定的帶寬,該帶寬取決于參數(shù)υ和β.因此該求和公式可以由一個變換矩陣與信號的傅里葉序列H相乘得到.DOST算法的計算法則如圖1所示.

圖1 DOST算法的計算法則

在計算S變換系數(shù)時可進(jìn)行快速傅里葉變換,以加快算法的實現(xiàn).若輸入的信號為正,那么只計算頻率為正部分的系數(shù),由DOST算法的共軛對稱性質(zhì)得到頻率為負(fù)的部分的系數(shù),從而降低了計算復(fù)雜度.

2.2FDOST算法的圖像降噪方法

對于大小為M×N的二維圖像，F(xiàn)DOST算法及其逆變換的計算復(fù)雜度為O(MNlg(MN)).

基于FDOST圖像去噪方法的實現(xiàn)過程如下：①對含噪聲的二維圖像進(jìn)行離散正交S變換；②對圖像矩陣按列進(jìn)行分段離散余弦變換,按行分段進(jìn)行離散余弦變換；③對于變換的結(jié)果進(jìn)行高斯窗口濾波；④進(jìn)行離散正交S逆變換；⑤對圖像矩陣按列分段進(jìn)行離散余弦逆變換，按行分段進(jìn)行離散逆余弦變換，得到降噪后的圖像.

2.3 高斯濾波窗口的選擇

二維圖像經(jīng)過離散正交S變換后，能量集中在中心，系數(shù)越大，高斯窗變化越快，中心部分的內(nèi)容保留較多，濾波程度越高；而噪聲部分系數(shù)較小,高斯窗口就比較平緩，這樣就有效濾除了噪聲.對Lena圖像加入方差為0.01的白噪聲情況下,得到最優(yōu)寬度調(diào)節(jié)系數(shù)α=2π,針對不同圖像，寬度調(diào)節(jié)系數(shù)可自行調(diào)節(jié).通過仿真結(jié)果得出，降噪后均方誤差(Mean Square Error，MSE)和峰值信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)的值與高斯窗寬度調(diào)節(jié)系數(shù)的變化趨勢一致，選擇合適的高斯窗函數(shù)的寬度調(diào)節(jié)系數(shù)，確定合適的高斯窗的大小.高斯窗函數(shù)的寬度調(diào)節(jié)系數(shù)與MSE、SNR關(guān)系如圖2所示.高斯窗寬度調(diào)節(jié)系數(shù)越大,濾波程度越高，圖片越平滑，但清晰度越低.由圖2可見，最優(yōu)高斯窗寬度調(diào)節(jié)系數(shù)為2.0 π.

FDOST降噪表達(dá)式為

(10)

圖2 高斯窗函數(shù)的寬度調(diào)節(jié)系數(shù)α與MSE、SNR關(guān)系

對合成含噪圖像和實際低照度含噪圖像分別進(jìn)行仿真實驗，其中合成含噪圖像由原始圖像加入方差為0.01的高斯白噪聲得到的含噪圖像.采用MSE和SNR評價指標(biāo)分析去噪結(jié)果.

均方誤差(MSE)為

(11)

其中EMS為均方誤差(MSE).

信噪比(SNR)為

(12)

其中RSN為信噪比(SNR).

均方誤差是指參數(shù)估計值與參數(shù)真值之差平方的期望值.均方誤差為衡量“平均誤差”的一種較方便的方法，其可評價數(shù)據(jù)的變化程度，MSE值越小，說明預(yù)測模型描述實驗數(shù)據(jù)具有更好的精確度.信噪比即信號與噪聲的方差之比.均方根誤差越小，信噪比越大，圖像的降噪結(jié)果越好.

3 實例仿真

3.1 Lena圖像去噪

選用Lena圖像，大小為512 pixel×512 pixel，在Lena圖像加上方差為τ的高斯白噪聲，使用基于FDOST圖像去噪方法對其進(jìn)行降噪處理.圖3為含噪圖像處理的對照圖.圖3(a)為理論上加入方差為0.01的高斯白噪聲的Lena含噪圖像；圖3(b)為Lena含噪圖像經(jīng)過快速離散正交S變換后的去噪圖像.Lena含噪圖像去噪前和去噪后的MSE和SNR值見表1.均方誤差越小，信噪比越大，圖像的降噪結(jié)果越好.從圖3和表1可以看出，基于FDOST的濾波方法較好地去除了高斯噪聲，證明了快速離散正交S變換濾波方法的有效性.

圖3 Lena圖像去噪

3.2 合成低照度圖像的去噪

對合成含噪圖像進(jìn)行仿真實驗，圖像大小為738 pixel×984 pixel.其由原始低照度圖像加入方差為0.01的高斯白噪聲得到的含噪圖像.合成低照度圖像的去噪如圖4所示.

圖4 合成低照度圖像的去噪

合成含噪圖像去噪前和去噪后的MSE和SNR值見表2.均方誤差越小，信噪比越大，圖像的降噪結(jié)果越好.從圖4和表2可以看出，基于FDOST的濾波方法較好地去除了低照度圖像的高斯噪聲，從而證明了快速離散正交S變換濾波方法的對于低照度圖像的有效性.

3.3 實際低照度圖像的去噪

由30萬 pixel 攝像頭采集實際低照度圖像，圖像大小為640 pixel×480 pixel.由于低照度圖像中的有用信息和噪聲混合在一起，使得圖像有用信息特征不明顯，圖像特征清晰度不高，難于進(jìn)行后續(xù)圖像識別，需要通過消除噪聲以提高信噪比.為評價低照度圖像的降噪效果，引入SNR指標(biāo).低照度圖像無理想原始參考圖像,導(dǎo)致SNR不能按照式(12)來計算，為便于分析，可令

RSN=μ/σ

(13)

式中：μ為均值；σ為標(biāo)準(zhǔn)差.圖5(a)為低照度原始圖像；圖5(b)為低照度圖像經(jīng)過快速離散正交S變換后的去噪圖像.實際低照度圖像降噪前和降噪后的SNR值見表3.

表2 合成含噪圖像的去噪前和去噪后的MSE和SNR值

圖5 實際低照度圖像的去噪

濾波方法SNR去噪前/dB去噪后/dB去噪前后SNR增值/dB增值百分比/%FDOST0.5729840.6092530.0362696

由于低照度圖像含有隨機分布的白噪聲,且光照越弱,圖像中噪聲越大.同時，實際環(huán)境中低照度圖像存在著隨機噪聲、脈沖噪聲等各種噪聲因素,直接影響圖像畫質(zhì)，統(tǒng)計分析結(jié)果顯示為加性高斯噪聲.從圖5和表3可以看出，降噪前后圖像的信噪比有所提升,SNR增值百分比為6%.基于FDOST的濾波方法較好地去除了高斯噪聲，為一種有效的圖像去噪方法.

4 結(jié) 論

1) 二維S變換在空間-頻率域的分辨率優(yōu)于小波變換.對于一定長度信號，S變換高度冗余，且存儲空間消耗、計算復(fù)雜度大于小波變換，僅適合處理小圖像.結(jié)合快速傅里葉變換，給出了快速離散正交S變換算法，其計算復(fù)雜度為O(NlgN)，運行速度優(yōu)于廣義S變換，且存儲消耗減小，適于處理大圖像.

2) 基于FDOST的濾波方法有效去除了高斯噪聲，降噪后圖像信噪比較降噪前提升了6%.該濾波算法計算復(fù)雜度較廣義S變換算法降低，運行速度加快，為實際低照度圖像去噪提供了新方法.

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(責(zé)任編輯、校對 張 超)

Time-Frequency Analysis and Filtering of Low Illumination Image in the Generalized S Transform Domain

YANGYongxia，WANGYan，GUOLiang

(School of Electronic Information Engineering，Xi’an Technological University，Xi’an 710021，China)

In order to reduce computational complexity and memory occupancy of two-dimensional generalized S transform,an improved fast discrete orthogonal S transform (FDOST) algorithm is proposed based on time-frequency analysis of two dimensional generalized S transform.Low illumination image is transformed with S transform using FDOST algorithm.Time-frequency distribution of Gauss noise and original image are analyzed in generalized S transform domain.The method of distinguishing the original image and Gauss noise and low illumination image time frequency filtering method based on the improved generalized S transform is presented.The denoising of synthesis of the noisy image and the actual low illumination image is simulated.The results show:FDOST filtering method based on the improved generalized S transform removes the Gauss noise in the image;After denoising,SNR of the image is improved by 6%,while the retention of the original image information is maximized.

generalized S-transform;time-frequency analysis;low illumination image;Gauss noise

10.16185/j.jxatu.edu.cn.2016.12.011

2016-03-26

楊永俠(1962-)，女，西安工業(yè)大學(xué)教授，主要研究方向為信號處理與電磁兼容.E-mail：yyx_1399@163.com.

TN110.7

A

1673-9965(2016)12-1007-06