張雄星，張夢(mèng)嬌，楊宇祥，王 偉，王可寧

(1.西安工業(yè)大學(xué) 光電工程學(xué)院，西安 710021;2.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048)

激光多普勒信號(hào)相位解調(diào)算法誤差分析

張雄星1，張夢(mèng)嬌1，楊宇祥2，王 偉1，王可寧1

(1.西安工業(yè)大學(xué) 光電工程學(xué)院，西安 710021;2.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048)

為了分析激光多普勒測(cè)振儀位移測(cè)量精度誤差的主要影響因素，采用了兩次希爾伯特變換求解附帶直流偏置的激光多普勒信號(hào)的相位，推導(dǎo)了相位求解的誤差傳遞函數(shù).通過(guò)信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生調(diào)頻波，疊加不同強(qiáng)度的高斯白噪聲模擬多普勒信號(hào)，針對(duì)振動(dòng)頻率1 kHz，振幅10λ，信噪比為0 dB的多普勒信號(hào)，得出相位解調(diào)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差等于信號(hào)信噪比的倒數(shù).研究結(jié)果表明：當(dāng)多普勒信號(hào)的信噪比高于10 dB時(shí)，采用相位法計(jì)算目標(biāo)位移精度較高；當(dāng)多普勒信號(hào)的信噪比低于-15.97 dB時(shí)，采用相位法和條紋法計(jì)算目標(biāo)位移精度相當(dāng).

相位解調(diào)；多普勒信號(hào)；振動(dòng)測(cè)量；Hilbert變換；誤差分析

激光多普勒技術(shù)可同時(shí)測(cè)量目標(biāo)的速度和位移，具有較高的時(shí)間分辨率和空間分辨率[1-2].激光多普勒測(cè)量?jī)x器分辨能力的上限受限于光電探測(cè)器的帶寬，下限在硬件上受限于光電探測(cè)器和信號(hào)調(diào)理電路的噪聲，軟件上受限于所選用的多普勒信號(hào)解調(diào)算法.商用多普勒測(cè)振儀光電探測(cè)器的帶寬多在百M(fèi)Hz量級(jí)，最大測(cè)量速度約為10 ms-1，VISAR和DISAR等專(zhuān)用型多普勒測(cè)量?jī)x器，選用的探測(cè)器的帶寬在GHz量級(jí)，速度測(cè)量上限可達(dá)1 000 ms-1，可用于沖擊波物理與爆轟物理研究中位移或速度剖面的連續(xù)觀測(cè).探測(cè)器和信號(hào)調(diào)理電路的噪聲主要有散粒噪聲和熱噪聲，其中速度分辨率的下限主要受熱噪聲的影響且與振動(dòng)的頻率有關(guān)，隨振動(dòng)頻率的增高，速度分辨率會(huì)降低，而位移分辨率的下限受散粒噪聲和熱噪聲的雙重影響，與振動(dòng)的頻率無(wú)關(guān)，但與選用的多普勒信號(hào)的位移測(cè)量方法有關(guān)[3].

對(duì)于激光多普勒信號(hào)，文獻(xiàn)[4]研究激光多普勒信號(hào)測(cè)量位移的方法有兩種，條紋計(jì)數(shù)法和相位分析法.文獻(xiàn)[5]說(shuō)明了多普勒信號(hào)每經(jīng)過(guò)一個(gè)完整的周期干涉條紋，相位角增加2π，對(duì)應(yīng)位移增量為λ/2 nm，對(duì)干涉條紋計(jì)數(shù)可得目標(biāo)位移值，條紋計(jì)數(shù)法簡(jiǎn)單可靠，但分辨率受激光波長(zhǎng)的制約；相位分析法根據(jù)多普勒信號(hào)的相位增量計(jì)算目標(biāo)位移，分辨率可突破激光波長(zhǎng)的約束.在實(shí)際振動(dòng)位移解算中，當(dāng)被測(cè)振動(dòng)的位移遠(yuǎn)大于λ時(shí)，采用條紋計(jì)數(shù)法，當(dāng)位移在0.1λ～10λnm時(shí)，采用相位分析法.文獻(xiàn)[6-8]總結(jié)了常用的相位分析算法為希爾伯特(Hilbert)變換，其可對(duì)多普勒信號(hào)做90°相移，得到多普勒信號(hào)的正交信號(hào)，采用反正切函數(shù)計(jì)算信號(hào)的相位.文獻(xiàn)[9-10]提出了當(dāng)探測(cè)器的帶寬滿足被測(cè)振動(dòng)頻率和速度的要求時(shí)，Hilbert變換相位解算精度與探測(cè)器信號(hào)信噪比(Signal to Nosie Ratio,SNR)，模擬信號(hào)量化誤差及被測(cè)目標(biāo)粗糙度等非關(guān)鍵性因素有關(guān).分析計(jì)算不同信噪比條件下Hilbert變換位移解算誤差對(duì)小振幅多普勒測(cè)振系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有重要的意義.

基于此，本文分析了隨機(jī)噪聲對(duì)Hilbert變換相位分析及位移計(jì)算精度的影響，經(jīng)過(guò)理論推導(dǎo)，得出了激光多普勒干涉儀位移測(cè)量精度的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)算法仿真和半實(shí)物仿真驗(yàn)證了位移測(cè)量精度模型的正確性.

1 希爾伯特變換的位移測(cè)量原理

實(shí)信號(hào)x(t)的希爾伯特變換[6]定義為x(t)和函數(shù)1/πt的卷積，表達(dá)式為

(1)

式中：x(t)為時(shí)域信號(hào)；t為時(shí)間變量；τ為卷積偏移量.

在頻率域內(nèi)，希爾伯特變換表達(dá)式為

(2)

式中：j為虛數(shù)符號(hào);f為信號(hào)的頻率.Hilbert變換和原信號(hào)相比移相了90°，同時(shí)頻譜的幅度譜不變.希爾伯特變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行了正交移相，得到了原信號(hào)的正交信號(hào).

激光多普勒測(cè)振儀是典型的光外差檢測(cè)系統(tǒng)，光電探測(cè)器輸出的多普勒信號(hào)表達(dá)式為

(3)

式中：R為探測(cè)器靈敏度；Pc為參考光功率；Ps為信號(hào)光功率；fd為信號(hào)光的多普勒頻移；f0為參考光的頻率；e0為高斯白噪聲.

多普勒信號(hào)的噪聲來(lái)源主要有光源的強(qiáng)度噪聲和相位噪聲,探測(cè)器的散粒噪聲及信號(hào)拾取電路的熱噪聲等.特別是對(duì)低速目標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，多普勒信號(hào)噪聲水平較高，信噪比較低.式(3)表明多譜勒信號(hào)由直流偏置、交流信號(hào)和噪聲組成，針對(duì)多普勒信號(hào)的特點(diǎn)，需要進(jìn)行兩次Hilbert變換才能計(jì)算信號(hào)相位.直流分量的Hilbert變換為0，根據(jù)Hilbert變換的疊加定理，多普勒信號(hào)的一次Hilbert變換表達(dá)式為

(4)

式中：φ0為初相應(yīng)；e1為e0的 Hilbert變換，e1=e0×1/πt，高斯白噪聲的Hilbert變換也是高斯白噪聲，并且具有相同的標(biāo)準(zhǔn)差.

對(duì)多普勒信號(hào)進(jìn)行兩次Hilbert變換，表達(dá)式為

(5)

其中e2為經(jīng)過(guò)兩次希爾伯特變換后的高斯白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，和原始多普勒信號(hào)噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差相等.

多普勒信號(hào)的一次和二次Hilbert變換都不含偏置，是一對(duì)正交信號(hào)，因此可以計(jì)算出信號(hào)的相位為

(6)

2 多普勒信號(hào)相位的計(jì)算誤差及位移測(cè)量誤差分析

多普勒信號(hào)相位計(jì)算位移的公式為

d=λΔφ/4π

(7)

式中：λ為激光波長(zhǎng)；Δφ為相位的增量，即不同時(shí)間得到多普勒信號(hào)的相位分別為φ1和φ2，Δφ為φ1與φ2的差.

相位分析法的位移測(cè)量誤差主要來(lái)源于多普勒信號(hào)的相位計(jì)算誤差，根據(jù)式(4)～(6)及三角函數(shù)誤差傳遞公式，得到多普勒信號(hào)相位計(jì)算誤差為

(8)

相位計(jì)算誤差為隨機(jī)變量，其標(biāo)準(zhǔn)差為

(9)

其中σ0為多普勒信號(hào)中噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差.式(9)表明，采用Hilbert變換計(jì)算多普勒信號(hào)的相位時(shí)，相位計(jì)算誤差的標(biāo)準(zhǔn)差等于信號(hào)信噪比的倒數(shù).

由式(7)和式(9)，得到位移測(cè)量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差的表達(dá)式為

(10)

3 算法仿真

x(t)=2sin(2π×12 903t)+4+e0

(11)

其中e0=N(0,0.632)，是均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.632的正態(tài)分布.

d=0.01t

(12)

對(duì)比仿真計(jì)算的位移測(cè)量曲線和真實(shí)的位移曲線，得到位移測(cè)量誤差.對(duì)位移測(cè)量誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到位移測(cè)量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為39.50nm，如圖3所示.

圖1 原始信號(hào)及Hilbert變換波形

圖2 位移波形

圖3 Hilbert變換位移誤差及誤差標(biāo)準(zhǔn)差

激光波長(zhǎng)λ/nm信噪比/dBδd/nmδd'/nm155020.0012.3412.54155010.0039.0339.5015500.00123.40122.561550-15.97775.50780.20

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用任意信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生加噪的調(diào)頻波模擬簡(jiǎn)諧振動(dòng)目標(biāo)的多普勒信號(hào)，振動(dòng)的頻率為1 kHz，振幅為5倍激光波長(zhǎng)，等于7.75 μm.則振動(dòng)的位移為

d=7.75sin(2 000πt)×10-6

(13)

振動(dòng)的速度為

v=4.87cos(2 000πt)×10-2

(14)

多普勒頻移為

fd=2v/λ=0.63cos(2 000πt)×104

(15)

多普勒信號(hào)(幅值為2 V，偏置為4 V)為

sd=2sin(2πfdt)+4+e0=2sin(3.95cos(2 000πt)t×105)+4+e0

(16)

信號(hào)發(fā)生器模擬的多普勒信號(hào)接入多普勒測(cè)振儀的信號(hào)處理電路，數(shù)據(jù)處理電路嵌入了Hilbert相位求解算法，以模擬電壓的方式輸出解算的位移量.多普勒信號(hào)和解算的位移采用多通道數(shù)字示波器監(jiān)測(cè)并記錄.

圖4為示波器監(jiān)測(cè)的多普勒信號(hào)以及解算的位移曲線，多普勒信號(hào)的信噪比為0 dB.將解算的位移曲線和式(13)給出的理論位移曲線進(jìn)行對(duì)比，從而得到位移計(jì)算的誤差曲線以及誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，如圖5所示.當(dāng)信噪比為0 dB時(shí)，多普勒測(cè)振儀計(jì)算的位移誤差為123.03 nm，和式(10)的結(jié)論123.40 nm相符合，相對(duì)誤差為0.3%.

圖4 多普勒信號(hào)與位移輸出波形

圖5 位移誤差及誤差標(biāo)準(zhǔn)差

5 結(jié) 論

1) 高精度位移測(cè)量需要對(duì)多普勒信號(hào)進(jìn)行相位分析，所采用的算法主要為Hilbert變換.Hilbert變換的相位計(jì)算誤差的標(biāo)準(zhǔn)差等于信號(hào)信噪比的倒數(shù)，位移測(cè)量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差δd=λ/4πSNR.

2) 當(dāng)多普勒信號(hào)的信噪比較高，高于10 dB時(shí)，適宜采用相位法計(jì)算目標(biāo)位移；當(dāng)多普勒好的的信噪比較低，低于-15.97 dB時(shí)，宜采用相位法計(jì)算目標(biāo)位移.

3) 當(dāng)激光波長(zhǎng)固定不變，并具有較高的頻率穩(wěn)定性時(shí)，要提高位移測(cè)量精度，需改善多普勒信號(hào)的信噪比.

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(責(zé)任編輯、校對(duì) 潘秋岑)

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Error Analysis of Phase Demodulation Algorithm of Laser Doppler Signal

ZHANGXiongxing1,ZHANGMengjiao1,YANGYuxiang2,WANGWei1,WANGKening1

(1.School of Optoelectronics Engineering,Xi’an Technological University,Xi’an 710021,China; 2.School of Mechanical and Precision Instrument Engineering,Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China)

In order to analyze the main influencing factors of displacement measurement accuracy error of laser Doppler vibrometer, a phase demodulation algorithm of two Hilbert transform is used to get the phase of a laser Doppler signal with a DC bias,and to derive the error transfer function of phase solution.Doppler signal is simulated by FM wave generated by the signal generator,superimposed Gaussian white noise of different intensity.The correctness of the calculation error of phase demodulation for is verified for the Doppler signal with vibration frequency of 1 kHz,amplitude of 10λand signal to noise ratio of 0dB.Research results show:While the Doppler signal with SNR higher than 10 dB,the precision is higher by phase method to calculate target displacement;While the Doppler signal SNR is lower than -15.97 dB,the similar accuracy of target displacement is calculated by phase method and fringe method.

phase demodulation;doppler signal;vibration measurement;Hilbert transform;error analysis

10.16185/j.jxatu.edu.cn.2016.12.002

2016-05-13

陜西省教育廳2016年度專(zhuān)項(xiàng)科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(16JK1370)

張雄星(1979-)，男，西安工業(yè)大學(xué)講師，主要研究方向?yàn)楣怆姕y(cè)試、儀器儀表測(cè)控技術(shù). E-mail:zhangxiongxing@xatu.edu.cn.

O436

A

1673-9965(2016)12-0954-05