聶庭勇（新疆五家渠高級中學(xué)）

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從零向量性質(zhì)的質(zhì)疑到探究

聶庭勇
（新疆五家渠高級中學(xué)）

一、問題背景

平面向量是教材改革的新增內(nèi)容之一，并在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中突顯了它的重要地位。近年來，關(guān)于向量共線的考查，成為向量概念應(yīng)用的一個深入。關(guān)于向量的概念，只有兩個要素，一是大小，二是方向。但在向量這一章，有一個很關(guān)鍵的元素——零向量，值得注意。筆者在教學(xué)實踐中，發(fā)現(xiàn)對于一些有關(guān)零向量的命題，學(xué)生總是把握不準(zhǔn)，心存疑惑，甚至提出質(zhì)疑。例如，思考下面兩個問題：

問題一：設(shè)b是a的相反向量，則下列說法錯誤的是 （）

A.a與b的長度必相等

B.a∥b

C.a與b一定不相等

D.a是b的相反向量

答案選C（當(dāng)a=b=0時）。

問題二：已知下列命題：

①若a=b，b=c，則a=c；

②若a∥b，b∥c，則a∥c；

③若a=b，則a∥b；

④若a∥b，則a與b的方向相同或相反

其中正確命題的序號是①③。

分析：利用平行向量的定義判定時，還需注意零向量與任意向量平行這一特殊情形。

對于①，當(dāng)a=b≠0時，由相等向量定義知，a與b同向，同理，b與c同向，從而a與c同向，又它們的模相等，所以a=c；當(dāng)a=b=0時，由b=c推出c=0，所以a=c，故恒有a=c。

對于②，當(dāng)b=0時，a與c是非零向量，且a與c方向不是相同或相反時，條件成立，但結(jié)論不成立。

對于③，由①的結(jié)論知其成立。

對于④，a∥b，若a=0時，與b是平行向量，但零向量方向任意，命題不成立。

通過教學(xué)的效果來看，部分學(xué)生聽完講解后，還是沒有真正理解解決問題的關(guān)鍵，總感覺對于零向量這個特殊向量的辨析有些牽強(qiáng)，有的同學(xué)甚至提出質(zhì)疑，“零向量的方向是任意的，可以隨意指定它的方向，想它是什么方向它就應(yīng)該是什么方向?！彼?，為了徹底消除顧慮，我與他們在課余做了一次探究。

二、探究過程

“教材在講述平行向量的定義時，明確指出：零向量的方向是任意的，它與任意向量平行?！睂τ谶@一規(guī)定性定義的解讀，我們認(rèn)為：零向量的方向具有不確定性，它與非零向量共線是由它的特殊性決定的，不能指定它與已知非零向量同向或反向，那樣的話，就人為地給零向量施加了限定性條件，違背了規(guī)定性定義的本源。

以舉例中的一個命題為例：

向量a與b共線，則a與b的方向相同或相反。判斷該命題的真假。

甲生：真命題。若a≠0，b≠0，顯然成立；若a=0，b≠0，零向量方向任意，可以指定它與b同向或反向。

乙生：假命題。零向量的方向是任意的，我們可以隨意去理解它的方向，所以與b不一定是同向或反向。

看到自己的學(xué)生能夠大膽質(zhì)疑，說明他們已經(jīng)研究到了問題的本質(zhì)，但是針對這樣的特殊問題，如何準(zhǔn)確抓住性質(zhì)的本源，引導(dǎo)學(xué)生跳出泥淖呢？

師：仍然要立足于教材，“我們規(guī)定，零向量與任意向量平行”，這是由它的方向任意這一特殊性而定的，不能根據(jù)解題需要而指定它的方向，如果一味強(qiáng)調(diào)個人指定的話，甚至可以指定說，零向量與已知非零向量垂直，連共線也不成立了，這不就等于違反教材所給的定義了嗎？

所以，不能指定零向量的方向與誰相同或者相反。只能維持原判“零向量的方向是任意的，它與任意向量共線”，誰也不能指定它的方向。

同學(xué)們豁然開朗，然后我給出了一道高考題，讓學(xué)生去考證所思。

例：給出下列命題：

①向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反。

④如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a+b的方向必與a，b之一的方向相同。

其中成立的是：

A.①②B.③④C.①④D.②③

分析：①中，當(dāng)a=0時命題不成立。④中當(dāng)a+b=0時命題不成立，故正確答案選D。

三、歸納與反思

從一個有爭議的命題的質(zhì)疑開始，師生經(jīng)歷了分析查證、合作探索、形成認(rèn)知的整個過程，讓學(xué)生由被動聽取轉(zhuǎn)變?yōu)樽灾魈骄浚l(fā)展了他們的深入理解、遷移推廣的能力，更能激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想思維、興趣和好奇心，這樣的素材在學(xué)習(xí)和作業(yè)中處處存在，老師善于提問，學(xué)生勤于質(zhì)疑，這樣的教與學(xué)的方式才符合了新課程改革的基本要求和理念，也是本文的一個出發(fā)點。

·編輯董慧紅