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高三數(shù)學綜合測試

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)

1.若集合A={x|y=lg(2x-x2)},B={y|y=2x,x>0},則集合A∩B=______.

2.命題“?x∈R,x2>0”的否定是______.

3.如果x-1+yi,與i-3x是共軛復數(shù)(x、y是實數(shù)),則x+y=______.

5.已知f(x)=-ax3+cx+2,若f(5)=7,則f(-5)=______.

13.在f(x)定義是R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)=x2.若對任意的x∈[a,a+2]均有f(x+a)≥2f(x),則實數(shù)a的取值范圍為______.

二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.在?ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sin2B=sinAsinC.

(1)求ac-b2的值;

16.已知函數(shù)f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|,F(x)=f(x)-g(x).

(1)若a=2,x∈[0,3],求F(x)的值域;

(2)若a>2,解關于x的不等式F(x)≥0.

17.已知圓M:x2+(y-4)2=4,點P是直線l:x-2y=0上的一動點,過點P作圓M的切線PA、PB,切點為A、B.

(2)若?PAM的外接圓為圓N,試問:當P運動時,圓N是否過定點?若存在,求出所有的定點的坐標;若不存在,說明理由;

(3)求線段AB長度的最小值.

(1)將2016年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù);

(2)該廠家2016年的促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大?

(1)求橢圓的方程;

(2)求AB+CD的取值范圍.

(1)當a=-2時,求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間;

(2)設函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),若存在唯一的實數(shù)x0,使得f(x0)=x0與f′(x0)=0同時成立,求實數(shù)b的取值范圍;

(3)已知點A為曲線C上的動點,在點A處作曲線C的切線l1與曲線C交于另一點B,在點B處作曲線C的切線l2,設切線l1,l2的斜率分別為k1,k2.問:是否存在常數(shù)λ,使得k2=λk1?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

三、附加題

2.某商場經銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為：

ξ12345P0.40.20.20.10.1

商場經銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元.η表示經銷一件該商品的利潤.

(1)求事件A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；

(2)求η的分布列及期望Eη.

(1)若a1(x),a2(x),a3(x)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求正整數(shù)n的值.

(2)求證：?x1,x2∈[0,2],恒有

|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2)-1.

參考答案

一、填空題

1.(1，2)；2.?x∈R,x2≤0;

6.(x+1)2+y2=16;7.2;

二、解答題

15.(1)因為sin2B=sinAsinC, 由正弦定理，得b2=ac,所以ac-b2=0.

由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB,所以a2+c2=5.

當1≤x≤3時,x2-2x-1∈[0,4];

當0≤x<1時,x2+2x-3∈[-3,0);

所以F(x)=f(x)-g(x)的值域為[-3,4].

(2)F(x)=

由x≥1,F(x)≥0,a>2,得x≤1或x≥a-1?x≥a-1或x=1；

由x<1,F(x)≥0,得x≤-a-1或x≥1?x≤-a-1.

綜上，F(xiàn)(x)≥0?x≤-a-1或x≥a-1或x=1.

(2)設P(2b,b),因為∠MAP=90°,所以經過A、P、M三點的圓N以MP為直徑,其方程為

即(2x+y-4)b-(x2+y2-4y)=0.

(3)因為圓N方程為

即x2+y2-2bx-(b+4)y+4b=0;

圓M:x2+(y-4)2=4,

即x2+y2-8y+12=0.

作差得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為2bx+(b-4)y+12-4b=0.

相交弦長即

18.(1)由題意可知,當m=0時，x=1,∴1=3-k，即k=2.

∴2009年的利潤

=4+8x-m

答:該廠家2016年的促銷費用投入3萬元時,廠家的利潤最大,最大為21萬元.

所以a2=4c2,b2=3c2.

(2)① 當兩條弦中一條斜率為0時,另一條弦的斜率不存在,由題意知AB+CD=7.

② 當兩弦斜率均存在且不為0時,設A(x1,y1),B(x2,y2),

且設直線AB的方程為y=k(x-1),

將直線AB的方程代入橢圓方程并整理，得

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

令t=k2+1,則t>1,3+4k2=4t-1,3k2+4=3t+1.

20.(1)當a=-2時，f′(x)=3x2+5x-2=(3x-1)(x+2).

(2)f′(x)=3x2+5x+a,由題意，知

g′(x)=6x2+5x+1=(2x+1)(3x+1),

故實數(shù)b的取值范圍是

(3)設A(x0,f(x0))，則點A處切線方程為

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

與曲線C：y=f(x)聯(lián)立方程組，得

f(x)-f(x0)=f′(x0)(x-x0),

若存在常數(shù)λ，使得k2=λk1,則

即存在常數(shù)λ,使得

三、附加題

=(λ-2)(λ-a)-1=0,

則(3-2)(3-a)-1=0,解得a=2,

設直線x-2y-3=0上任一點(x,y)在M作用下對應的點為(x′,y′),則有

代入x-2y-3=0，整理得4x′-5y′-9=0，

∴所求直線方程為4x-5y-9=0.

(2)η的可能取值為200元，250元，300元.

P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,

P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,

P(η=300)=1-P(η=200)-P(η=250)=1-0.4-0.4=0.2.

η的分布列為

η200250300P0.40.40.2

Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).

(2)F(x)=a1(x)+2a2(x)+3a3(x)+…

+nan(x)+(n+1)an+1(x)

令x=2,F(2)=C0n+2C1n+3C2n+…+nCn-1n+(n+1)Cnn.

令x=0,則F(0)=1.

設Sn=C0n+2C1n+3C2n+…+nCn-1n+(n+1)Cnn，則Sn=(n+1)Cnn+nCn-1n+…+3C2n+2C1n+C0n.考慮到Ckn=Cn-kn,將以上兩式相加得2Sn=(n+2)(C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn)，

∴Sn=(n+2)2n-1.

又當x∈[0,2]時，F(xiàn)′(x)≥0恒成立，從而F(x)是[0,2]上的單調增函數(shù),

∴?x1,x2∈[0,2],

|F(x1)-F(x2)|≤F(2)-F(0)

=2n-1(n+2)-1.

(2,3,1)則