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活用向量的數(shù)量積解非向量題

肖建平

(廣東省興寧市第一中學(xué)，514500)

向量作為一種解題工具,應(yīng)用極為廣泛,一直是高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的重點(diǎn)考查內(nèi)容.向量知識(shí)融數(shù)形于一體,為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了更為廣闊的思維空間.本文通過構(gòu)造向量、活用向量的數(shù)量積把一些非向量的代數(shù)題轉(zhuǎn)化為向量問題,從而使運(yùn)算簡(jiǎn)捷,易學(xué)易懂.

一、求代數(shù)式的最值

例1(2015年浙江高考題)若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是______.

解易知|2x+y-2|+|6-x-3y|≥|(2x+y-2)-(6-x-3y|=|3x+4y-8|.構(gòu)造平面向量α=(3,4),β=(x,y),則

α·β=3x+4y.

因?yàn)棣痢う隆軀α||β|,當(dāng)且僅當(dāng)α與β同向時(shí)取等號(hào),所以

得|3x+4y-8|=-(3x+4y)+8≥3.

評(píng)注本題難度大.有參考答案是依據(jù)絕對(duì)值內(nèi)式子的符號(hào)分類,去掉絕對(duì)值后轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來求解,對(duì)運(yùn)算求解能力的要求較高,且不容易想到.筆者通過構(gòu)造向量的方法,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,容易理解掌握.

例2(2015年福建高考題)已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.

(1)求a+b+c的值;

解(1)由f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=a+b+c,當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時(shí)等號(hào)成立,故a+b+c=4.

α·β=a+b+c=4.

因?yàn)棣痢う隆軀α||β|,當(dāng)且僅當(dāng)α與β同向時(shí)取等號(hào),所以

評(píng)注本題難度中等.可以利用柯西不等式求解.

二、利用取等號(hào)求值

例4(2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西預(yù)賽題)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+2b+3c=6,a2+4b2+9c2=12,則abc的值是______.

評(píng)注本題難度較大.有參考答案分別利用作差,基本不等式,柯西不等式等三種方法進(jìn)行解答.

三、證明不等式

例5(2014年福建高考題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正實(shí)數(shù),且滿足且p+q+r=a,求證:p2+q2+r2≥3.

解(1)因?yàn)閒(x)=|x+1|+|x-2|≥|x+1+2-x|=3且f(0)=3,所以f(x)的最小值為a,且a的值是3.

評(píng)注本題難度中等.可以利用柯西不等式求解.

四、思考

向量的教學(xué)如果僅止于課本,則無益于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決則沒有深度和廣度.如果能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)膯l(fā)式教學(xué),可培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.本文通過學(xué)生熟知的向量數(shù)量積的計(jì)算公式進(jìn)行多方面的應(yīng)用,既開闊了視野,又為今后學(xué)習(xí)柯西不等式做了鋪墊,可謂一舉多得.

○短文集錦○