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真的是“循環(huán)論證”嗎
——對一道試題數(shù)學(xué)歸納法解法的探究

潘神龍

(廣東省廣州市番禺區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) ，511400)

數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的證明方法,主要用于研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,體現(xiàn)了人的認(rèn)識從有限到無限的飛躍,在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著重要的作用．

2014年廣東高考(理)數(shù)列解答題考查學(xué)生的推理意識,避免一味的機(jī)械應(yīng)試訓(xùn)練,著重考查了數(shù)學(xué)歸納法．受前幾年題目的影響,不少教師在已知遞推公式求通項(xiàng)公式上訓(xùn)練了不少,卻對數(shù)學(xué)歸納法缺乏研究,出現(xiàn)一些教學(xué)瓶頸．

2015年廣州市一模數(shù)列解答題(題目見下),可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行求解,有教師認(rèn)為這是“循環(huán)論證”.對此，本文談點(diǎn)筆者的認(rèn)識,以期與同行探討,共同提高．

一、問題由來

解猜想an=2n-1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①n=1時(shí)，命題成立.

由① ②,對任意?n∈N*,an=2n-1.

有教師認(rèn)為,這是“循環(huán)論證”:假設(shè)n=k時(shí)命題成立,不能說明n

二、追本溯源

正所謂,給學(xué)生一杯水,教師就要有長流水．

1.數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法起源于最小數(shù)原理(正整數(shù)集的任意非空子集必有一個(gè)最小數(shù)),是有意地以形式相同、范圍較小的命題成立性為前提,來不斷推導(dǎo)更大范圍內(nèi)命題的成立性,體現(xiàn)了遞推的思想．教材上出現(xiàn)的是第一數(shù)學(xué)歸納法,其實(shí)還有第二數(shù)學(xué)歸納法,步驟如下: (1)證明n=n0時(shí),命題成立； (2)假設(shè)n≤k(n≥n0)時(shí),命題成立，證明n=k+1時(shí),命題也成立．由(1) (2),對所有正整數(shù)n(n≥n0),命題都成立．

證明假設(shè)命題不是對所有正整數(shù)n(n≥n0)都成立.令M表示使命題不成立的正整數(shù)所成的集合,M≠?．由最小數(shù)原理,M中有最小數(shù)m,m>n0,且命題對m不成立，所以m-1是正整數(shù),且命題對所有的n(n0≤n≤m-1)都成立；由(2)知,命題對m也成立,矛盾,證畢．

數(shù)學(xué)理論已經(jīng)證明了第一數(shù)學(xué)歸納法與第二數(shù)學(xué)歸納法是等價(jià)的．

2.“循環(huán)論證”

“循環(huán)論證”是指在證明的過程中,把命題的結(jié)論作為證明的論據(jù)使用,又稱為“先定結(jié)論”．第一數(shù)學(xué)歸納法中的“循環(huán)論證”是指從“假設(shè)n=k時(shí)命題成立”到“證明n=k+1時(shí)命題也成立”時(shí),啟用了不完全歸納的結(jié)論．

三、撥云見日

另外,有教師認(rèn)為,將② 中“n=k”改為“n≤k”即可,這實(shí)質(zhì)上是使用第二數(shù)學(xué)歸納法．由兩種數(shù)學(xué)歸納法的等價(jià)性可知,當(dāng)“n≤k”是正確時(shí),“n=k”也是正確的．而且,本解法考查的是推理意識,學(xué)生也沒有接觸過第二數(shù)學(xué)歸納法,若糾纏于“n=k”還是“n≤k”,未免有些舍本逐末．

四、他石攻玉

解猜想an=2n+1,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

① 當(dāng)n=1，易知命題成立.

② 假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，ak=2k+1,則Sk=3+5+7+…+(2k+1)=k(k+2)；再結(jié)合條件Sk=2kak+1-3k2-4k,解得ak+1=2(k+1)+1,命題成立.

由① ②,對任意n∈N*，an=2n+1.

本解法和上述廣一模的解法是一致的.多家網(wǎng)站(包括學(xué)科網(wǎng))均收錄了這個(gè)解法，可見,“循環(huán)論證”的疑惑是沒有必要的．

由第(1)問，得

ex-1-x≥0,

即ex-1≥x，

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號.