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數(shù)列的概念與簡單表示(第一課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)

鄧春生

(江蘇省海門市麒麟中學(xué)，226125)

教學(xué)目標(biāo)

(1)知識(shí)與技能:理解數(shù)列的概念及其表示方法,了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系;理解數(shù)列的通項(xiàng)公式,并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng);對于比較簡單的數(shù)列,會(huì)根據(jù)給定的前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式．

(2)過程與方法:通過對一列數(shù)的觀察、歸納,寫出符合條件的一個(gè)通項(xiàng)公式,培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力．

(3)情感態(tài)度與價(jià)值觀:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活,提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣．同時(shí)通過對數(shù)學(xué)問題的觀察、探究和歸納,培養(yǎng)學(xué)生的探索和進(jìn)取精神．

教學(xué)重點(diǎn)

理解數(shù)列的概念,能從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列,理解數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn)

數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系的理解;根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境(7個(gè)實(shí)例)

(1) 觀察鋼管堆放示意圖(如圖1),自上而下各層鋼管根數(shù)依次是:4,5,6,7,8,9,10.

(2) 觀察鋼管堆放示意圖,自下而上各層鋼管根數(shù)依次是:10,9,8,7,6,5,4.

(4) 請大家拿出一張紙,假設(shè)它的厚度是1,我們現(xiàn)在把它對折,這時(shí)紙張的厚度是多少?再把它對折,這時(shí)紙張的厚度又是多少?再對折,厚度呢?依此類推,每次對折后紙張的厚度依次構(gòu)成一列數(shù):2,4,8,16,32,…

(5)-1的1次冪、2次冪、3次冪、…排列成一列數(shù):-1,1,-1,1,-1,…

(6) 無窮多個(gè)1排列成的一列數(shù):1,1,1,1,1,…

(7)從1984年至今,我國體育健兒共參加了八屆奧運(yùn)會(huì),獲得的金牌數(shù)依次排成一列數(shù):15,5,16,16,28,32,51,38.

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)興趣,引入新課．用多媒體展示學(xué)生熟知的7個(gè)實(shí)例,增強(qiáng)了感性認(rèn)識(shí),調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的積極性．

問題1請同學(xué)們觀察這些具體的例子,看它們有何共同特點(diǎn)?

設(shè)計(jì)意圖提出問題,思考?xì)w納,形成概念．學(xué)生可進(jìn)行自我表述、小組討論、教師點(diǎn)撥,逐步歸納,形成共識(shí)——這些具體例子的共同特點(diǎn):它們均是一列數(shù)，都有一定次序. 學(xué)生嘗試歸納數(shù)列的定義,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．

二、講授新課

1. 數(shù)列的定義

按照一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.(教師板書)

問題2請同學(xué)們結(jié)合數(shù)列的定義和上述具體實(shí)例,說說數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)和集合中的元素有什么區(qū)別?

設(shè)計(jì)意圖實(shí)例辨別,加深概念理解．繼續(xù)利用多媒體展示7個(gè)實(shí)例，使學(xué)生把數(shù)列中的數(shù)和集合中的元素區(qū)分開來:

(1)數(shù)列中的數(shù)一定是“數(shù)”,而集合中的元素不一定是“數(shù)”．

(2)數(shù)列中的數(shù)是按一定次序排列的,因此,如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數(shù)列(如實(shí)例(1)(2));而集合中的元素是無序的．

(3)數(shù)列定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同,因此,同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn);而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)(如實(shí)例(5)(6))．

2. 數(shù)列的項(xiàng)

數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). 各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng)),第2項(xiàng),…,第n 項(xiàng),….

3. 數(shù)列的一般形式

a1,a2,a3,…,an,…,簡記為{an},其中an是數(shù)列的第n項(xiàng)．

問題3 下面我們再來看這些數(shù)列的每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)是否有一定的對應(yīng)關(guān)系?這一關(guān)系可否用一個(gè)公式表示?

以實(shí)例(1)為例(其余實(shí)例略):

第1層鋼管數(shù)為4;即:1?4=1+3

第2層鋼管數(shù)為5;即:2?5=2+3

第3層鋼管數(shù)為6;即:3?6=3+3

第4層鋼管數(shù)為7;即:4?7=4+3

第5層鋼管數(shù)為8;即:5?8=5+3

第6層鋼管數(shù)為9;即:6?9=6+3

第7層鋼管數(shù)為10;即:7?10=7+3

若用an表示鋼管數(shù),n表示層數(shù),則可得出每一層的鋼管數(shù)可用一個(gè)公式an=n+3,(1≤n≤7,n∈N*)來表示其對應(yīng)關(guān)系．

設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課的重點(diǎn)是數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式,因?yàn)閿?shù)列的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識(shí)的基礎(chǔ),數(shù)列的通項(xiàng)公式又是研究后面等差數(shù)列、等比數(shù)列的靈魂．在此教師務(wù)必要放慢速度,花足時(shí)間,向?qū)W生講清講透,不能一帶而過．

4. 數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

問題4試一試:你能寫出前面問題情境中其余數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?

設(shè)計(jì)意圖對剛才所講的概念進(jìn)行及時(shí)鞏固與消化．教師巡視指導(dǎo),尤其是實(shí)例(5),每個(gè)學(xué)生不可能將幾種情況都寫出來,教師可以根據(jù)不同學(xué)生書寫的情況進(jìn)行展示、點(diǎn)評(píng)、總結(jié)與補(bǔ)充．對于一組數(shù)列的通項(xiàng)公式,問題的解答常常不是唯一的．只要能得出一個(gè)使所給的各項(xiàng)都能滿足的,最簡捷的公式就可以了．下面是實(shí)例(2)、(3)、(5)、(6)的通項(xiàng)公式：

(2)an=11-n(1≤n≤7,n∈N*).

(5)an=(-1)n，或an=cosnπ，

(6)an=1.

問題5通過上述實(shí)例的研究,你對數(shù)列通項(xiàng)公式有什么樣的認(rèn)識(shí)?你又是如何理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的?

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生在此對數(shù)列的通項(xiàng)公式有一個(gè)比較深刻的全面的認(rèn)識(shí)．結(jié)合對應(yīng)關(guān)系,回顧函數(shù)概念,揭示數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系．這是一個(gè)難點(diǎn),講解必須清楚、透徹．樹立從函數(shù)觀點(diǎn)看待數(shù)列問題的意識(shí)．

(1)并不是所有數(shù)列都能寫出(或方便寫出)其通項(xiàng)公式,如實(shí)例(7)．

(2)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式有時(shí)是不唯一的,如實(shí)例(5)．

(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份,它表示了數(shù)列的第n項(xiàng),又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示．它反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的一種對應(yīng)關(guān)系(函數(shù)關(guān)系)．

5. 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)可得到對應(yīng)的一列函數(shù)值．反過來,對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…,n,…)有意義,那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(n),…

因此，數(shù)列可以看作特殊的函數(shù),項(xiàng)數(shù)是其自變量,其定義域是正整數(shù)集或正整數(shù)集的有限子集，其解析式就是數(shù)列的通項(xiàng)公式．

6.數(shù)列的表示

通項(xiàng)公式法、列表法、圖象法．(結(jié)合實(shí)例總結(jié))

7.數(shù)列的分類

(1)根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少劃分:

有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.如實(shí)例(1)(2)(7)是有窮數(shù)列．

無窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列.如實(shí)例(3)(4)(5)(6) 是無窮數(shù)列．

(2)根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小劃分:

遞增數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列,即an>an-1,(n≥2)．如實(shí)例(1)(4)．

遞減數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列,即an-1

常數(shù)數(shù)列:各項(xiàng)相等的數(shù)列,即an+1=an或an=c,(n∈N*,c為常數(shù))．如實(shí)例(6)．

擺動(dòng)數(shù)列:從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．如實(shí)例(5)(7)．

三、案例分析

分析由通項(xiàng)公式定義可知,只要將通項(xiàng)公式中n依次取1,2,3,4,5,即可得到數(shù)列的前5項(xiàng)(解答略).

問題6通過前面所講的概念和例題1,數(shù)列的表示方法有哪些?數(shù)列的通項(xiàng)公式有什么作用?對于不同的數(shù)列我們可以從哪些角度對它們進(jìn)行分類呢?數(shù)列的圖象又有什么特點(diǎn)呢?

設(shè)計(jì)意圖既然數(shù)列可以看作特殊的函數(shù),而函數(shù)有三種表示方式:解析法、列表法、圖象法,那么數(shù)列應(yīng)該也有對應(yīng)的表示方式,自然引出數(shù)列的三種表示方法，其中數(shù)列的通項(xiàng)公式就相當(dāng)于函數(shù)的解析式．

例2寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):

(1)1,3,5,7;

(4)2,0,2,0.

設(shè)計(jì)意圖根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式．這是本節(jié)課的重點(diǎn)．教師適時(shí)引導(dǎo),讓學(xué)生先自己解決,然后教師重點(diǎn)講解．重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)常用的思考方法,寫通項(xiàng)公式時(shí),就是要去發(fā)現(xiàn)項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系,對各項(xiàng)進(jìn)行多角度、多層次觀察,找出這些項(xiàng)與對應(yīng)序號(hào)之間的對應(yīng)關(guān)系,必要時(shí)還需對給定的表達(dá)式作適當(dāng)變形

設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生能及時(shí)消化,鞏固并運(yùn)用所學(xué)知識(shí),提升能力．樹立用函數(shù)觀點(diǎn)處理數(shù)列問題的意識(shí)與能力,尤其是用“作差法“判定數(shù)列的單調(diào)性．

四、課堂練習(xí)

1.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值,寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:

①3,5,9,17,33,…;

③0,1,0,1,0,1,…;

④2,-6,12,-20,30,-42,….

2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-2n2+9n+3,10和-53是該數(shù)列中的項(xiàng)嗎?該數(shù)列有最大項(xiàng)嗎?若有,最大項(xiàng)是第幾項(xiàng)?

設(shè)計(jì)意圖通過練習(xí),進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí),及時(shí)檢測、反思、評(píng)價(jià),形成能力．

五、課堂小結(jié)與作業(yè)(略).

○教學(xué)研究○