寧夏固原一中 柳偉博

數(shù)學(xué)解題后反思，讓學(xué)生思維繼續(xù)飛翔

寧夏固原一中 柳偉博

學(xué)生通過(guò)解題后的反思，不斷地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對(duì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行不斷地思考并做出新的判斷，體會(huì)解題帶來(lái)的樂(lè)趣，享受探究帶來(lái)的成就感。逐步養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)。

反思 分析 歸納 概括提高能力

由于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的限制，表現(xiàn)出對(duì)知識(shí)不求甚解，熱衷于做大量題，不善于解題后對(duì)題目進(jìn)行反思，普遍欠缺一個(gè)提高解題能力的重要環(huán)節(jié)，也不善于糾正和找出自己的錯(cuò)誤，缺乏解題后對(duì)解題方法、數(shù)學(xué)思維的概括，掌握知識(shí)的系統(tǒng)性較弱、結(jié)構(gòu)性較差。一道數(shù)學(xué)題經(jīng)過(guò)一番艱辛，苦思冥想解出答案后，必須認(rèn)真進(jìn)行如下探索：命題的意圖是什么？考查的概念、知識(shí)和能力是什么？驗(yàn)證解題結(jié)論是否正確合理，命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備？求解論證過(guò)程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完善？本題有無(wú)其他解法——一題多解？多題一解？通過(guò)解題后反思，改進(jìn)解題過(guò)程、探討知識(shí)聯(lián)系、知識(shí)整合、探究規(guī)律等一系列思維活動(dòng)。

解題后反思的積極意義有如下幾個(gè)方面。

一、積極反思，查缺補(bǔ)漏，確保解題的合理性和正確性

解數(shù)學(xué)題，有時(shí)由于審題不明確，概念不清，忽視條件，套用相近知識(shí)，考慮不周或計(jì)算出錯(cuò)，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，即學(xué)生解數(shù)學(xué)題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證?？墒且恍┩瑢W(xué)把完成作業(yè)當(dāng)成是趕任務(wù)，解完題目萬(wàn)事大吉。由此產(chǎn)生大量謬誤，應(yīng)該引起重視，加以克制，引以為戒。如1.結(jié)論荒唐，引為笑柄；2.以特殊代替一般；3.臆造“定理”，判斷無(wú)據(jù)，以日常概念代替科學(xué)概念。以上常見(jiàn)的錯(cuò)誤，不勝枚舉。

二、積極反思，探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力

數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系縱橫交錯(cuò)，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路，最優(yōu)最簡(jiǎn)捷的解法。不能解完題就此罷手，如釋重負(fù)。應(yīng)該進(jìn)一步反思，探求一題多解，多題一解的問(wèn)題，開(kāi)拓思路，溝通知識(shí)，掌握規(guī)律，權(quán)衡解法優(yōu)劣，再更高層次更富有創(chuàng)造性地去學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié)，使自己的解題能力更勝一籌。如一題多解，每一種解法可能用到不同章節(jié)的知識(shí)，這樣一來(lái)可以復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，掌握不同解法技巧，同時(shí)每一種解法又能解很多道題，然后比較眾多解法中對(duì)這一道題哪一種最簡(jiǎn)捷，最合理？把本題的每一種解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣，同時(shí)既可看到知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運(yùn)用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會(huì)師、轉(zhuǎn)化條件等，善于總結(jié)，掌握規(guī)律，探求共性，再由共性指導(dǎo)我們?nèi)ソ鉀Q碰到的這類問(wèn)題，便會(huì)迎刃而解，這對(duì)提高解題能力尤其重要。

三、積極反思、系統(tǒng)小結(jié)，使重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律條理化，在解題中應(yīng)用自如、改進(jìn)過(guò)程，尋找解題方法上的創(chuàng)新

在問(wèn)題解決之后，要不斷地反思：解題過(guò)程是否浪費(fèi)了重要的信息，能否開(kāi)辟新的解題通道？解題過(guò)程多走了哪些思維回路，思維、運(yùn)算能否變得簡(jiǎn)捷？是否拘泥于思維定式，照搬了熟悉的解法？通過(guò)這樣不斷地質(zhì)疑、不斷改進(jìn)，讓解題過(guò)程更具有合理性、科學(xué)性、簡(jiǎn)捷性。

例：求證：正四面體和正八面體相鄰兩側(cè)所成的二面角互補(bǔ)。此題有常規(guī)的解題思路：分別求出兩個(gè)多面體的二面角的值，再求和。這也是一般參考書(shū)上的解法。探索解題過(guò)程，總感覺(jué)這樣解題很笨拙，缺少靈氣！不能反映兩個(gè)多面體的巧妙結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，問(wèn)題隱含了“結(jié)構(gòu)”這個(gè)重要信息，那么，能否把“結(jié)構(gòu)”作為切入點(diǎn)去探究問(wèn)題呢？

四、重視知識(shí)的遷移和應(yīng)用，探究問(wèn)題所含知識(shí)的系統(tǒng)性

解題之后，要不斷地探究問(wèn)題的知識(shí)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性。能否對(duì)問(wèn)題蘊(yùn)含的知識(shí)進(jìn)行縱向深入的探究？能否加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系？把問(wèn)題所蘊(yùn)含的孤立的知識(shí)“點(diǎn)”，擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”。通過(guò)不斷的拓展、聯(lián)系、加強(qiáng)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解，進(jìn)而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)的系統(tǒng)性。”

五、整合知識(shí)，創(chuàng)新設(shè)問(wèn)

要讓學(xué)生明白，問(wèn)題與問(wèn)題之間不是孤立的，許多表面上看似無(wú)關(guān)的問(wèn)題卻有著內(nèi)在的聯(lián)系，解題不能就題論題，要尋找問(wèn)題與問(wèn)題之間本質(zhì)的聯(lián)系，要質(zhì)疑為什么有這樣的問(wèn)題？他和哪些問(wèn)題有聯(lián)系？能否受這個(gè)問(wèn)題的啟發(fā)。將一些重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效的整合及創(chuàng)造性的設(shè)問(wèn)，讓學(xué)生在不斷的知識(shí)聯(lián)系和知識(shí)整合中，豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，體驗(yàn)“創(chuàng)造”帶來(lái)的樂(lè)趣，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維是非常有利的。

六、探究規(guī)律，形成小結(jié)

對(duì)每個(gè)問(wèn)題都要尋根問(wèn)底，能否得到一般性的結(jié)果，有規(guī)律性的發(fā)現(xiàn)？能否形成獨(dú)到的見(jiàn)解，有自己的小發(fā)明？點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，都能喚起學(xué)生的成就感，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索問(wèn)題的興趣。長(zhǎng)期的積累，更有利于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的個(gè)性特征的形成，并增加知識(shí)的存儲(chǔ)量。

總之，解題后引導(dǎo)學(xué)生不斷地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對(duì)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行不斷的思考并做出新的判斷，讓學(xué)生體會(huì)解題帶來(lái)的樂(lè)趣，享受探究帶來(lái)的成就感。長(zhǎng)此以往，逐步養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件。