福建省建陽二中 黃培憲

講題的探索

福建省建陽二中 黃培憲

教師的講題，要引導學生用科學的思維方式，數(shù)學的思想方法，在學生真正掌握所學內(nèi)容的基礎(chǔ)知識、基本技能的前提下，從問題的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)上分析問題，講題要有歸納，有小結(jié)，要讓學生走進課堂與走出課堂不一樣，知識、技能、方法、習慣、興趣和需要（喚醒或激發(fā)）其中的幾項或全部有新的收獲。講題的過程不是講，而是導。講題的目的不是解答一題，而是讓學生通過參與該題的分析思考得到一次經(jīng)驗，有所啟發(fā)，使視野得到擴展，并在師生互動的過程中理解多樣的思維方式，借授人以魚達到授人以漁的目的。

講題 本質(zhì) 結(jié)構(gòu) 分析歸納

無論什么級別的考試，都是通過解題來考查學生的數(shù)學能力和水平。著名美國數(shù)學家和數(shù)學教育家喬治·波利亞說過：中學數(shù)學教學的首要任務就是加強解題訓練。掌握數(shù)學就意味著善于解題。 南京師范大學教授單墫認為，解題是數(shù)學學習的中心，學習數(shù)學就是學會解題。那么怎樣才能培養(yǎng)學生的解題能力呢？這很大程度上取決于教師在平時的教學中如何講題。說到講題，有哪位老師不會講？大家都“會”，可是收效卻大有區(qū)別。這個問題我們很多教師還沒有認真研究，甚至講題還只停留在解題的框架內(nèi)。那么在課堂上怎樣講題才能收到比較理想的效果呢？下面我來說說我的觀點。

數(shù)學課離不開講題，講例題、講習題，評講考題?？荚囈院笪页Ｂ牭嚼蠋焸冋f，這道考題的類似題我們考前都講過，而且講得很清楚，本以為他們完成得不錯，沒想到還是那么多人不會?？墒抢蠋焸冇袥]想過：為什么會這樣？你是怎么講的？你講的時候?qū)W生在做什么？你真的講清楚了嗎？

首先我們先弄清楚什么是“講題”，目前很多學校都開展了教師的說題活動，這能有效提高教師講題的水平，但說題不等同于講題，說題是面向教師的，說題的內(nèi)容是：1.說題目2.說學法3.說教法。講題是面對學生的，以下是關(guān)于講題的三個環(huán)節(jié)：1.審題分析：①題目背景：題目的出處、涉及的知識點。②分析題目的條件、題目的大致意思，特別要注意挖掘題目中的隱含條件。③題目的難點和關(guān)鍵點。④學生學情分析(學情分析要客觀，應根據(jù)講題所要解決的題目的難點、重點，具體分析學生已有知識水平與能力，不要籠統(tǒng)地以“基礎(chǔ)差”、“能力差”來敷衍)。2.解題的過程、方法、步驟、解答的格式和表述(方法要符合學生實際，不能將后面的知識往前移)。3.總結(jié)提升：①揭示解題規(guī)律。②題目涉及的數(shù)學思想方法。③題目變式、引申(視情況而定)。④反思思維過程、反思解題過程，指出易錯點。

以上三個環(huán)節(jié)，是對講題的一種規(guī)范要求，應該是比較全面的，但老師在講題時不一定面面俱到，不同的題目，不同的年段，不同的班級，面對不同的學生學情，講的內(nèi)容、方式都有差別，但可以先參考以上環(huán)節(jié)再進行取舍，即便是老師自己從備課寫教案到上課之間都有距離，備課的內(nèi)容和實施的未必一致，何況既定的環(huán)節(jié)？所以要做好學情分析。講題的目的是讓學生真正學會如何運用數(shù)學的思維方式去分析問題，解決問題，而不是停留在老師很賣力地講。我認為講題應該講本質(zhì)，講結(jié)構(gòu)，注重過程、分析與歸納。我們有的老師上課心里揣著進度，只想這節(jié)課要完成多少題的評講，走進教室開始就一路狂奔，一題接著一題，講題過程也只是告訴學生該題怎么解，正確解法是什么，答案是什么，完了接著下一題，下課后再拖幾分鐘，完成進度后走出教室，長舒一口氣，總算講完了。這樣學生只能通過大量解題才能憑記憶效仿來解決類似的問題，需要題海戰(zhàn)術(shù)，事倍而功半，一旦遇到題目新穎、不曾相識的就無從下手，亂了陣腳，實在是不可取。都說教是為了不教，講當然是為了不講，我們講題應該把題目作為一個平臺，引導學生用數(shù)學的思維方式，數(shù)學的思想方法，在真正掌握所學內(nèi)容的基礎(chǔ)知識、基本技能的前提下，抓住問題的本質(zhì)，分析問題要居高臨下，全面客觀，這樣才能找到破題的鑰匙，為今后的解題提供一個范例，起到舉一反三的作用。今后學生看到一個新的題目不會茫然而不知所措，而是能夠居高臨下，有條不紊地審題分析，從而解決問題。下面舉兩個例子具體闡述。

例題一：定義在（0，+∞）上的可導函數(shù)f（x）滿足xf'（x）-f（x）=x，且f（1）=1。現(xiàn)給出關(guān)于函數(shù)f（x）的下列結(jié)論：

（3）函數(shù)f（x）有且只有一個零點；

（4）對于任意x>0，都有f（x）≤x2。其中正確結(jié)論的個數(shù)是

A.1 B.2 C.3 D.4

本題是2015年福建省高三質(zhì)檢卷第10題，是選擇題中的最后一題，具有一定的難度，學生能在考場中做對的很少。本題考查的知識有對數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)，導函數(shù)，導數(shù)公式?？疾閷W生讀題，提取有效信息，分析提高整合的能力。我在評講該題時的做法是：引導學生，從題目中尋找有效信息確定破題入口：

（1）根據(jù)分析法，引導學生思考，先從題目的要求看，本題考查的是函數(shù)f（x）的圖像性質(zhì)，所以必須先求函數(shù)f（x）的表達式。從選項看，該函數(shù)的值含有e，這里提示怎樣的信息？函數(shù)表達式有自然對數(shù)?。◤膯栴}的提出，到結(jié)論的給出要給學生相應的時間，由學生思考回答，大多問題學生都能得到正確結(jié)論，如有困難，教師再做進一步引導，切不可包辦代替，急于給出結(jié)論。下同。）這里老師要說的是，選擇題的選項中同樣含有重要信息，不可忽視。

（2）根據(jù)綜合法，由f（x）滿足xf'（x）-f（x）=x，這個條件所提供的信息是什么？如果從它的本質(zhì)屬性和結(jié)構(gòu)特征進行分析有什么結(jié)論？根據(jù)學生現(xiàn)有的知識水平不難得到：等式左邊像商的導數(shù)公式，但沒有分母x2，所以就此路不通，不會了，很多學生就放棄了。很遺憾！我對學生說：其實有很多似是而非，似非而是的題，只要你看準了，如果條件不夠或者多余、變形等等，可以自己創(chuàng)造條件以達到想要的目標，當然你的創(chuàng)造必須合理，一旦達成，就是一片新天地?。ㄟ@才是教師所要教給學生的，對今后的解題具有指導意義?。┍绢}從本質(zhì)，從結(jié)構(gòu)看，函數(shù)導數(shù)就是考查要點，如果題中給出分母x2，那就少了一項重要的考查內(nèi)容，難度就降低了，現(xiàn)在知道要怎么做了嗎？學生很快就知道等式兩邊同除以x2，結(jié)果是多完美的結(jié)論啊！那么什么函數(shù)的導數(shù)等于呢？自然對數(shù)！這個結(jié)論從選項中含有e得到佐證，選項也是信息源，選項提供的信息同樣很重要，顯然是c(這里有一部分學生不知道+c，這是對導數(shù)的公式的本質(zhì)理解不清晰，沒有考慮常數(shù)的導數(shù)是零，暴露學生思維的嚴謹性不夠好，在這里特別強調(diào)類似的問題，今后要特別注意)。 所以 f(x)=x(ln x+c)，本題解到這里，前提是大家對導數(shù)公式及其結(jié)構(gòu)特征很熟悉，并學會從條件的本質(zhì)結(jié)構(gòu)中分析問題，目標一旦確立，沒有條件創(chuàng)造條件也要上！這就是我選例題的意義所在。由條件f(1)=1，易得到C=1；所以f(x) =x(ln x+1)；接下來就是對函數(shù)f(x)的圖像性質(zhì)的考查。

下面，我從老師們在教學中的一個困惑，繼續(xù)闡述怎樣從本質(zhì)、結(jié)構(gòu)、注重過程、分析與歸納來講題。問題是“初中數(shù)學完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2看似很簡單，上課也沒發(fā)現(xiàn)什么特別的障礙，可學生運用起來卻錯誤很多。老師是怎么講這個公式的，具體都什么樣的題出錯無需列舉。我想，要從公式的源頭上解決問題，首先，應該從平方運算的本質(zhì)是兩個相同因式的積入手，讓學生計算：（1）（a+b）2=（a+b）（a +b）=a2+2ab+b2；（2）（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b）=（a2+2ab+b2）（a+b）=……=a3+3a2b +3ab2+b3；（3）（a+b+c）2=（a+b+c）（a+b+c）=……=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac。學生通過多項式乘法運算的過程，加深了對公式的本質(zhì)理解，還鍛煉了學生的運算能力。引導學生觀察（1）、（3）式的計算過程和結(jié)果，探究結(jié)構(gòu)特征：①展開后分別是四項和九項，合并同類項后結(jié)果是三項和六項；②每項都是二次，都含有展開前括弧內(nèi)任兩項的乘積的2倍項，對稱美觀。比較（1）式和（2）式，其結(jié)構(gòu)特征是：①展開式分別為三項和四項，項數(shù)比次數(shù)多一；②各項是由二項式中的前項按降冪排列，后項按升冪排列的積，各項系數(shù)分別是1，2，1和1，3，3，1。教師還可以介紹4，5次方二項展開式的排列方式，結(jié)構(gòu)相同，系數(shù)為“楊輝三角”（列出圖形），讓學生感受到驚奇，賞識數(shù)學的結(jié)構(gòu)美，有利于加深學生對公式的認知與記憶。（2），（3）式的提出不是要學生學會這個公式，而是通過它們讓學生從公式的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)上去認識完全平方公式，從數(shù)學的體系來說，完全平方公式只是二項式定理的最簡單形式。這不是后面知識的前移，是對學生學習的興趣和好奇心的喚醒或激發(fā)，對今后學習會充滿期待，具有積極的作用，符合教學的遠效性需要！整個過程除了教師介紹4，5次方二項展開式的排列方式，系數(shù)為“楊輝三角”外，學生要全程參與，師生互動，共同完成，對公式的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)有了深刻的過程體驗，今后就不易含糊不清了。教師如果一味灌輸往往會徒勞無功，讓學生參與推導，不乏分析，歸納，類比等數(shù)學思想方法，可以培養(yǎng)學生基本的數(shù)學素養(yǎng)。加上老師們精心設(shè)計的例題，練習題，讓學生在運用公式的過程中進一步體會其結(jié)構(gòu)特征，做到心領(lǐng)神會，今后的錯誤自然就減少了。

講題，對不同的題型，不同的學情，側(cè)重點不同，方法也不一樣。但目的是一樣的，就是要讓學生走進課堂與走出課堂不一樣，知識、技能、方法、習慣、興趣和需要（喚醒或激發(fā)）其中的幾項或全部有新的收獲。講題的過程不是講，而是導。講題的目的不是解答一題，而是讓學生通過參與該題的分析思考得到一次經(jīng)驗，得到啟發(fā)，視野得到擴展，在師生互動的過程中理解多元化的價值觀和多樣的思維方式，借授人以魚達到授人以漁的目的。

3.以檢查促進預習的執(zhí)行力。教師可以在課堂上用提問的方式檢查學生課前自學情況，或者運用班級學習小組的管理體系進行監(jiān)督。

預習是培養(yǎng)自主學習能力的重要環(huán)節(jié)，抓住了這一環(huán)節(jié)，就等于學生從被動的學開始轉(zhuǎn)化為主動的學。學生帶著問題聽課，可以更快地把握學習內(nèi)容的要點，提高學習的效率。

四、教師課堂關(guān)注自主學習，關(guān)鍵是學生的參與度

通過課前的預習、自學，學生對新課的內(nèi)容有了一定的了解。學生帶著問題聽課，依然要以學生作為主體參與教學過程為特點，來培養(yǎng)學生的自學習慣和主動獲取知識的能力。

1.建立小組競爭課堂模式，但不拘泥于“模式”，抓住課堂的根本：學生的主動參與。首先我做的是把班級合理地劃分為八個小組，建立一套可行的小組評價機制和小組監(jiān)督機制。數(shù)學課堂主要以小組為依托展開教學。一堂課把評價轉(zhuǎn)嫁在小組上，使得小組的同學積極思考和發(fā)言，為小組爭取榮譽。

2.問題的開放性設(shè)置。要在課堂上對學生進行自學能力的培養(yǎng)，教師可以對一些有思考價值的數(shù)學問題的提問方式進行改造。

3.人人可做小老師，方法結(jié)論都共享。課堂上，老師不妨把一部分時間交給學生，讓學生來講基本的知識；讓學生來點評學生的黑板演練；讓學生對同一問題，進行多種方法的講解；讓學生來進行一堂課內(nèi)容的總結(jié)。這種方式促使了學生對自身能力的要求，實施一定的時間后，確實收到了理想的效果。

4.教師點撥，深化探究。這是課堂教學活動的最高境界，老師利用課堂上學生掌握的新知識，去解決生活中的實際問題，既可以對課堂上所學的知識進行深化，同時又可以將學生的思維帶入一個更高的層次。