楊　昆，晉艷娟，李盛靜，崔小朝

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

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多孔板等效彈性常數(shù)的均勻化預(yù)測(cè)及實(shí)驗(yàn)研究

楊昆，晉艷娟，李盛靜，崔小朝

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

摘要：基于均勻化方法，對(duì)多孔板的宏觀等效彈性常數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到了面內(nèi)的彈性模量、泊松比和剪切模量。然后通過(guò)拉伸實(shí)驗(yàn)的方法，對(duì)多孔板進(jìn)行拉伸性能測(cè)試，得到了應(yīng)力應(yīng)變曲線，并將實(shí)驗(yàn)得到的彈性模量與均勻化方法計(jì)算得到的彈性模量進(jìn)行比較。結(jié)果表明，均勻化方法計(jì)算得到的等效彈性模量與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了均勻化方法預(yù)測(cè)多孔板彈性常數(shù)的可行性。

關(guān)鍵詞：均勻化方法；多孔板；等效彈性常數(shù)；實(shí)驗(yàn)研究

多孔板類結(jié)構(gòu)在各類核電設(shè)備、換熱設(shè)備中應(yīng)用十分廣泛，其特點(diǎn)是在結(jié)構(gòu)中周期性分布著許多小孔，這些小孔的尺寸與整體的多孔板的尺寸相比小得多。在對(duì)周期性分布小孔的多孔板結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析時(shí)，將圓孔多孔板當(dāng)量化成均質(zhì)實(shí)心板是一種有效的方法[1]。這種均質(zhì)的實(shí)體板，即當(dāng)量板，必須具有與實(shí)際開孔板等效的彈性常數(shù)。文獻(xiàn)[1]總結(jié)了當(dāng)量板彈性常數(shù)的求解方法，給出了常見圓孔板有效彈性常數(shù)工程設(shè)計(jì)公式[2]，但多數(shù)是通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法得到的。對(duì)于圓孔多孔板，由于其研究方法、建立的模型不同，得到的結(jié)果也存在差異。

均勻化理論(homogenization)于20世紀(jì)70年代由法國(guó)科學(xué)家提出[3-4]。一直以來(lái)，該方法被認(rèn)為是復(fù)合材料、混凝土材料當(dāng)量性能的常用手段之一。該理論也可應(yīng)用于計(jì)算多孔板的宏觀等效彈性常數(shù)[5-7]。因此，本文基于均勻化方法對(duì)圓孔多孔板的等效彈性常數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到圓孔板的等效彈性模量，然后通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得面內(nèi)彈性模量，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，證明均勻化方法的正確性。

1均勻化方法及其有限元列式

均勻化方法是一種用于分析周期性微觀結(jié)構(gòu)材料性能并且經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法。它由材料的微觀結(jié)構(gòu)“胞元”出發(fā)，將胞元均勻化方法引入到宏觀和微觀尺度中，采用攝動(dòng)技術(shù)建立了宏細(xì)觀之間的聯(lián)系，由一個(gè)細(xì)觀單胞進(jìn)而得到整體材料的宏觀性能。因此，周期性微觀結(jié)構(gòu)在周期性邊界條件下等效彈性常數(shù)的計(jì)算表達(dá)式為：

(1)

由于周期性結(jié)構(gòu)材料為橫觀各向同性，彈性系數(shù)矩陣為對(duì)稱矩陣[Cijmn]，且Cijmn用緊縮形式Dij表示，則有：

[Cijmn]=D=[d1,d2,d3,d4,d5,d6]

(2)

同時(shí)定義：

(3)

(4)

代表單元體為橫觀各向同性材料，微分ε(χmn)可表示為:

利用有限單元離散代表單元體，選取四面體單元作為離散單元，對(duì)于任意單元，利用相應(yīng)的插值函數(shù)分別對(duì)χkl，ε(χkl)，v，ε(v)進(jìn)行插值:

(5)

(6)

根據(jù)式(2)-(6)，方程(1)可分別化為：

(7)

(8)

(9)

則方程(7)可化為：

(10)

節(jié)點(diǎn)虛位移u可以任意取值，方程(10)簡(jiǎn)化為：

(11)

2多孔板的彈性常數(shù)預(yù)測(cè)

2.1　多孔板有限元模型的建立

正四邊形和正三角形的排列方式在多孔板結(jié)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)用中較為常見，如圖1所示。根據(jù)購(gòu)買的如圖1(b)所示的排列方式的圓孔多孔板建立有限元分析模型，如圖2所示，具體模型尺寸見表1.根據(jù)單胞排列的對(duì)稱性和單胞的周期性邊界條件的要求，圖中陰影部分即為1/4單胞有限元分析的計(jì)算區(qū)域。

圖1　多孔板開孔的分布規(guī)律

圖2　有限元分析模型

模型(相對(duì)密度)a(mm)b(mm)厚度(mm)r(mm)模型1(51.9%)19110.44模型2(65.0%)1480.42.5

利用Abaqus有限元軟件建立單胞的實(shí)體及有限元模型，其單元類型采用四面體單元。在有限元分析模型的建立過(guò)程中，首先建立單胞模型的1/4并對(duì)其劃分網(wǎng)格，然后再將網(wǎng)格部件進(jìn)行對(duì)稱復(fù)制操作，從而保證所有節(jié)點(diǎn)位置的完全對(duì)應(yīng)。多孔材料的彈性常數(shù)為：E=32.46 GPa，v=0.25.

2.2　周期性邊界條件的確定

對(duì)細(xì)觀單胞進(jìn)行有限元求解時(shí)，需要滿足周期性邊界條件。采用建立點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的約束方程、施加頂點(diǎn)零位移自由度的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)周期性邊界條件在Abaqus軟件中的加載。若用u，v和w分別表示等效位移χ在y1、y2和y3三個(gè)方向的位移分量，那么周期性邊界條件如式(12)所示。

(12)

2.3　計(jì)算結(jié)果

將有限元計(jì)算的結(jié)果，運(yùn)行均勻化方法計(jì)算宏觀彈性矩陣的程序，得到多孔板的彈性張量CH(單位：GPa).進(jìn)而得到多孔板面內(nèi)的宏觀彈性常數(shù)見表2.

表2　多孔板的宏觀彈性常數(shù)

由表2可知，隨著相對(duì)密度的增大，面內(nèi)的彈性模量越大，剪切模量也越大，即隨著相對(duì)密度的增大，面內(nèi)的彈性模量和剪切模量都呈現(xiàn)逐漸增加的趨勢(shì)。

3多孔板材料性能的實(shí)驗(yàn)研究

3.1　試驗(yàn)試樣及實(shí)驗(yàn)裝置

選擇孔徑大小不同的兩種的圓孔多孔板進(jìn)行試驗(yàn)，試樣1長(zhǎng)寬為：110 mm×19 mm ，孔半徑為4 mm，試樣2的長(zhǎng)寬為：80 mm×14 mm，孔半徑為2.5 mm.實(shí)驗(yàn)裝置采用XWW-20A型電子萬(wàn)能材料實(shí)驗(yàn)機(jī)。

3.2　多孔板拉伸實(shí)驗(yàn)

試驗(yàn)選擇兩組孔徑大小不同的試件。夾好試件后，采用位移控制在多孔板y方向緩慢加載直至多孔板斷裂。實(shí)驗(yàn)完成后，圓孔半徑為4 mm的圓孔多孔板的一組應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3所示。

圖3　圓孔直徑8 mm多孔板的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

相對(duì)密度(孔徑)彈性模量均勻化方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果51.9%(r=4mm)14.90GPa13.26GPa65.0%(r=2.5mm)17.05GPa15.87GPa

通過(guò)多次試驗(yàn)求平均的方法，得到不同孔徑的多孔板的彈性模量，孔半徑為4 mm的多孔板的彈性模量為13.26 GPa，孔半徑為2.5 mm的多孔板的彈性模量為15.87 GPa.由模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)平均值(表3)的比較發(fā)現(xiàn)均勻化方法的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合。結(jié)果表明，均勻化方法可以用于預(yù)測(cè)圓孔多孔板的等效彈性模量。

4結(jié)論

利用均勻化方法對(duì)圓孔多孔板的等效彈性性能進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到了多孔板的等效彈性常數(shù)，其面內(nèi)等效彈性模量的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合，說(shuō)明均勻化方法預(yù)測(cè)圓孔多孔板等效彈性模量的正確性。隨著相對(duì)密度的增大，彈性模量和剪切模量逐漸增大。

參考文獻(xiàn)：

[1]OSWEILLER F.Evolution and Synthesis of the Effective Elastic Constants Concept for the Design of Tubesheets[J].Journal of Pressure Vessel Technology，1989，111(3)：209-217.

[2]JAMESR FARR，MAANH JAWAD.ASME壓力容器設(shè)計(jì)指南[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2003.

[3]PALEY M，ABOUDI J.Micromechanical analysis of composites by the generalized cells model[J].Mechanics of Materials，1992，14(2)：127-139.

[4]GHOSH S，LEE K，MOORTHY S.Multiple scale analysis of heterogeneous elastic structures using homogenization theory and Voronoi cell finite element method[J].International Journal of Solids and Structures，1995，32(1)：27-62.

[5]汪榮鑫.數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，1986.

[6]龔曙光，陳艷萍，謝桂蘭.均勻化理論在多孔板結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用研究[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù).2004，23(8)：995-998.

[7]HASSANI B，HINTON E.A review of homogenization and topology optimization I—homogenization theory for media with periodic structure[J].Computers & Structures，1998，69(6)：707-717.

Homogenization Predication of Equivalent Elastic Modulus for Perforated Plates and Experimental Research

YANG Kun，JIN Yan-juan，LI Sheng-jing，CUI Xiao-chao

(School of Applied Sciences，Taiyuan University of Science and Technology， Taiyuan 030024，China)

Abstract：The equivalent elastic modulus of perforated plates can be predicted based on homogenization theory，and the in-plane elastic modulus，Poisson′s ratio and shear modulus can be achieved.Then the tensile property of perforated plates can be tested with tensile experiment method， and the stress-strain curves were got.The elastic modulus obtained by experiment method is compared with that calculated by homogenization method.The results show that the elastic modulus calculated by homogenization theory is consistent with that obtained by experiment，and it is verified to be feasible to predict elastic modulus of perforated plates with homogenization method.

Key words：homogenization method，perforated plates，equivalent elastic constant，experimental research

中圖分類號(hào)：TB383

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673-2057.2016.01.017

文章編號(hào)：1673-2057(2016)01-0077-04

作者簡(jiǎn)介：楊昆(1993-)，男，主要研究方向?yàn)楣こ虇?wèn)題的數(shù)值解法；通訊作者：晉艷娟，博士，講師，E-mail：jinyanjuan2003@163.com

基金項(xiàng)目：山西省高等學(xué)校大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目(2014261)；校級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目(xj2014019)；山西省基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(2015011002，2015021021)

收稿日期：2015-04-17