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用極限思想解決數(shù)列問(wèn)題

楊俊

(安徽省舒城中學(xué)，231300)

極限的思想是近代數(shù)學(xué)的重要思想.極限思想在解決中學(xué)數(shù)學(xué)中變量間的無(wú)窮運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí),可以幫助我們直觀理解問(wèn)題的最終形態(tài),特別是針對(duì)近幾年的各地高考題所設(shè)置的高等數(shù)學(xué)背景下的中等數(shù)學(xué)問(wèn)題,有很好的使用效果,能大大提升解決問(wèn)題的概率．

一、用極限的思想解決數(shù)列的求和問(wèn)題

在不等式中解決代數(shù)式與常數(shù)大小證明問(wèn)題時(shí),如利用極限思想構(gòu)造一個(gè)以該常數(shù)為極限的加強(qiáng)不等式,往往可使問(wèn)題得以輕松解決．

例1求證:

證明因?yàn)閚→+∞時(shí),

假設(shè)當(dāng)n=k(≥1)時(shí)成立,即

則當(dāng)n=k+1時(shí)

所以,當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.

評(píng)注該題直接用數(shù)學(xué)歸納法很難處理,但將不等式右式通過(guò)極限的思想構(gòu)造一個(gè)關(guān)于n的代數(shù)式,就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)歸納法處理問(wèn)題的常見(jiàn)題型,使問(wèn)題很容易得以解決．

二、利用極限的思想求解數(shù)列的通項(xiàng)公式

在下面的問(wèn)題中用極限思想解決,能夠讓我們站在更高的角度看待問(wèn)題,使問(wèn)題結(jié)構(gòu)更清晰,方向更明確,解決問(wèn)題的思路更有條理性．

例3(2014年湖南高考題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,|an+1-an|=pn，n∈N*

(1)若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,求p的值;

解(1)略.

由于{a2n-1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,所以存在常數(shù)c,使得

n→+∞時(shí),a2n-1→c,a2n→c且

(*)

(** )

三、利用極限思想求數(shù)列中的參數(shù)范圍

在數(shù)列中求參數(shù)范圍問(wèn)題,對(duì)參數(shù)范圍的估計(jì)是構(gòu)建問(wèn)題解決方案的一大難點(diǎn),不能估計(jì)出參數(shù)的范圍,解題的方向性就不夠明確．所以若能夠用極限的思想先估算出參數(shù)范圍,則只需對(duì)估算的結(jié)果做出證明即可,往往能收到奇效．

例4(2014年重慶高考題)設(shè)a1=1,

(1)若b=1,求a2,a3及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若b=-1,問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n

解(1)略.

(2)(i)先用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)n∈N*，有0≤an≤1.

綜上，0≤an≤1. 特別地,n≥3時(shí)，0

(ii)其次證明{a2n-1}是遞減數(shù)列,{a2n}是遞增數(shù)列.

事實(shí)上

a2k+3-a2k+1

由于

>0,a2k+2+a2k-2<0，

所以a2k+3-a2k+1與a2k+2-a2k異號(hào).

(*)

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明(*)成立：

(1)證明:數(shù)列{xn}為遞增數(shù)列的充要條件是c<0;

(2)求c的取值范圍,使數(shù)列{xn}為遞增數(shù)列.

解(1)略.

(*)

評(píng)注數(shù)列中求參數(shù)范圍多年來(lái)都是高考中的難點(diǎn)問(wèn)題,因?yàn)檫@種題型高度抽象與概括,變形靈活,構(gòu)思巧妙,這給學(xué)生答題造成了很大難度.運(yùn)用極限思想,可使參數(shù)取值范圍明確化,解決問(wèn)題的方向和策略更清晰．