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函數(shù)零點(diǎn)問題的常見處理策略

臧華

(江蘇省泰州市姜堰區(qū)蔣垛中學(xué)，225503)

在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生經(jīng)常會(huì)碰到函數(shù)零點(diǎn)問題.雖然命題類型不多，但是難度頗大.如果學(xué)生解題方法掌握不到位,解題時(shí)往往感到束手無策.解決函數(shù)的零點(diǎn)問題,通常有以下處理策略.

一、求解型

這類問題通常是研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)和確定零點(diǎn)所在區(qū)間,或者已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍.處理的方法有兩類:一類是直解型,另一類是圖象型.

例1函數(shù)

的零點(diǎn)為______.

分析兩段函數(shù)均可以直接解出零點(diǎn),需要注意的是定義域的限制.

解當(dāng)x≤0時(shí),由x2-2x-3=0，得x=3(舍去),x=-1;當(dāng)x>0時(shí),由-1+lnx=0，得x=e,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)分別為-1和e.

評(píng)注函數(shù)y=F(x)有零點(diǎn)等價(jià)于方程F(x)=0有實(shí)數(shù)根．當(dāng)函數(shù)是一元二次函數(shù)或者是基本初等函數(shù)時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)可以直接解出.

評(píng)注函數(shù)y=F(x)=f(x)-g(x)有零點(diǎn)也等價(jià)于函數(shù)y1=f(x),y2=g(x)圖象有交點(diǎn).

當(dāng)函數(shù)是一元二次函數(shù)和基本初等函數(shù)的組合時(shí)先判斷函數(shù)是否單調(diào):如果單調(diào)且連續(xù),可以用零點(diǎn)存在性定理檢驗(yàn)零點(diǎn)的情況;如果不單調(diào),可以先令函數(shù)等于0,移項(xiàng)后再作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,研究它們的交點(diǎn)情況.

變式訓(xùn)練函數(shù)f(x)=lnx+2x-5的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______(答1個(gè)).

例3已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

評(píng)注對(duì)于已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,首先變量分離,分離后方法如下:

(2)方程f(x)=a在區(qū)間I上的零點(diǎn)數(shù)?y=f(x)與y=a的圖象在區(qū)間I上的交點(diǎn)數(shù).

例4已知二次函數(shù)f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R)滿足f(1)=0,且關(guān)于x的方程f(x)+x+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間(-3,-2)、(0,1)內(nèi),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

分析先利用f(1)=0得到c關(guān)于b的表達(dá)式,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)g(x),再利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

解由題知，f(1)=1+2b+c=0,∴c=-1-2b.

記g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x-b-1,則

評(píng)注對(duì)于不方便變量分離的問題,可利用根與系數(shù)的關(guān)系處理.先作出圖象,標(biāo)出區(qū)間,寫出相應(yīng)限制條件.

二、求證型

這類問題要證明函數(shù)有一個(gè)或幾個(gè)零點(diǎn),通常處理方法是:零點(diǎn)存在性定理和導(dǎo)數(shù)法結(jié)合使用.

∴f(2)=a-c.

若c>0,則f(0)f(1)<0,f(x)在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn);

若c≤0,則f(2)>0，f(1)f(2)<0,f(x)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn).

所以函數(shù)f(x)在[0,2]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

評(píng)注利用零點(diǎn)存在性定理確定函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn),不僅要求函數(shù)f(x)在[a,b]上是連續(xù)的曲線,且f(a)f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性).

變式訓(xùn)練求證:函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+b-a在區(qū)間[-1,0]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

例6已知函數(shù)f(x)=(a-x)ex+1,其中a>0,證明函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

分析f′(x)=ex(-x+a-1).于是，可由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定f(a-1)是極大值,也是最大值.再結(jié)合函數(shù)的解析式特點(diǎn),判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,a-1)和(a-1,+∞)內(nèi)的變化情況,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理加以說明.

解f′(x)=ex(-x+a-1).

令f′(x)=0,解得x=a-1.

因?yàn)閤∈(-∞,a-1)時(shí),f′(x)>0,x∈(a-1,+∞)時(shí),f′(x)<0.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,a-1),減區(qū)間是(a-1,+∞).

所以f(a-1)是極大值,也是最大值,且

f(a-1)=ea-1+1>0.

① 當(dāng)x0,ex>0,

所以f(x)在(-∞,a-1)上恒為正數(shù),函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn).

② 當(dāng)x>a-1時(shí),取x=a+1,則f(a+1)=-ea+1+1.

因?yàn)閍>0,所以ea+1>e,-ea+1<-e.

從而f(a+1)=-ea+1+1<0.

由零點(diǎn)存在定理可知,在區(qū)間(a-1,a+1)上函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)?a-1,+∞)是f(x)的減區(qū)間,所以f(x)零點(diǎn)只有一個(gè).

綜上,函數(shù)f(x)零點(diǎn)只有一個(gè).

解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,主要方法有零點(diǎn)存在性定理和圖象法.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)求解參數(shù)的取值范圍主要有分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換等方法,掌握這些基本方法可以有效解決和零點(diǎn)相關(guān)的問題.