□浙江省杭州市景芳中學(xué) 吳潔慧

積累經(jīng)驗(yàn)·豐富理解·關(guān)注選擇
——一元二次方程的解法選擇探析

□浙江省杭州市景芳中學(xué) 吳潔慧

一、問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和提出

一元二次方程的解法及其應(yīng)用是中考必考內(nèi)容。例如2014年杭州中考第22題：菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，，BD=4，動(dòng)點(diǎn)P在線段BD上從點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，PP′⊥AB于點(diǎn)P′，四邊形PFBG關(guān)于BD對(duì)稱。四邊形QEDH與四邊形PFBG關(guān)于AC對(duì)稱，設(shè)菱形ABCD被這兩個(gè)四邊形蓋住部分的面積為S1，未蓋住部分的面積為S2,BP=x. （1）用含x代數(shù)式分別表示S1S2; （2）若S1=S2,求x.

中考考查的內(nèi)容更傾向于一元二次方程的計(jì)算，也就是作為求解工具融合在綜合性題目中進(jìn)行考查。因此，教師和學(xué)生往往會(huì)更加注重對(duì)解一元二次方程的操練，但是這種機(jī)械的訓(xùn)練往往會(huì)忽略了學(xué)生對(duì)于解法選擇的理解。因此，除了整體的教學(xué)思路和對(duì)知識(shí)本身的溯源，我們還應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)一元二次方程的解答原理的理解情況。

在求解不同的一元二次方程時(shí)，學(xué)生是否能夠根據(jù)不同情況選擇使用比較合適的解法進(jìn)行解答？學(xué)生在用配方法或者公式法求解一元二次方程時(shí)，是否能理解相應(yīng)解法的原理？在遇到可多種方法求解的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生更傾向哪種方法？

在浙教版八年級(jí)下教材的第二章一元二次方程的解法教學(xué)結(jié)束后，對(duì)于求解這道題“2x2+3x+1=0”，筆者統(tǒng)計(jì)了一下自己所教兩個(gè)班級(jí)81名學(xué)生中此題的方法選擇和各方法的正確率。其中選擇配方法的有32人約占39.5%，公式法的有23人約占28.4%，十字相乘因式分解法的有21人約占25.93%，其他5人，三種解法的正確率分別是50%、74%、86%。

在期中考前復(fù)習(xí)該章節(jié)內(nèi)容時(shí)，復(fù)習(xí)卷中有這樣一題：“解下列方程：2x2+5x+2=0”。筆者帶著困惑統(tǒng)計(jì)了一個(gè)年級(jí)386個(gè)學(xué)生，其中選擇配方法的有78人約占20.2%，公式法有188人約占48.7%，因式分解的87人約占22.5%，其他33人。三種解法的正確率分別是55.13%、81.9%、94.3%。

最后的期中考后一個(gè)練習(xí)中，安排了“x2-7x+10=0”。一個(gè)年級(jí)386個(gè)同學(xué)，其中選擇配方法的有102人約占26.4%，公式法有138人約占35.8%，因式分解的114人約占29.5%，其他32人，三種解法的正確率分別是54.9%、78.5%、92.1%。

為何配方法錯(cuò)誤率很高？又為何明明配方法錯(cuò)誤率高學(xué)生還樂(lè)此不疲？筆者隨機(jī)采訪了一些學(xué)生，得到了匪夷所思的答案：“因?yàn)榕浞椒◤?fù)雜，太難！”教師們想當(dāng)然地覺(jué)得因式分解的十字相乘法非常好用，盡管課標(biāo)沒(méi)有要求，教材也沒(méi)有要求，但是幾乎所有老師都補(bǔ)充教學(xué)了，結(jié)果卻令人費(fèi)解。到底是什么原因？我們教師又應(yīng)該如何處理這樣的情況？

二、問(wèn)題的原因分析

1.學(xué)生對(duì)一元二次方程解法的理解的采訪記錄。關(guān)于為什么教師認(rèn)為的因式分解法快捷正確率高，而不少學(xué)生卻會(huì)選用正確率不高的復(fù)雜的配方法，筆者隨機(jī)采訪了一些學(xué)生，得到了這樣的答案：

師：你為什么選擇配方法？

生1：因?yàn)榕浞椒◤?fù)雜，太難！

生2：因?yàn)槔蠋熣f(shuō)配方法很重要！

師：你為什么不選因式分解法？

生3：因?yàn)槭窒喑死蠋熣f(shuō)課標(biāo)不要求！就沒(méi)認(rèn)真聽(tīng)。

生4：因?yàn)槭窒喑朔ú欢?/p>

生5：因?yàn)橐蚴椒纸夥ú皇撬蟹匠潭伎梢杂?，但是配方法可以?/p>

師：那為什么不用公式法，公式法也是所有方程都可以用??！

生5：公式?jīng)]記住，沒(méi)背出來(lái)。

越是復(fù)雜的方法由于學(xué)生花費(fèi)理解的精力更多，反而記憶更加深刻，再一次說(shuō)明了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的重要性。而絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)于求根公式的理解就只限于“工具性理解”。

2.一元二次方程配方法錯(cuò)誤原因分析：（1）常數(shù)項(xiàng)移向變號(hào)出錯(cuò)；（2）添的常數(shù)項(xiàng)出錯(cuò)；（3）方程左邊因式分解錯(cuò)誤；（4）轉(zhuǎn)化成一元一次方程后計(jì)算錯(cuò)誤。

3.學(xué)生對(duì)一元二次方程解法的理解加深需要時(shí)間。不同于學(xué)習(xí)過(guò)程，理解不是簡(jiǎn)單化、線性化或者鏈條式地累積，而是非線性螺旋式地上升發(fā)展出來(lái)的。因此，隨著時(shí)間的推移，學(xué)生解方程的次數(shù)的增加，即活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，必然會(huì)從“工具性理解”向“關(guān)系性理解”轉(zhuǎn)化發(fā)展。而這個(gè)過(guò)程的進(jìn)度即發(fā)展速度部分是可根據(jù)教師的引導(dǎo)而有所不同。

三、問(wèn)題的教學(xué)對(duì)策

1.重視一元二次方程解法選擇專題訓(xùn)練。

在解一元二次方程時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)仔細(xì)觀察方程的形式特點(diǎn)和系數(shù)特點(diǎn)，選取較合適的方法來(lái)解一元二次方程，這樣有利于減少計(jì)算量，從而提高計(jì)算的正確性：

（1）沒(méi)有一次項(xiàng)的，形如ax2+c＝0，可以使用直接開(kāi)平方法。

（2）沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的，形如ax2+bx＝0,可以使用因式分解中的提取公因式法。

（3）三項(xiàng)都有，且二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，首先考慮利用十字相乘法因式分解，若不能進(jìn)行因式分解，可以考慮配方法。

（4）三項(xiàng)都有，且二次項(xiàng)系數(shù)不為1的，一般可以用公式法。

通過(guò)探究性學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程；通過(guò)變式訓(xùn)練，達(dá)到知識(shí)方法本質(zhì)的認(rèn)識(shí)；通過(guò)總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)“關(guān)系性理解”。

2.重視還原一元二次方程的歷史。通過(guò)做PPT、數(shù)學(xué)小報(bào)，豐富對(duì)于一元二次方程概念的理解和變量、等式之間的關(guān)系，來(lái)加強(qiáng)過(guò)程性教學(xué)。如開(kāi)展拓展性學(xué)習(xí)“幾何法求解一元二次方程”，介紹歷史上一些一元二次方程的幾何解法：歐幾里得解法，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米的解法，三國(guó)時(shí)期趙爽的解法，也可以借此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

3.重視求解過(guò)程中數(shù)學(xué)思想的滲透和提煉。著名數(shù)學(xué)家莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題。”數(shù)學(xué)的解題過(guò)程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)換過(guò)程。轉(zhuǎn)化，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，解一元二次方程的基本思路就是運(yùn)用了“轉(zhuǎn)化”的思想，即把待解決的問(wèn)題（一元二次方程），轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題（一元一次方程）。直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法中都滲透了這一思想。

有些一元二次方程問(wèn)題，可根據(jù)其特點(diǎn)，采用整體處理的方法，不僅可避免復(fù)雜的計(jì)算，而且還達(dá)到了解決問(wèn)題的目的。例如：解方程（x+3）2=15+15x，將（x+3）看作一個(gè)整體，移項(xiàng)后提取公因式得到（x+3）（x+3-5）=0，這就是整體的思想方法，利用整體思想可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

我們?cè)诮獯鹉承?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論。分類討論是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要的位置，教師務(wù)必要加以重視。分類討論一般分為以下三步。第一步，根據(jù)題目需要確定分類的標(biāo)準(zhǔn)；第二步，根據(jù)分類的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行求解；第三步，對(duì)分類討論結(jié)果進(jìn)行合并，綜合得出結(jié)論。例如：解方程（x+3）2=（9-2x）2，平方后相同若底數(shù)相同，則有x+3=9-2x，若底數(shù)相反，則有x+3=-9+2x，綜合可得：x1=2，x2=12。再比如，公式法的使用，先要進(jìn)行分類，當(dāng)判別式△=b2-4ac大于等于0時(shí)才可以使用公式法求解，這本身就是分類討論思想的體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)解題的精髓，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方向盤。解題時(shí)恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)思想可使思路開(kāi)闊，方法簡(jiǎn)便快捷，同時(shí)又為今后學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的其他多元高次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)等知識(shí)打下基礎(chǔ)。因此，我們一定要重視教學(xué)過(guò)程中數(shù)學(xué)思想的滲透，并且在進(jìn)行教學(xué)的過(guò)程中要善于引導(dǎo)學(xué)生不斷地進(jìn)行總結(jié)和積累。

4.重視求解過(guò)程中數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和提高。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，不僅要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生具備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的素養(yǎng)，還要重視對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)能力是人們?cè)趶氖聰?shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)所必需的各種能力的綜合，而其中數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心。我們知道，人類的活動(dòng)離不開(kāi)思維。錢學(xué)森教授曾指出：“教育工作的最終機(jī)智在于人腦的思維過(guò)程。”思維活動(dòng)的研究，是教學(xué)研究的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教學(xué)與思維的關(guān)系十分密切，數(shù)學(xué)教學(xué)就是指數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，通過(guò)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的成果，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)向數(shù)學(xué)家的思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的過(guò)程。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

在教學(xué)過(guò)程中，課堂內(nèi)我們要學(xué)生先行、交流其中、教師斷后，而課后我們必須及時(shí)積累經(jīng)驗(yàn)、豐富理解、關(guān)注選擇，只有這樣，才能做到真正理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)。