☉江蘇省南京市東山外國語學校高中部 郭俊

一花一葉一世界一思一悟一禪通
——對一道解析幾何題的探究與啟示

☉江蘇省南京市東山外國語學校高中部 郭俊

一道好的例題往往意境深遠、蘊含著很多探究的素材，具有較大的再生能力與發(fā)展的空間.因此，我們在選題評講時不能只看表面，要多角度地考慮問題，使思維呈現(xiàn)輻射狀展開，開闊視野，拓展思維，多方位引導學生對試題進行剖析、探究，立足于問題的本質(zhì)，最終提高學生的思維能力.下面本文從一道例題出發(fā)，層層深入探究，以求進行全方位的審視與研究，旨在通過這道題的剖析收獲一片，達到“一花一葉一世界，一思一悟一禪通”的境界，使數(shù)學課堂教學不斷走向高效，現(xiàn)整理如下，供讀者參考！

（Ⅰ）求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程；

（Ⅱ）若過點H（0，h）（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1⊥l2，求h的值.

一、重視細節(jié)闖難關(guān)

分析：對于這道題目絕大多數(shù)學生在解答（1）時分析條件不仔細，運算中推理不嚴謹，沒能發(fā)現(xiàn)曲線的限制條件，找出方程中變量的取值范圍，造成所求的軌跡不具備完整性，也就不能排出橢圓的四個頂點，也就引起第（2）問解答錯誤.對優(yōu)秀學生的訪談可知也是由于沒有正確地求得曲線的范圍，引起了第（2）問的失誤.由此可見，在教學中只注重求軌跡方程的解題技巧，而不重視對本質(zhì)的揭示是一個普遍存在的嚴重問題，必須引起我們的警示和反思.下面通過詳細的解題過程來分析：

圖1

直線A1P的方程是

直線A2Q的方程是

將l1:y=kx+h代入+y2=1，整理得（1+2k2）x2+4khx+ 2h2-2=0.

若l1與橢圓相切，則Δ=16k2h2-4（1+2k2）（2h2-2）=0，即1+2k2=h2；

同理，若l2與橢圓相切，則

由l1、l2與軌跡E都只有一個交點包含以下四種情況：

（1）l1、l2都與橢圓相切，即1+2k2=h2，且1+2·=h2，消去h2得=k2，即k2=1，從而h2=1+2k2=3，即h=；

（2）l1過點A（1-，0），而l2與橢圓相切，則k·（-）+h=0，1+2·=h2，得

（3）l2過點，而l與橢圓相切，則-·

1+h=0，1+2k2=h2，得

（4）l1過點A（1-，0），而l2過點A（2，0），則k·

通過上面的解題過程分析，現(xiàn)在我們來分析解答中的一些細節(jié)問題：（1）交軌問題是否一定要解方程求交點？通過聯(lián)立①②的方程組，可以得到如何消去參數(shù)x1、y1？這有一定難度，部分考生會卡在此步.如果變形得到，再化簡便得到軌跡E的方程，總的來說，其實還是考查常規(guī)的相關(guān)點法（即代入法）.（2）解方程用到的是加減消元法，但如果我們采用乘法，由①×②可以不解方程，更快地得到結(jié)果.這種“設而不求”，體現(xiàn)了更高的數(shù)學思想與方法技巧，可見我們在引導學生分析時不能只注重解法，要探究其本質(zhì).解題分析時最好還補充這個例子：橢圓的長軸為是AA，12P是橢圓上的任一點，求A1P與A2P的垂線的交點Q的軌跡.如法炮制，不解方程容易得到軌跡方程為，還是一個橢圓（如圖2）.

圖2

二、翩翩起舞相伴隨

通過對上面的“優(yōu)美解”，我們在分析過程中還應挖掘到：“點P（x1、y1），Q（x1、-y1）關(guān)于x軸對稱”，“點H（0，h）在y軸上，根據(jù)對稱性可知l1和l2與y軸的夾角都是45°”，雖然“優(yōu)美”欺騙了學生，但是作為老師的我們“充分利用對稱性”造成了不完美，但若把這兩個害群之馬“收編”回一個完整的橢圓中，卻又可以有更多發(fā)現(xiàn)，這也算是一種“補美”吧.從中可以發(fā)現(xiàn)挖掘：雙曲線-y2=1與橢圓+y2=1相映成趣，如圖3，這樣就考慮一個類似的問題：已知橢圓+y2=1的左右頂點分別是A1、A2，PQ為與A1A2垂直的弦.求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程.通過前面的方法可求得直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程是雙曲線-y2= 1，這樣就完全類似上述方法可得一般性的結(jié)論：（1）如圖4，雙曲線=1的頂點分別是A1、A2，弦PQ⊥A1A2，則直線A1P與 A2Q 交點的軌跡是橢圓=1（.2）如圖5，橢圓=1的左右頂點分別是A1、A2，弦PQ⊥A1A2，則直線A1P與 A2Q 交點的軌跡是雙曲線=1；當a＝b時，雙曲線為等軸雙曲線，橢圓變?yōu)閳A，結(jié)論仍成立.因此點P（x1，y1）、Q（x1，-y1）關(guān)于x軸對稱，因此點P是主動點，交點E是被動點.如果引入伴隨曲線的概念，可知橢圓的伴隨曲線是雙曲線，雙曲線的伴隨曲線是橢圓.

圖3

圖4

圖5

這時想起龐龍的《兩只蝴蝶》：“我和你纏纏綿綿翩翩飛，飛越這紅塵永相隨……”

雙曲線與橢圓就像翩翩起舞、形影不離的蝴蝶；更像肝膽相照、情同兩手的朋友.因此我們結(jié)合題目條件再深入探究發(fā)現(xiàn)：橢圓的長軸頂點分別是A1、A2，P是雙曲線上的動點，直線A1P與A2P分別與橢圓C1交于點E、T，則直線ET⊥x軸；E是橢圓C1上的動點，A1E與A2E分別與雙曲線C2交于點P、Q，則直線PQ⊥x軸.從中可發(fā)現(xiàn)：這是美妙和諧的對偶，你中有我、我中有你，多么像息息相關(guān)、比翼雙飛的情侶！

三、以美導真啟新篇

數(shù)學家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們在成堆地生長，找到一個以后，你就應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.”因此問題解決后應當讓學生從解決的問題出發(fā)，運用類比、聯(lián)想、特殊化和一般化的思維方法，派生出一些常規(guī)問題和開放性的問題，使問題“成片開發(fā)”.我們再從上面的解答過程來分析，只需再深入就可以注意到：結(jié)果中出現(xiàn)了1，，這個特殊的數(shù)列，這僅是巧合嗎？通過探究可發(fā)現(xiàn)：（1，0）是橢圓的焦點，（，0）是橢圓的頂點，（，0）是雙曲線的焦點，其中是否隱藏了更深的奧秘？又怎能不令人浮想聯(lián)翩，產(chǎn)生窺探到底的欲望！通過探究并用幾何畫板演示可得.

探究1：過點H（0，h）的兩條直線l1和l2與橢圓mx2+ ny2＝1都只有一個交點，且l1⊥l2，求h的值.

解析：點H（0，h）在y軸上，根據(jù)對稱性可知l1和l2與y軸的夾角都是45°，不妨設l1的方程是y＝x+h，代入橢圓方程mx2+ny2＝1，得mx2+n（x+h）2＝1，即（m+n）x2+2nhx+nh2-1＝0.

因為l1與橢圓相切，所以Δ=4n2h2-4（m+n）（nh2-1）= 0，化簡得，于是在橢圓=中，h2a2+b2，四個點連成的正方形剛好與橢圓外切，四個點在以點O為圓心為半徑的圓上.這就再次展現(xiàn)了一種對稱美，通過這個特殊化的細節(jié)與部分無意間昭示了整體的更多隱秘.我們可探究到：橢圓的兩條切線剛好是正方形所在直線，這是特殊的，能不能去掉這種特殊要求？

首先回到最對稱的曲線——圓中，易知圓x2+y2＝r2的相互垂直的兩條切線的交點E的軌跡還是圓，方程是x2+ y2＝2r2.對于橢圓呢？

探究2：求證：橢圓C1的相互垂直的兩條切線的交點T的軌跡是以點O為圓心為半徑的圓.

證明：如圖6，設交點T（x0，y0），當過點E的切線l1不垂直于x軸時，其方程為y-y0＝k（x-x0），k為斜率，代入橢圓方程，得（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2［（y0-kx0）2-b2］＝0.

圖6

因為l1與橢圓相切，所以Δ＝a4k2（y0-kx0）2-（a2k2+b2）a2·［（y0-kx0）2-b2］＝0，化成關(guān)于k的二次方程（a2-）k2+ 2x0y0k+b2-＝0.

因為點T在橢圓外，且過點T的切線不垂直于x軸，

所以方程恒有兩個根，就是兩條切線的斜率k1、k2.

因為兩條切線相互垂直，所以k1k2＝-1，所以b2-＝ -（a2-x2

0）.

以x、y代替x0，y0，得到x2+y2＝a2+b2.

當過點T的一條切線垂直于x軸時，和它垂直的另一條切線必垂直于y軸，它們的交點為（a，b），（-a，b），（a，-b），（-a，-b），仍滿足x2+y2＝a2+b2.

反之，若點T（x1，y1）是圓x2+y2＝a2+b2上任意一點，過點T可作橢圓C1的兩條切線l1和l2.

當l1、l2中有一條無斜率時，易證l1⊥l2；

當l1、l2都有斜率時，由Δ＝0整理得（a2-）k2+2x1y1k+ b2-＝0，該方程的兩個根就是兩條切線的斜率k1、k2，而+＝a2+b2，故k1k2＝-1，所以l1⊥l2.

現(xiàn)在來看一個有趣的問題：已知長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓在直角坐標平面的第一象限內(nèi)移動，使它始終與兩坐標軸相切.試求橢圓中心P的軌跡.

此問題若靜止地從固定坐標軸的角度分析是有困難的.但將兩坐標軸看成橢圓的動切線移動，問題就變?yōu)椤扒髾E圓的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡”問題.利用探究2的結(jié)果：不論切線如何移動，其交點與原點的距離始終等于■a2+b2，由此可見原問題的橢圓中心P的軌跡為圓弧.通過進一步探究繼續(xù)可得：

探究3：設橢圓+=1的兩條切線的夾角為定值α，當α≠90°時，求兩條切線的交點T的軌跡.（所求軌跡方程是（x2+y2-a2-b2）2tan2α=4b2x2+4a2y2-4a2b2）

探究5：拋物線y2＝4ax的兩條切線PA、PB的夾角為定值α時，求交點P的軌跡.

四、鑒古知今備高考

俗話說：經(jīng)驗豐富的人讀書用兩只眼睛，一只眼睛看到紙面上的話，另一只眼睛看到紙的背面.作為高考前線的數(shù)學教師，同樣也要一只眼睛看到好題，另一只眼睛看到背面，才能真正做到鑒古知今，繼往開來.如下+=1題：給定橢圓C：（a＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為r=的圓是橢圓C的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為F（，0），其短軸上的一個端點到F的距離為（.Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準圓”方程；（Ⅱ）P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線l1、l2，使得l1、l2與橢圓C都只有一個交點，且l1、l2分別交其“準圓”于點M、N.（1）當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時，求l1、l2的方程；（2）求證：|MN|為定值.

其實上，探究2與探究4得到的結(jié)果是前輩數(shù)學家早已得到的，它們的軌跡分別稱為橢圓、雙曲線的準圓，也稱蒙日圓（蒙日，Monge，法國著名數(shù)學家，他提出一個難題：畫一個圓，使其與三個已知圓正交.這是歷史上最有名的100個初等數(shù)學難題之一）.

從中也可以看出高考（或模擬）試題總有意無意地從經(jīng)典的解析幾何問題中尋找命題靈感，

五、對今后教學的啟示

歷年來解析幾何問題一直是高考“重頭戲”，一般情況下它的解答方法靈活多變且運算能力要求高，特別是在利用代數(shù)方法求解的過程中，往往會出現(xiàn)“過程冗長、運算煩瑣”，而令我們“望而生畏、不戰(zhàn)而退”.因此，我們在平時解決解析幾何問題時就要引導學生學會“找路”、學會探究.正所謂“水本無華，相蕩而成漣漪，石本無火，相擊而發(fā)靈火.”因此在進行解析幾何解題教學的過程中不要讓自己的精彩講解扼殺了屬于學生的一切.要以探究為徑，不斷啟發(fā)點燃學生的思維火發(fā)，暴露學生的思維過程，展示學生的思維成果，放手大膽地讓學生去進行探究，把原本屬于學生的時間還給學生，讓他們來探究、來領悟.［1］比如本文從一道例題出發(fā)，通過猜想、驗證和代數(shù)證明，將結(jié)論進行層層推進，形成了一個統(tǒng)一結(jié)論，這樣對學生思維的培養(yǎng)是高效的，因此教師在平時的教學中要注意以下幾點：（1）教師要善于捕捉探究資源，教師在教學中要用“研究者的眼光”去思考問題，將教學內(nèi)容進行“再創(chuàng)造”，要有敏銳的觀察力，使探究性教學成為常態(tài)教學；（2）教師要學會綜合歸納.對于相互聯(lián)系的問題，教師不僅要學會從不同側(cè)面分析，更要在不同側(cè)面分析的基礎上，學會綜合，從整體上得到共性，否則，遇題做題，不經(jīng)過創(chuàng)造，難以達到一般的認識，對該類問題的認識只能是停留在表面程度上；（3）做數(shù)學研究不要輕易放棄自己的每個小小發(fā)現(xiàn)，通過類似研究的方式進行深度探究，或許它會給辛勤的數(shù)學研究者一個意想不到的驚喜.

總之，解析幾何的教學如山如水，“一山一水一世界，一思一悟一禪通”.在這個過程中如果始終能以學生的思考、領悟為主線，不斷以禪意踐行“解題教學”之旅，引導學生守住“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”的耐性，不斷引領學生在解題中向悟法、得法、觸類旁通、完善認知等方面靠攏，才可以讓學生抵達“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的最高境界.這樣的教學讓學生獲得的不僅僅是知識，更重要的是擁有智慧！

1.林生.從一到高考題的開發(fā)與利用管窺解題教學［J］.中國數(shù)學教育，2013（12）.F