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破解一類含參絕對值函數(shù)最值問題中分類討論的迷局

浙江省衢州第二中學(324000)傅建紅

函數(shù)最值問題歷來是高考的熱點問題，縱觀近年來各地的高考、?？荚囶}，筆者發(fā)現(xiàn)，形如“f(x)=g(x)+(kx+b)|x-a|(g(x)為不超過二次的整式函數(shù)，k,b不全為零)”的二次型含參絕對值函數(shù)的最值問題正悄然興起.由于這類函數(shù)帶有絕對值，且有參數(shù)在內(nèi)“攪局”，因此多數(shù)學生感到迷霧重重、頭緒紛亂，不知該如何找到問題的突破口.顯然，分類討論、作圖觀察是解決含參函數(shù)最值問題的有效途徑，但對于這類函數(shù)而言，我們該如何理清函數(shù)作圖的頭緒、破解分類討論的迷局？本文就此問題進行探究.

一、破解策略

我們知道，函數(shù)y=f(x)(x∈D)的最值只能在其極值點(該點附近兩側的單調性相反)或區(qū)間D的端點(當端點為閉時)處取得.從函數(shù)圖像上看，函數(shù)的最大(小)值是圖像最高(低)點的縱坐標.換言之，只要能作出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像，則其最值情況就將一目了然.然而，函數(shù)作圖的依據(jù)是什么呢？顯然是要了解函數(shù)的極值點是否在其定義域內(nèi).筆者探究發(fā)現(xiàn)，判斷極值點是否在定義域內(nèi)，最簡明的方法就是將極值點與區(qū)間端點進行排序(比較大小)，一旦明確這種排序，就可作出大致圖像(僅關注單調性).然而，對于本題中這類含參絕對值函數(shù)(其極值點可能與參數(shù)有關)而言，我們該如何將極值點與區(qū)間端點進行排序？這就需要進行分類討論(分類討論思想正是在這一背景下應運而生，它首先服務于排序，最終服務于作圖)….具體操作流程可按以下“路線圖”進行：去除絕對值→求出極值點→確定討論點→劃分討論段→排序極值點→作出定義圖.

(2)求出極值點——設二次函數(shù)h1(x)、h2(x)的對稱軸分別為x1、x2，則x1、x2顯然可能是f(x)的極值點.而由“連體函數(shù)”的圖像特征知，“界點”a也有可能是極值點.因此，函數(shù)f(x)最多會有三個極值點(即x1、x2、a只是f(x)的可能極值點).

(4)劃分討論段——設方程x1=x2、x1=a、x2=a的根(討論點)分別為a1、a2、a3(設a1≤a2≤a3)，將其插入于參數(shù)a的允許范圍(設a∈R)之內(nèi)，即可獲得參數(shù)a的不同分段區(qū)間(-∞,a1]、(a1,a2]、(a2,a3]、(a3,+∞)，它們即為參數(shù)a的分類討論段.

(5)排序極值點——通過對上述區(qū)間的分段討論，即可對x1、x2、a的大小進行排序.顯然，不同討論段內(nèi)的排序也不同.

(6)作出定義圖——根據(jù)x1、x2、a的每一排序，在直角坐標系下依次作三條虛線x=x1、x=x2、x=a，然后分別作函數(shù)y=h1(x)(x≥a)、y=h2(x)(x

二、應用舉例

例1 (2015年·廣東卷(文)改編)設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a+1)，x∈R.求f(x)的單調區(qū)間及最小值.

解：易知f(x)=

圖1　　　　　　圖2　　　　　　圖3

例2(2009年·江蘇卷(理)改編)設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|，x∈R.求f(x)的最小值.

點評：例1中，極值點的大小關系已定，故無需討論(不存在討論點)；而例2中，極值點的大小關系未定，故必須討論(存在討論點).另外，由于例1、例2中函數(shù)的定義域都為R，故作圖后直接觀察圖像，即可獲知最值.

例3(2015年·浙江大聯(lián)考8(理)改編)

設a為實數(shù)，求函數(shù)f(x)=x|x-a|+2a-8在[4,+∞)上的最小值.

圖4　　　　　　　　　　　　圖5

例4(2015年·暨陽卷(文)改編)已知函數(shù)f(x)=x2+3|x-a|(a>0)，記f(x)在[-1,1]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達式.

圖6　　　　　　　　　　　　圖7

點評:與例1、例2不同的是，例3、例4中函數(shù)的定義域不再是全體實數(shù)，此時作函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像，可分兩步進行：(1)先作出函數(shù)在全體實數(shù)上的圖像(僅對極值點排序后作圖)；(2)再截取圖像在定義域內(nèi)的“片段”(由于函數(shù)圖像與定義域的位置是相對的，先給出定義域考慮圖像，與先畫圖像考慮定義域，這兩種方法在具體作圖時都是可行的，但前者要平移圖像，而后者僅需平移區(qū)間，所以相對而言后者更易).

綜上，本文通過分類討論、作圖觀察的方法，詳細闡述了函數(shù)f(x)=g(x)+(kx+b)|x-a|最值問題的解題思路和操作步驟(可為其它含參最值問題提供借鑒)，理清了函數(shù)作圖的頭緒——排序極值點、破解了分類討論的迷局——考慮如何排序極值點而引發(fā).其思路是清晰明了的，其操作也是簡單易行的.

參考文獻